Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

MINKOWSKI-Diagramme

  • Warum vergrößert sich die Masse bewegter Körper?
  • Was versteht man unter der Ruheenergie eines Körpers?
  • Wie kommt Einstein zu seiner berühmten Formel E=mc2?

MINKOWSKI-Diagramme

1 Prinzipieller Aufbau von MINKOWSKI-Diagrammen

Die im Folgenden behandelten Minkowski-Diagramme gestatten eine anschauliche Darstellung von Phänomenen der speziellen Relativitätstheorie. So können z.B. die Aussagen der Zeitdilatation und der Längenkontraktion auf einfache Weise veranschaulicht werden. Klicke auf Vorwärts und lass dir das Minkowski-Diagramm erkären. Die weiteren Herleitungen findet man in unten angeführten Links.

Raumvermessung und Uhrensynchronisation

1 Verfahren der Raumvermessung und der Uhrensynchronisation im MINKOWSKI-Diagramm

Zwei gleiche Uhren A und B sind an zwei verschiedenen Orten. Damit sie synchron laufen muss man dies durch Lichtsignale schaffen.

Sendet man zum Zeitpunkt \(t\) von Uhr A ein Lichtsignal Richtung Uhr B und wird dies dort zum Ereignis R reflektiert, dann kommt es zum Zeitpunkt \(T\) wieder bei Uhr A an.

Erkenntnisse

Das Ereignis R fand zum Zeitpunkt \(t_R = \frac{1}{2} \cdot \left(T + t \right) \) statt, da \(t_R - t = T - t_R\).

Die Entfernung der Uhr B von der Uhr A ist \(x_B = \frac{1}{2} \cdot \left( T - t \right) \cdot c\).

Anmerkungen: Zwei Ereignisse im \(t\)-\(x\)-System heißen gleichzeitig, wenn ihre Weltpunkte auf einer Parallelen zur \(x\)-Achse liegen.

Relativität der Gleichzeitigkeit

1 Relativität der Gleichzeigkeit im MINKOWSKI-Diagramm

Ein Beobachter B, der sich gegenüber A mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt, sendet zum Ereignis P je ein Lichtsignal nach vorne (+x-Richtung) und nach hinten (-x-Richtung), diese werden nach seiner Auffassung gleichzeitig in den Ereignissen R1 und R2 reflektiert und kommen gleichzeitig zum Ereignis Q zurück.

Betrachte durch Umschalten den selben Vorgang einmal im B-Diagramm (Für B ist R1 und R2 gleichzeitigkeit) und betrachte es ebenso im A - Diagramm (Für A ist R1 und R2 nicht Gleichzeitigkeit).

Gleichzeitigkeit ist relativ

Gleichzeitigkeit ist ein relativer Begriff, er gilt nur bezüglich eines Bezugssystems!

Feststellung der relativen Bewegung

1 Feststellung der Relativbewegung zweier Objekte im MINKOWSKI-Diagramm

Wählen Sie mit den Buttons ob sich B von A entfernt, den Abstand gleich behält oder sich A nähert.

Jeweils sendet A im Abstand Δt zwei Lichtsignale zu den Zeitpunkten t1 und t2 aus, die in den Ereignissen R1 und R2 bei B reflektiert werden und zu den Zeitpunkten T1 und T2 im Abstand ΔT wieder zu A zurückkommen.

Erkenntnisse

B nähert sich A: \(\rm{\Delta{T}\lt \Delta{t}}\)

Abstand von B zu A bleibt gleich: \(\rm{\Delta{T}= \Delta{t}}\)

B entfernt sich von A: \(\rm{\Delta{T}\gt \Delta{t}}\)

DOPPLER-Faktor

1 Bedeutung des DOPPLER-Faktors bei zwei sich voneinander fortbewegenden Objekten im MINKOWSKI-Diagramm

B und A stellen ihre Uhren auf "Null", als B von A mit der Geschwindigkeit v startet (bzw. sich an A vorbeibewegt).

A sendet zur Zeit tA ein Lichtsignal hinter B an, das dort zur Zeit tB = k·tA ankommt und sofort reflektiert wird.

Das bei tB reflektierte Signal erreicht A zur Zeit TA = k·tB.

k ist in beiden Fällen, wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke im A- bzw. B-Diagramm gleich.

Setzt man tB = k·tA in TA = k·tB ein, so ergibt sich TA = k2·tA.

Zur Berechnung von k verwenden wir das A-Diagramm.

Für den Ort xR gilt:
1. Da sich B mit der Geschwindigkeit v die Zeit tR = ½ · (t + T) lang A entfernt: xR = ½ · (t + T) · v

2. Da das Lichtsignale von A bis zum Ereignis R die Zeit ½ · (T – t) unterwegs war: xR = ½ · (T – t) · c

Setzt man die beiden Terme gleich und für T = k2·t so ergibt sich: ½ · (t + k2·t) · v = ½ · (k2·t – t) · c =>

(1 + k2) · v = (k2– 1) · c => v + k2· v = k2 · c – c => k2 · (c – v) = c + v => \(k^2 = \frac{c + v}{c - v}\) bzw. \(k = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}\)

Merke

Sendet A nach der Zeit t dem B ein Lichtsignal hinterher, so erreicht B dieses nach der Zeit k·t mit \(k = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}\)

Christian DOPPLER
Abb.
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Christian DOPPLER (1803 - 1853)
k heißt zu Ehren des österreichischen Physikers Christian Andreas DOPPLER (1803 - 1853) DOPPLER-Faktor, der diesen Effekt zuerst bei elektromagnetischen Wellen insbesondere Licht untersuchte. Der DOPPLER-Effeket spielt eine große Rolle in der Akustik, der Wellenoptik und der Astronomie

DOPPLER studierte am Polytechnischen Institut Wien und lehrte in Prag, Schemnitz und Wien, wo er 1850 zum Professor für Praktische Geometrie am Polytechnischen Institut ernannt wurde. Seine wissenschaftliche Arbeit konzentrierte sich auf die Gebiete Mathematik und Elektrizität.

Das bekannteste Forschungsergebnis DOPPLERs bezieht sich auf den nach ihm benannten DOPPLER-Effekt und beschreibt Frenquenzänderungen von Wellen, die von einer relativ zum Beobachter bewegten Quelle ausgehen. Diese Arbeit wurde 1842 unter dem Titel "Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels" in Prag veröffentlicht.

3 Bedeutung des DOPPLER-Faktors beim Empfang zweier einlaufender Signale im MINKOWSKI-Diagramm

Wichtiger als der k-Faktor beim Nachsenden von Lichtsignalen, ist der k-Faktor beim Empfangen von Schwingungsdauern, das sind im allgemeinen Zweiabstände zweier kurz hintereinander gesandter Lichtsignale.

Wie die nebenstehende Zeichnung zeigt, gilt das oben hergeleitete ebenfalls für Zeitabstände Δt. Zum Verständnis muss man nur eine Parallele zur t-Achse durch den ersten Reflexionspunkt legen und erhält die gleiche Geometrie wie oben.

Sendet A zwei Lichtsignale im Abstand ΔtA in Richtung eines bewegten Beobachters, so empfängt dieser sie im Abstand ΔtB= k·ΔtA und werden diese jeweils sofort reflektiert, so kommen sie im Abstand ΔTA= k2·ΔtA zu A zurück, dabei ist k

falls sich B entfernt:\(k = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}\) und falls sich B nähert:\(k = \sqrt{\frac{c - v}{c + v}}\) (was hier nicht gezeigt wurde).

Für die Schwingungsdauer, Frequenz und Wellenlänge eines Lichtsignals gilt analog: Sendet A ein Lichtsignal zu B mit der Schwingungsdauer TA, der Frequenz fA und der Wellenlänge λA, so empfängt es B mit der Schwingungsdauer TB= k·TA, der Frequenz \(f_B = \frac{1}{k}\cdot f_A\)  und der Wellenlänge λB = k·λA.

Das an B reflektierte Lichtsignal kommt mit der Schwingungsdauer k2·TA, Frequenz \(\frac{1}{k^2} \cdot f_a\) und der Wellenlänge k2·λAzurück.

Koordinatensystem des bewegten Beobachters

1 Geometrische Konstruktion der Koordinaten des B-Systems im A-System im MINKOWSKI-Diagramm

Klicken Sie auf den Vorwärts-Knopf und lassen Sie sich zeigen, wie man die Koordinaten des B-Systems im A-System geometrisch konstruiert.

Zeitdilatation

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1 Eine bewegte Uhr geht langsamer als ein Satz synchronisierter Uhren, an denen sie vorbei kommt

Bewegt sich eine Uhr (B) mit der Geschwindigkeit \(v\) an zwei synchronisierten Uhren (A1 und A2) vorbei, so vergeht für die A-Uhren die Zeit zwischen dem Vorbeigehen von B an A1 bis zum Vorbeigehen von B an A2 die Zeit \({t_{\rm{R}}}\) und für die B-Uhr vergeht die Zeit \({t_{\rm{R}}}^\prime \). Dann gilt nach den bisherigen Erkenntnissen

für die A- Uhren: \(t_{\rm{R}} = \frac{1}{2} \cdot \left( t + k^2 \cdot t \right) \)

für die B-Uhr: \( {t_{\rm{R}}}^\prime = k \cdot t \)

Weiter gilt:
\[ \frac{\text{B-Zeit}}{\text{A-Zeit}} = \frac{{t_{\rm{R}}}^\prime}{t_{\rm{R}}} = \frac{k}{\frac{1}{2} \cdot \left( 1 + k^2 \right)} = \frac{2 \cdot k}{1 + k^2} \]
Setzt man den \(k\)-Faktor \( k = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}} \) ein, so folgt
\[ \frac{2 \cdot k}{1 + k^2} = \frac{2 \cdot \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}}{1 + \frac{c + v}{c - v}} = \frac{2 \cdot \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}}{\frac{c - v}{c - v} + \frac{c + v}{c - v}} = \frac{2 \cdot \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}}{\frac{2 \cdot c}{c - v}} = \sqrt{\frac{ \left( c + v \right) \cdot \left( c - v \right) }{c^2}} = \sqrt{\frac{c^2 - v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]
und damit
\[\frac{{t_{\rm{R}}}^\prime}{t_{\rm{R}}} = \sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}} \]
Eine bewegte Uhr geht langsamer als ein Satz synchronisierter Uhren, an denen sie vorbei kommt.

Längenkontraktion

1 Längenkontraktion im MINKOWSKI-Diagramm

Bewegt sich ein Beobachter (Uhr B) mit der Geschwindigkeit v an einem im A-System ruhenden Maßstab der Länge l vorbei an dessen Enden die Uhren A1 und A2 vorbei, so dauert der Vorbeiflug für die A-Uhren die Zeit ΔtA und für die B-Uhr vergeht die Zeit ΔtB, mit \(\Delta t_B = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \cdot \Delta t_A\)

Für die Länge l des Maßstabs gilt aber lA = vA · ΔtA bzw. lB = vB · ΔtB. Da aber vA = vB = v ist gilt: \(I_B = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\cdot I_A\)

Merke

Ein mit der Geschwindigkeit v bewegter Körper wird in Bewegungsrichtung um den Faktor \(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\) verkürzt gemessen.

LORENTZ-Transformation

1 LORENTZ-Transformation im MINKOWSKI-Diagramm

Zeit- und Ortskoordinaten sind miteinander verwoben.
Der Zusammenhang zwischen A-Daten (t, x) und B-Daten (t´, x´) wird durch die Lorentztransformation beschrieben.
Die Zusammenhänge kann man sich aus einem Reflexionsereignis P(t; x) herleiten, das ein Lichtsignal erfuhr, das von A zum Zeitpunkt t1 abgesandt und zum Zeitpunkt t2 wieder zurückkam.

Aus dem A-Diagramm erkennt man:

\[ t = \frac{1}{2} \cdot \left( t_2 + t_1 \right) \qquad \text{(1)} \]
und
\[ t = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \left( t_2 - t_1 \right) \qquad \text{(2)} \]

Aus dem B-Diagramm erkennt man:

\[ t' = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{k} \cdot t_2 + k \cdot t_1 \right) \qquad \text{(3)} \]
und
\[ x' = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \left( \frac{1}{k} \cdot t_2 - k \cdot t_1 \right) \qquad \text{(4)} \]

 

Aus den Gleichungen (3) und (4) erhält man durch geschickte Addition t2 und t1:

\[ k \cdot \text{(3)} + \frac{k}{c} \cdot \text{(4)} :  \quad k \cdot \left( t' + \frac{x'}{c} \right) = t_2 \]

\[ \frac{1}{k} \cdot \text{(3)} - \frac{1}{k \cdot c} \cdot \text{(4)} : \quad \frac{1}{k} \cdot \left( t' - \frac{x'}{c} \right) = t_1 \]

Setzt man dies in die Gleichungen (1) und (2) ein so gilt:

\[ 2 \cdot t = \left( k + \frac{1}{k} \right) \cdot  t' + \left( k - \frac{1}{k} \right) \cdot \frac{x'}{c} \qquad \text{(5)} \]

\[ \frac{2 \cdot x}{c} = \left( k - \frac{1}{k} \right) \cdot t' + \left( k + \frac{1}{k} \right) \cdot \frac{x'}{c} \qquad \text{(6)} \]

Zusätzlich gilt \( k = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}} \). Daraus ergibt sich:

\[ k + \frac{1}{k} = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}} + \sqrt{\frac{c - v}{c + v}} = \sqrt{\frac{\left( c + v \right)^2}{c^2 - v^2}} + \sqrt{\frac{\left( c - v \right)^2}{c^2 - v^2}} = \frac{c + v + c - v}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{2 \cdot c}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{2}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
und

\[ k - \frac{1}{k} = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}} - \sqrt{\frac{c - v}{c + v}} = \sqrt{\frac{\left( c + v \right)^2}{c^2 - v^2}} - \sqrt{\frac{\left( c - v \right)^2}{c^2 - v^2}} = \frac{c + v - c + v}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{2 \cdot v}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{2 \cdot \frac{v}{c}}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

Setzt man dies in die Gleichungen (5) und (6) ein, so ergeben sich die Transformationsgleichungen der Lorentztransormation für t und x und durch umgekehrte Auflösung des Gleichungssystems die für t´ und x´, die man durch Ersetzen von v durch -v und Vertauschen von gestrichenen und ungestrichenen Koordinaten erhält:

Transformationsgleichungen der Lorentztransformation

\[ \begin{array}{} t = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}} \cdot \left( t' + \frac{v}{c^2} \cdot x' \right) \\ \\
x = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}} \cdot \left( x' + v \cdot t' \right) \end{array} \]

 

\[ \begin{array}{} t' = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}} \cdot \left( t - \frac{v}{c^2} \cdot x \right) \\ \\
x' = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}} \cdot \left( x - v \cdot t \right) \end{array} \]

Hendrik Antoon Lorentz
Abb.
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Hendrik Antoon LORENTZ (1853 - 1928)
Hendrik Antoon Lorentz wurde am 18.7.1853 in Arnheim (Niederlande) geboren und starb am 4.2.1928 in Haarlem.

Auf Hendrik Antoon Lorentz geht unter anderem die Lorentz-Kraft des Elektromagnetismus und die Lorentz-Transformationen der Relativitätstheorie zurück.

Lorentz teilt sich im Jahr 1902 den Physik-Nobelpreis mit Pieter Zeeman (1865-1943) für Forschungen über Magnetismus und Strahlung.

Geschwindigkeitsaddition

1 Relativistische Geschwindigkeitsaddition im MINKOWSKI-Diagramm

Die Weltlinie von C ist durch die Koordinaten der Weltpunkte P und Q festgelegt.

Auf Grund der Lorentztransformation gilt mit \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\):
\[ \begin{array}{} t_{PA} = \gamma \cdot \left( t_{PB} + \frac{v}{c^2} \cdot x_{PB} \right) \qquad \text{und} \qquad t_{QA} = \gamma \cdot \left( t_{QB} + \frac{v}{c^2} \cdot x_{QB} \right) \\ \\
x_{PA} = \gamma \cdot \left( x_{PB} + v \cdot t_{PB} \right) \qquad \text{und} \qquad x_{QA} = \gamma \cdot \left( x_{QB} + v \cdot t_{QB} \right) \end{array} \]

Für die Geschwindigkeiten gilt:
\[ \begin{array}{} u_B = \frac{x_{QB} - x_{PB}}{t_{QB} - t_{PB}} \qquad \text{(1)} \\ \\
u_A = \frac{x_{QA} - x_{PA}}{t_{QA} - t_{PA}} = \frac{\gamma \cdot \left( x_{QB} + v \cdot t_{QB} - x_{PB} - v \cdot t_{PB} \right)}{\gamma \cdot \left( t_{QB} + \frac{v}{c^2} \cdot x_{QB} - t_{PB} + \frac{v}{c^2} \cdot x_{PB} \right)} = \frac{x_{QB} - x_{PB} + v \cdot \left( t_{QB} - t_{PB} \right) }{t_{QB} - t_{PB} + \frac{v}{c^2} \cdot \left( x_{QB} - x_{PB} \right) } \qquad{(2)} \end{array} \]

In \(\text{(2)} \) liefert Division durch \(t_{QB} - t_{PB}\) die gesuchte Gleichung:

\[ u_A = \frac{\frac{x_{QB} - x_{PB}}{t_{QB} - t_{PB}} + v \cdot \frac{t_{QB} - t_{PB}}{t_{QB} - t_{PB}}}{\frac{t_{QB} - t_{PB}}{t_{QB} - t_{PB}} + \frac{v}{c^2} \cdot \frac{x_{QB} - x_{PB}}{t_{QB} - t_{PB}}} = \frac{u_B + v}{1 + \frac{u_B \cdot v}{c^2}} \]

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

\[ u_A = \frac{u_B + v}{1 + \frac{u_B \cdot v}{c^2}} \]

 

\[ u_B = \frac{u_A - v}{1 + \frac{u_A \cdot v}{c^2}} \]

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