Auf einer Weltraumreise fährt Astronaut Max mit der Geschwindigkeit \(0{,}60\cdot c\) in Bezug zur Erde, wo sein Zwillingsbruder Sepp zurückbleibt. Für den Hinweg braucht Max nach seiner Uhr \(4{,}0\) Jahre. Anschließend fährt er wieder zur Erde mit dem gleichen Geschwindigkeitsbetrag zurück.
a)Berechne die die gesamte Reisedauer (Hin- und Rückweg) vom Erdbewohner Sepp aus betrachtet.
b)Berechne die Entfernung von der Erde, die Sepp bis zum Umkehrpunkt von Max misst.
c)Zeichne das Weg-Zeit-Diagramm (MINKOWSKI-Diagramm) einschließlich der Lichtlinien für die jährlichen Neujahrs-Signale.
d)Bestimmegraphisch und rechnerisch die Empfangsperioden für diese Signale beim Hin- bzw. Rückweg.
a)Die Gesamtreisedauer für den Astronauten Max ist \(\Delta t'=8{,}0\,\rm{a}\). Unter Berücksichtigung der Zeitdilatation stellt Sepp für die Hin- und Rückreise die Zeitspanne \(\Delta t\) fest:\[\Delta t\;' = \Delta t \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \Leftrightarrow \Delta t = \frac{{\Delta t\;'}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow \Delta t = \frac{{8{,}0}}{{\sqrt {1 - {{\left( {0{,}60} \right)}^2}} }}{\rm{a}} = 10\,{\rm{a}}\]Der Erdbewohner Sepp stellt eine Reisedauer von zehn Jahren fest.
b)Max entfernt sich mit der Geschwindigkeit \(0{,}60\cdot c\) von der Erde. Von der Erde aus wird eine Reisedauer bis zum Umkehrpunkt von \(10\,\rm{a}:2=5{,}0\,\rm{a}\) festgestellt. Somit ergibt sich für Sepp die Entfernung des Umkehrpunkts zu\[\Delta x = v \cdot \Delta t \Rightarrow \Delta x = 0{,}6 \cdot c \cdot 5{,}0\,{\rm{a}} = 3{,}0\,{\rm{Lj}}\]
c)
d)Empfangsperioden graphisch ermittelt:
Auf dem Hinflugerhält Astronaut Max nur alle zwei Jahre ein Signal von Sepp, auf dem Rückflugbekommt er die Signale halbjährlich. Das Gleiche gilt für die Empfangssignale von Sepp.
Max empfängt beim Hinflug nur zwei Signale, beim Rückflug dagegen sieben Signale. Insgesamt erhält er also neun Signale.
Sepp empfängt beim Hinflug vier Signale, beim Rückflug dagegen nur drei Signale. Insgesamt erhält Sepp also sieben Signale.
Empfangsperioden rechnerisch ermittelt:
Solange sich die Brüder voneinander fort bewegentreffen die Signale in Zeitabständen von\[k(v) \cdot 1{\rm{a}} = \sqrt {\frac{{c + v}}{{c - v}}} \cdot 1{\rm{a}} = \sqrt {\frac{{1{,}6 \cdot c}}{{0{,}4 \cdot c}}} \cdot 1{\rm{a}} = 2\,{\rm{a}}\]ein.
Solange sich die Brüder aufeinander zu bewegen treffen die Signale in Zeitabständen von\[k(v) \cdot 1{\rm{a}} = \sqrt {\frac{{c - v}}{{c + v}}} \cdot 1\,{\rm{a}} = \sqrt {\frac{{0{,}4 \cdot c}}{{1{,}6 \cdot c}}} \cdot 1\,{\rm{a}} = \frac{1}{2}{\rm{a}}\]ein.
