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Grundwissen

Zeitdilatation

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Zeitdilatation: Eine relativ zu einem Beobachter bewegte Uhr geht aus der Sicht des Beobachters langsamer als ein Satz synchronisierter Uhren im "Beobachter-System".
  • Vereinfacht: Bewegte Uhren gehen langsamer.
  • Der Zusammenhang zwischen Zeit \(\Delta t\) im ruhenden und \(\Delta t'\) im bewegten System ist \(\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}\)
Aufgaben Aufgaben

Was ist eine Lichtuhr?

Abb. 1 Prinzipieller Aufbau einer Lichtuhr. Wird ein Lichtimpuls vom unteren Spiegel zum oberen Spiegel geschickt und dort reflektiert, so verstreicht bis zum Wiedereintreffen beim unteren Spiegel die Zeit \(\Delta t'\)

Die Lichtuhr besteht aus zwei Spiegeln, deren Abstand z.B. \(h=1{,}5\,\rm{m}\) ist. Wird nun ein Lichtimpuls vom unteren Spiegel zum oberen Spiegel geschickt und dort reflektiert, so verstreicht bis zum Wiedereintreffen beim unteren Spiegel die Zeit \(\Delta t'\). Bei dem gewählten Beispiel gilt für \(\Delta t'\)
\[\Delta t' = \frac{2 \cdot h}{c}   \Rightarrow   \Delta t' = \frac{2 \cdot 1{,}5}{3{,}0 \cdot 10^8} \rm{\frac{m}{s}} = 1{,}0 \cdot 10^{-8}\,\rm{s} = 10\,\rm{ns}\]
Dieser stets wiederholbare Vorgang (Auf- und Absteigen des Lichtsignals) entspricht z.B. der stets wiederholbaren Schwingung des Pendels einer Pendeluhr oder der Schwingung eines Quarzes in einer modernen Armbanduhr. Solche, auf stets gleiche Weise ablaufenden Vorgänge sind für die Zeitmessung geeignet.

Betrachtung im Eigensystem und im Ruhesystem

In der folgenden Animation in Abb. 2 wird nun eine Periode der Lichtuhr, die sich in einem Raumschiff befindet, aus verschiedenen Positionen beobachtet:

a) von einem im Raumschiff mitfliegenden Astronauten, also von innerhalb des bewegten Bezugssystems (Eigensystem S')

b) von einer auf der Erde befindlichen Beobachterin (System S) an der das Raumschiff mit der konstanten Geschwindigkeit v vorbeifliegt

Dabei sind die Vorgänge gegenüber der Animation in Abb. 1 verlangsamt dargestellt und die Überlegungen werden allgemein durchgeführt. Das heißt für den Abstand \(h\) der Spiegel in der Lichtuhr wird keine spezieller Wert verwendet.

Abb. 2 Periode einer Lichtuhr, die sich in einem Raumschiff befindet, aus verschiedenen Positionen

Zusammenhang zwischen den Zeiten im Eigensystem und im ruhenden Bezugssystem

Im bewegten Bezugssystem S'-System gilt für beobachtete Periode der Lichtuhr:\[\Delta t' = \frac{{2 \cdot h}}{c}\quad (1)\]
Im ruhenden S-System hingegen gilt:\[\Delta t = \frac{{2 \cdot l}}{c}\quad (2)\] wobei die Länge \(l\) einen der beiden gleichen Schenkeln eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis \(v\cdot \Delta t\) ist. Dieses Dreieck kannst du in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Die Länge \(l\) ist hier die Hypotenuse, eine Kathete ist \(\frac{v\cdot \Delta t}{2}\), die zweite Kathete \(h\), sodass sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ergibt\[l = \sqrt {{{\left( {\frac{{v \cdot \Delta t}}{2}} \right)}^2} + {h^2}} \quad (3)\]
Setzt du \((3)\) in \((2)\) ein, so erhältst du:
\[\begin{array}{l}\Delta t = \frac{{2 \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{v \cdot \Delta t}}{2}} \right)}^2} + {h^2}} }}{c} \Rightarrow {c^2} \cdot \Delta {t^2} = {\left( {v \cdot \Delta t} \right)^2} + {\left( {2 \cdot h} \right)^2}\\\Delta {t^2} \cdot \left( {{c^2} - {v^2}} \right) = {\left( {2 \cdot h} \right)^2} \Rightarrow \Delta t = 2 \cdot h \cdot \frac{1}{{\sqrt {{c^2} - {v^2}} }} \Rightarrow \Delta t = \frac{{2 \cdot h}}{c} \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {{\textstyle{v \over c}}} \right)}^2}} }}\end{array}\]

Unter Berücksichtigung von \((1)\) ergibt sich dann für den Zusammenhang zwischen \(\Delta t\) und \(\Delta t'\), die sogenannte Zeitdilatation:

Zeitdilatation

\[\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}\]

Weitere Aspekte

Abb. 3 Phänomen der Zeitdilatation: Eine relativ zu einem Beobachter bewegte Uhr geht aus der Sicht des Beobachters langsamer als der Satz synchronisierter Uhren im "Beobachter-System"
  • Da \(v\) stets kleiner \(c\) ist, gilt stest \(\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}<1\). Somit ist immer \(\Delta t > \Delta t'\).
  • Obige Gleichung besagt: Eine relativ zu einem Beobachter bewegte Uhr geht aus der Sicht des Beobachters langsamer als ein Satz synchronisierter Uhren im "Beobachter-System" (Zeitdilatation). Oft hört man hierfür die etwas saloppe Formulierung: "Bewegte Uhren gehen langsamer".
  • Beachte, dass das Zeitintervall \(\Delta t'\) durch zwei aufeinanderfolgende Ablesungen an einer Uhr im bewegten S'-System bestimmt ist. Dagegen ist das Zeitintervall \(\Delta t\) bestimmt durch Ablesungen an zwei verschiedenen, synchronisierten Uhren im ruhenden S-System.
  • Eine mehr formale Herleitung der Zeitdilatation ist auch mit den Minkowski-Diagrammen möglich.
  • Würde man davon ausgehen, dass es eine absolute Zeit gibt, d.h. dass \(\Delta t=\Delta t'\) ist, so hätte dies zur Konsequenz, dass man für die Lichtgeschwindigkeit in den Systemen S und S' verschiedene Werte erhält: \[c_{S'} = \frac{2 \cdot h}{\Delta t}\quad   \text{bzw.}\quad     c_S = \frac{2 \cdot l}{\Delta t}\]Da \(l>h\) wäre, wäre entsprechend auch \(c_S>c_{S'}\)

 

Ergänzendes Material zum Thema bei Welt der Physik