Ein Kettenstück der Länge \(l = 60\,\rm{cm}\) und der Masse \(m = 600\,\rm{g}\) ist über einen dünnen Faden über eine reibungsfreie Rolle mit beiden Enden aufgehängt (Zeichnung links). Nun wird ein Kettenende um \(\Delta h = 10\,\rm{cm}\) an einer Seite hochgehoben (Zeichnung rechts) und anschließend losgelassen.
a)
Zeigen Sie, dass das Kettenstück eine harmonische Schwingung durchführt und für das lineare Kraftgesetz gilt \(F_{\rm{Rück}}(\Delta h)=2\cdot \frac{m}{l}\cdot g\cdot \Delta h\).
b)
Berechnen Sie die Schwingungsdauer \(T\) sowie die maximale Geschwindigkeit \(v_{\rm{max}}\) der Kettenschwingung.
c)
Erläutere, ob das Kettenstück auch noch eine harmonische Schwingung durchführt, wenn man es wie in Zeichnung 3 um fast \(60\,\rm{cm}\) hochhebt und loslässt.
Als Rückstellkraft \(F_{\rm{Rück}}\) der Bewegung wird bei der Kettenschwingung durch den Unterschied der Gewichtskräfte links und rechts der Rolle gebildet. Hierfür gilt: \[F_{\rm{Rück}}=m_{\rm{links}}\cdot g-m_{\rm{rechts}}\cdot g=\left(m_{\rm{links}}-m_{\rm{rechts}}\right)\cdot g=\Delta m\cdot g\] Der Unterschied der Massen links und rechts hängt von der "Dichte" \(\frac{m}{l}\) der Kette und der Auslenkung \(\Delta h\) der Kette ab. Dabei ist zu beachten, dass eine Auslenkung der Kette um \(\Delta h\) zu einem Massenunterschied von \[\Delta m=2\cdot \frac{m}{l}\cdot \Delta h\] führt, da die Masse auf einer Seite zunimmt und gleichzeitig natürlich auf der anderen Seite in gleichem Maße abnimmt. Einsetzen in die obere Gleichung führt zu \[F_{\rm{Rück}}=2\cdot \frac{m}{l}\cdot g\cdot \Delta h\]und damit einem linearen Kraftgesetz. Die Kettenschwingung führt eine harmonische Schwingung aus.
b)
Die Schwingungsdauer einer harmonischen Schwingung ergibt sich allgemein aus \[T=2\cdot \pi\sqrt{\frac{m}{k}}\] wobei \(k\) der ermittelten Konstanten aus dem Kraftgesetz, also \(k=2\cdot \frac{m}{l}\cdot g\) entspricht. Einsetzen liefert \[T=2\cdot \pi\sqrt{\frac{m}{2\cdot \frac{m}{l}\cdot g}}=2\cdot \pi\sqrt{\frac{l}{2\cdot g}}\]Wie beim Fadenpendel kürzt sich hier die Masse \(m\) der schwingenden Kette heraus, die somit, wie auch die anfängliche Auslenkung \(\Delta h\) keinen Einfluss auf die Periodendauer hat.
Einsetzen von \(l=0{,}60\,\rm{m}\) liefert die gesuchte Periodendauer:\[T=2\cdot \pi\sqrt{\frac{0{,}60\,\rm{m}}{2\cdot 9{,}81{,}\rm{\frac{m}{s^2}}}}=1{,}1\,\rm{s}\]
Die maximale Geschwindigkeit \(v_{\rm{max}}\) ergibt sich allgemein aus \[v_{\rm{max}} = {x_0} \cdot \sqrt {\frac{k}{m}}\]Mit \(k=2\cdot \frac{m}{l}\cdot g\) ergibt sich\[v_{\rm{max}} = {x_0} \cdot \sqrt {\frac{2\cdot \frac{m}{l}\cdot g}{m}}=x_0\cdot \sqrt{\frac{2\cdot g}{l}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_{\rm{max}} =0{,}1\,\rm{m}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}}{0{,}60\,\rm{m}}}=0{,}57\,\rm{\frac{m}{s}}\]
c)
Nein, in dem Fall führt die Kette keine harmonische Schwingung mehr durch, da kein lineares Kraftgesetz vorliegt. Sobald sich die Kette vollständig auf der linken Seite befindet, ist die wirkende Kraft die gesamte Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}=m\cdot g\) der Kette und daher konstant und unabhängig von der Höhe \(\Delta h\).
