Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Myonen auf dem Weg zur Erde

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Quelle: U. Schrewe

Beim Eindringen der aus dem All kommenden Strahlung (primäre Höhenstrahlung) entstehen durch Wechselwirkung mit der Erdatmosphäre eine Reihe von Teilchen (sekundäre Höhenstrahlung). Eine Gruppe der sekundären Höhenstrahlung sind die instabilen Myonen. Ruhende Myonen zerfallen mit einer Halbwertszeit von \({1{,}52 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{s}}}\).

a)In \(2{,}0\,\rm{km}\) Höhe mögen sich \(1{,}0 \cdot {10^4}\) Myonen mit der Geschwindigkeit von \({0{,}99 \cdot c}\) in Richtung Erdoberfläche bewegen.

Schätze ab, wie viele Myonen nach klassischer Rechnung auf der Erdoberfläche zu erwarten sind.

b)Tatsächlich erreichen durchschnittlich \(N' = 6{,}49 \cdot {10^3}\) dieser Myonen die Erdoberfläche.

Erläutere den Widerspruch zum Ergebnis von Teilaufgabe a).

Weise die Richtigkeit des angegebenen Wertes für \({N'}\) durch Berechnung nach.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Die Zeitdauer \(\Delta t\), welche die Myonen im Erdsystem unterwegs sind, berechnet sich zu\[\Delta t = \frac{h}{v} \Rightarrow \Delta t = \frac{{2{,}0 \cdot {{10}^3}{\rm{m}}}}{{0{,}99 \cdot 3{,}0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 6{,}73 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{s}}\]Nach klassischer Rechnung mit dem Zerfallsgesetz würden nach dieser Zeit noch \(N^*\) Myonen auf der Erdoberfläche ankommen:\[{N^*} = {N_0} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{\Delta t}}{{{T_{1/2}}}}}} \Rightarrow {N^*} = 1{,}0 \cdot {10^4} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{6{,}73 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{s}}}}{{1{,}52 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{s}}}}}} = 4{,}64 \cdot {10^2}\]

b)Der Myonen-Zerfall stellt eine Uhr dar. Die bewegte Uhr zeigt weniger an als die ruhenden Uhren, an denen sie vorbeikommt (Zeitdilatation). Von der Erde aus betrachtet sind die Myonen die Zeit \(\Delta t = 6{,}73 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{s}}\) unterwegs. Im Ruhesystem der Myonen stellt man dafür eine kürzere Zeitspanne \(\Delta t'\) fest:\[\Delta t' = \Delta t \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  \Rightarrow \Delta t' = 6{,}73 \cdot {10^{ - 6}} \cdot \sqrt {1 - {{\left( {0{,}99} \right)}^2}} {\rm{s}} = 9{,}49 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{s}}\]Mit Hilfe des Zerfallsgesetzes lässt sich nun \(N'\) bestimmen:\[N' = {N_0} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{\Delta t'}}{{{T_{1/2}}}}}} \Rightarrow N' = 1{,}0 \cdot {10^4} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{9{,}49 \cdot {{10}^{ - 7}}{\rm{s}}}}{{1{,}52 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{s}}}}}} = 6{,}49 \cdot {10^3}\]