Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Eine Fahrt zu Alpha Centauri

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

CC-BY 4.0 ESO/Digitized Sky Survey 2
Abb. 1 Teleskopaufnahme des Sternensystems \(\alpha\)-Centauri.

Das unserer Sonne nächstgelegene Sternensystem ist der Doppelstern \(\alpha\)-Centauri in einer Entfernung von ca. \(4{,}3\,\rm{Lj}\) (Lichtjahren).

Gehe bei den folgenden Überlegungen davon aus, dass Erde und \(\alpha\)-Centauri in Bezug zueinander ruhen.

a)

Berechne die Entfernung zu \(\alpha\)-Centauri in Kilometern und als Vielfaches der Entfernung zwischen Erde und Sonne \(r_{\rm{E,S}}=1{,}5\cdot10^8\,\rm{km}\).

Von der Erde werde ein Raumschiff mit der Geschwindigkeit \(v = 0{,}80 \, c\) auf die Reise zu \(\alpha\)-Centauri geschickt.

b)

Berechne, wie lange diese Reise dauern wird, wenn sie von einem Erdbewohner beurteilt wird.

c)

Berechne, um wie viele Jahre die Astronauten bei dieser Reise altern werden, wenn sie dies von ihrer Borduhr aus beurteilen.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Bestimmung der Entfernung Erde-\(\alpha\)-Centauri in Kilometern (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit):\[{r_\rm{E,C}} = c \cdot \Delta {t_\rm{L}} \Rightarrow {r_\rm{E,C}} = 3{,}0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 4{,}3 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}} = 4{,}1 \cdot {10^{16}}\,{\rm{m}}\]Bestimmung des Vielfachen der Entfernung Erde-Sonne (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit):\[\frac{{{r_\rm{E,C}}}}{{{r_\rm{E,S}}}} = \frac{4{,}1 \cdot 10^{13}\,\rm{km}}{1{,}5 \cdot 10^8\,\rm{km}} = 2{,}7 \cdot 10^5\]

b)

Beurteilung von einem Erdbewohner (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit):\[\Delta {t_\rm{Rak}} = \frac{{4{,}1 \cdot {{10}^{16}}\,{\rm{m}}}}{{0{,}80 \cdot 3{,}0 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 1{,}7 \cdot {10^8}\,{\rm{s}} = 5{,}4\,{\rm{a}}\]oder schneller (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\Delta {t_\rm{Rak}} = \frac{{4{,}3}}{{0{,}80}}\,{\rm{a}} = 5{,}4\,{\rm{a}}\]

c)

Ein mitfliegender Astronaut liest die Zeitspanne \(\Delta t'_\rm{Rak}\) an seiner Borduhr ab (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit):\[\Delta {t'_\rm{Rak}} = \Delta {t_\rm{Rak}} \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0{,}80 \, c}}{c}} \right)}^2}}  \Rightarrow \Delta {t'_\rm{Rak}} = 5{,}4 \cdot 0{,}60\,{\rm{a}} = 3{,}2\,{\rm{a}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie