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Grundwissen

Grundbegriffe zu Periodischen Bewegungen und Schwingungen

In den oben dargestellten Animationen sind Vorgänge dargestellt, die sich weitgehend auf die gleiche Weise wiederholen. Man sagt zu diesen Vorgängen auch periodische Vorgänge oder periodische Bewegungen. Wir beschäftigen uns im Folgenden mit solchen periodischen Bewegungen.

Definition der periodischen Bewegung

Die Bewegung eines Körpers heißt periodische Bewegung (griech. περίοδος (períodos): das Herumgehen), wenn

der Körper nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder den gleichen Bewegungszustand, d.h. den gleichen Ort und die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Beschleunigung, besitzt.

Die Periodendauer \(T\) ist die Länge des Zeitabschnitts, nach dem sich der gleiche Bewegungszustand (siehe oben) wiederholt. Das Formelzeichen für die Periodendauer ist \(T\), für die Einheit der Periodendauer gilt \(\left[ T \right] = 1\,{\rm{s}}\).

Ein Körper bewegt sich also periodisch mit der Periodendauer \(T = 1\,{\rm{s}}\), wenn er nach jeweils \(1\,{\rm{s}}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Die Frequenz \(f\) (lat. frequentia: die Häufigkeit) ist der Kehrwert der Periodendauer \(T\): \(f = \frac{1}{T}\). Das Formelzeichen für die Frequenz ist \(f\), für die Einheit der Frequenz gilt \(\left[ f \right] = \left[ {\frac{1}{T}} \right] = \frac{1}{{1\,{\rm{s}}}} = 1\,{\rm{Hz}}\) (Hz: HERTZ, nach dem deutschen Physiker Heinrich HERTZ (1857 - 1894)).

Ein Körper bewegt sich also periodisch mit der Frequenz \(f = 1\,{\rm{Hz}}\), wenn er 1 Mal pro \(1\,\rm{s}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Aufgabe
 

Die Periodendauer \(T\) bei den im Bild aufgezeichneten Herzschlägen sei \(T=0{,}75\,\rm{s}\).

Berechne daraus die Herzfrequenz in \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\) und \(\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}}\).

Lösung

\[f = \frac{1}{T} \Rightarrow f = \frac{1}{{0{,}75\,{\rm{s}}}} = 1{,}33\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 1{,}33 \cdot 60\,\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}} = 80\,\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}}\]

Eine besondere Form von periodischen Bewegungen sind die sogenannten Schwingungen.

Definition der Schwingung

Die Bewegung eines Körpers heißt Schwingung, wenn

  • der Körper Teil eines physikalischen Systems mit einer eindeutigen stabilen Gleichgewichtslage (das ist die Lage, in die das System ohne äußeren Einfluss stets wieder zurückkehrt), der sogenannten Ruhelage oder Nulllage ist (eine nähere Analyse mechanischer Schwingungen zeigt, dass zum Auftreten einer Schwingung stets eine Rückstellkraft \({{\vec F}_{{\rm{Rück}}}}\) notwendig ist, die auf die Ruhelage hin gerichtet ist),
  • der Körper eine Periodische Bewegung durch diese Ruhelage vollführt, d.h. nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder den gleichen Bewegungszustand, d.h. den gleichen Ort und die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Beschleunigung, besitzt (siehe oben).

Ein physikalisches System, das Schwingungen ausführen kann, heißt Oszillator (lat. oscillare: schaukeln). Der Begriff der Ruhelage ist etwas missverständlich, da ein schwingender Körper in der Ruhelage gerade nicht ruht, sondern sich durch diesen Punkt hindurchbewegt. Diejenigen Orte dagegen, an denen der schwingende Körper seine Bewegungsrichtung umkehrt, an denen er somit ruht und die Geschwindigkeit \(v=0\) besitzt, bezeichnet man als Umkehrpunkte.

Üblicherweise vollzieht sich eine Schwingung symmetrisch um die Nullage herum, d.h. es gibt genau zwei Umkehrpunkte, die symmetrisch um die Ruhelage liegen.

Die Schwingungsdauer \(T\) ist die Länge des Zeitabschnitts, nach dem sich der gleiche Bewegungszustand (siehe oben) wiederholt. Das Formelzeichen für die Schwingungsdauer ist \(T\), für die Einheit der Schwingungsdauer gilt \(\left[ T \right] = 1\,{\rm{s}}\).

Ein Körper schwingt also mit der Schwingungsdauer \(T = 1\,{\rm{s}}\), wenn er nach jeweils \(1\,{\rm{s}}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Die Frequenz \(f\) (lat. frequentia: die Häufigkeit) ist der Kehrwert der Schwingungsdauer \(T\): \(f = \frac{1}{T}\). Das Formelzeichen für die Frequenz ist \(f\), für die Einheit der Frequenz gilt \(\left[ f \right] = \left[ {\frac{1}{P}} \right] = \frac{1}{{1\,{\rm{s}}}} = 1\,{\rm{Hz}}\) (HERTZ nach dem deutschen Physiker Heinrich HERTZ (1857 - 1894)).

Ein Körper schwingt also mit der Frequenz \(f = 1\,{\rm{Hz}}\), wenn er 1 Mal pro \(1\,\rm{s}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Nach dieser Festlegung wären sowohl das Trampolinspringen als auch der sich ständig wiederholende Herzschlag zwar Periodische Bewegungen, aber keine Schwingungen, weil die Bewegungen nicht symmetrisch um die Ruhelage herum ablaufen. Auch Kreisbewegungen sind zwar periodische Bewegungen, aber keine Schwingungen, da es bei ihnen keine eindeutig festgelegte Ruhelage gibt. Periodische Bewegungen, die nicht symmetrisch um die Ruhelage heraum ablaufen, können aber meistens durch zwei einzelne Schwingungen beschrieben werden, die jeweils nur einen halben Teil der Bewegung abdecken.

Die Begriffe Schwingungsdauer und Frequenz beschreiben zwar recht gut das zeitliche Verhalten eines Oszillators, nicht aber das räumliche. Aus diesem Grund sind weitere Definitionen nötig.

Definition von Elongation und Amplitude einer Schwingung

Die Elongation \(x\) , besser \(x(t)\) (lat. elongare: entfernen, fernhalten) ist der von der Ruhelage aus gemessene Ort des Körpers (zu einem Zeitpunkt \(t\)). Eine Elongation \(x(t)\) ist also der Funktionswert der Zeit-Ort-Funktion zum Zeitpunkt \(t\). Das Formelzeichen für die Elongation ist \(x\), für die Einheit der Elongation gilt \(\left[ x \right] = 1{\rm{m}}\).

Die Skalierung der Elongation wird üblicherweise so gewählt, dass die Ruhelage durch die Elongation \(x=0\) (nicht unbedingt bei \(t=0\)) beschrieben wird. Dies ist der Grund dafür, dass man die Ruhelage auch als Nulllage der Schwingung bezeichnet (siehe oben). Bei dieser Skalierung erhält man sowohl positive als auch negative Werte für die Elongation.

Die Amplitude \({\hat x}\) (lat. amplitudo: die Geräumigkeit) ist der Betrag des Maximalwertes der Elongation. Das Formelzeichen für die Amplitude ist \({\hat x}\), für die Einheit der Amplitude gilt \(\left[ {\hat x} \right] = 1\,{\rm{m}}\).

Die Amplitude ist per Definition immer positiv. Sie ist im Fall einer symmetrischen Schwingung um die Ruhelage der (gleich große) Abstand zwischen der Nulllage und den beiden Umkehrpunkten.

Hinweis: Bei vertikalen Schwingungen wie z.B. beim Feder-Schwere-Pendel benutzt man häufig für die Elongation \(y\) bzw. \(y(t)\) und für die Amplitude \({\hat y}\).