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Aufgabe

Eine Fahrt zu Alpha Centauri

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Das unserer Sonne nächstgelegene Sternensystem ist der Doppelstern α-Centauri in einer Entfernung von ca. 4,3 Lj (Lichtjahren).

Gehe bei den folgenden Überlegungen davon aus, dass Erde und α-Centauri in Bezug zueinander ruhen.

a)Gib die Entfernung zu α-Centauri als Vielfaches der Entfernung \(r_{ES}\) zwischen Erde und Sonne sowie in Kilometern an.

b)Von der Erde werde ein Raumschiff mit der Geschwindigkeit \(v = 0,8 \cdot c\) auf die Reise zu α-Centauri geschickt.

Berechne, wie lange diese Reise dauern wird, wenn sie von einem Erdbewohner beurteilt wird.

c)Berechne, um wie viele Jahre die Astronauten bei dieser Reise altern werden, wenn sie dies von ihrer Borduhr aus beurteilen.

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a)Bestimmung der Entfernung Erde-α-Centauri in Kilometern:\[{r_{E,C}} = c \cdot \Delta {t_L} \Rightarrow {r_{E,C}} = 3,0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 4,3 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}} = 4,07 \cdot {10^{16}}{\rm{m}}\]Bestimmung des Vielfachen der Entfernung Erde-Sonne:\[\frac{{{r_{E,C}}}}{{{r_{E,S}}}} = \frac{{4,07 \cdot {{10}^{13}}}}{{1,5 \cdot {{10}^8}}}\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{km}}}} \approx 2,7 \cdot 1{0^5}\]

b)Beurteilung von einem Erdbewohner:\[\Delta {t_{Rak}} = \frac{{4,1 \cdot {{10}^{16}}{\rm{m}}}}{{0,8 \cdot 3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} \approx 1,7 \cdot {10^8}{\rm{s}} \approx 5,4{\rm{a}}\]oder schneller\[\Delta {t_{Rak}} = \frac{{4,3}}{{0,8}}{\rm{a}} \approx 5,4{\rm{a}}\]

c)Ein mitfliegender Astronaut liest die Zeitspanne \(\Delta t\;{'_{Rak}}\) an seiner Borduhr ab:\[\Delta t\;{'_{Rak}} = \Delta {t_{Rak}} \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,8 \cdot c}}{c}} \right)}^2}}  \Rightarrow \Delta t\;{'_{Rak}} = 5,4 \cdot 0,6\,{\rm{a}} \approx 3,2\,{\rm{a}}\]