Spezielle Relativitätstheorie

Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

  • Warum vergrößert sich die Masse bewegter Körper?
  • Was versteht man unter der Ruheenergie eines Körpers?
  • Wie kommt Einstein zu seiner berühmten Formel E=mc2?
1 Prinzipieller Aufbau einer Lichtuhr. Wird ein Lichtimpuls vom unteren Spiegel zum oberen Spiegel geschickt und dort reflektiert, so verstreicht bis zum Wiedereintreffen beim unteren Spiegel die Zeit \(\Delta t'\)

Was ist eine Lichtuhr?

Die Lichtuhr besteht aus zwei Spiegeln, deren Abstand z.B. \(h=1,5\rm{m}\) ist. Wird nun ein Lichtimpuls vom unteren Spiegel zum oberen Spiegel geschickt und dort reflektiert, so verstreicht bis zum Wiedereintreffen beim unteren Spiegel die Zeit \(\Delta t'\). Bei dem gewählten Beispiel gilt für \(\Delta t'\)
\[\Delta t' = \frac{2 \cdot h}{c}   \Rightarrow   \Delta t' = \frac{2 \cdot 1,5}{3,0 \cdot 10^8} \frac{m}{s} = 1,0 \cdot 10^{-8}s = 10ns\]
Dieser stets wiederholbare Vorgang (Auf- und Absteigen des Lichtsignals) entspricht z.B. der stets wiederholbaren Schwingung des Pendels einer Pendeluhr oder der Schwingung eines Quarzes in einer modernen Armbanduhr. Solche, auf stets gleiche Weise ablaufenden Vorgänge sind für die Zeitmessung geeignet.

In der folgenden Animation wird nun eine Periode der Lichtuhr, die sich in einem Raumschiff befindet, aus verschiedenen Positionen beobachtet:

a) von einem im Raumschiff mitfliegenden Astronauten (Eigensystem S')

b) von einer auf der Erde befindlichen Beobachterin (System S) an der das Raumschiff mit der konstanten Geschwindigkeit v vorbeifliegt

Hinweise:

  • Die Vorgänge sind gegenüber der oberen Animation verlangsamt dargestellt.
  • Die Überlegungen werden allgemein durchgeführt, d.h. für den Abstand h der Spiegel in der Lichtuhr wird keine spezieller Wert verwendet.
2 Periode einer Lichtuhr, die sich in einem Raumschiff befindet, aus verschiedenen Positionen

Zusammenhang zwischen Δt' und Δt:

Im S'-System gilt:
\[\Delta t' = \frac{{2 \cdot h}}{c}\quad (1)\]
Im S-System gilt:
\[\Delta t = \frac{{2 \cdot l}}{c}\quad (2)\]
Aus der Animation erkennt man (graues rechtwinkliges Dreieck):
\[l = \sqrt {{{\left( {\frac{{v \cdot \Delta t}}{2}} \right)}^2} + {h^2}} \quad (3)\]
Setzt man (3) in (2), so erhält man:
\[\begin{array}{l}\Delta t = \frac{{2 \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{v \cdot \Delta t}}{2}} \right)}^2} + {h^2}} }}{c} \Rightarrow {c^2} \cdot \Delta {t^2} = {\left( {v \cdot \Delta t} \right)^2} + {\left( {2 \cdot h} \right)^2}\\\Delta {t^2} \cdot \left( {{c^2} - {v^2}} \right) = {\left( {2 \cdot h} \right)^2} \Rightarrow \Delta t = 2 \cdot h \cdot \frac{1}{{\sqrt {{c^2} - {v^2}} }} \Rightarrow \Delta t = \frac{{2 \cdot h}}{c} \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {{\textstyle{v \over c}}} \right)}^2}} }}\end{array}\]

 

Unter Berücksichtigung von (1) ergibt sich dann für den Zusammenhang zwischen Δt und Δt':

Zeitdilatation

\[\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}\]

3 Phänomen der Zeitdilatation: Eine relativ zu einem Beobachter bewegte Uhr geht aus der Sicht des Beobachters langsamer als der Satz synchronisierter Uhren im "Beobachter-System"

Erläuterungen und Hinweise:

  • Da v stets kleiner c ist, gilt für \(\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}\) < 1. Somit gilt Δt > Δt'.
  • Obige Gleichung besagt:
    Eine relativ zu einem Beobachter bewegte Uhr geht aus der Sicht des Beobachters langsamer als der Satz synchronisierter Uhren im "Beobachter-System" (Zeitdilatation).
    Oft hört man hierfür die etwas saloppe Formulierung: "Bewegte Uhren gehen langsamer".
  • Beachten Sie, dass das Zeitintervall Δt' durch zwei aufeinanderfolgende Ablesungen an einer Uhr im S'-System bestimmt ist. Dagegen ist das Zeitintervall Δt bestimmt durch Ablesungen an zwei verschiedenen, synchronisierten Uhren im S-System.
  • Eine mehr formale Herleitung der Zeitdilatation ist auch mit den Minkowski-Diagrammen möglich.
  • Würde man davon ausgehen, dass es eine absolute Zeit gibt, d.h. dass Δt = Δt' ist, so hätte dies zur Konsequenz, dass man für die Lichtgeschwindigkeit in den Systemen S und S' verschiedene Werte erhält: \[c_{S'} = \frac{2 \cdot h}{\Delta t}   \text{bzw.}     c_S = \frac{2 \cdot l}{\Delta t}     \text{da}    l > h   \text{wäre auch}      c_S > c_{S'}\]

 

Ergänzendes Material zum Thema bei Welt der Physik

 

1 Definition der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse: Zwei Ereignisse an zwei Orten A und B eines Inertialsystems sind gleichzeitig, wenn sie von Lichtstrahlen ausgelöst werden können, die im gleichen Augenblick vom Mittelpunkt von A und B ausgehen

Bis zum Beginn 20. Jahrhunderts war man der Meinung, dass die Zeit eine absolute Größe ist, d.h. die Zeit läuft in allen Intertialsystemen gleich ab. Das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit führt jedoch dazu, dass man von dieser Vorstellung, die in unseren Hirnen fest verankert scheint, Abschied nehmen muss.

Gleichzeitigkeit von Ereignissen

Gleichzeitigkeit von Ereignissen in einem Inertialsystem, die sich an verschiedenen Orten A und B befinden

Zwei Ereignisse an verschiedenen Orten A und B eines Inertialsystems sind gleichzeitig, wenn sie von Lichtstrahlen ausgelöst werden können, die im gleichen Augenblick von einem Punkt ausgehen, der in der Mitte von A und B liegt.

2 Prinzipielle Versuchsanordnung zur Erklärung der Relativität der Gleichzeitigkeit in zueinander bewegten Bezugssystemen

Betrachtet man die Gleichzeitigkeit in verschiedenen Inertialsystemen, so entsteht eine neue Situation. Um diese genauer zu verstehen, betrachten wir zwei sehr lange Raketen (eine aus Frankreich und eine aus Deutschland), die mit der Relativgeschwindigkeit \(v\) aneinander vorbei fliegen. Beide Raketen seien baugleich und haben sowohl am Heck als auch am Bug eine Uhr. Um Vorgänge im All gleichartig beurteilen zu können, sollen die Uhren in den Raketen gleichzeitig gestartet werden.

Zum Uhrenstart soll ein Lichtsignal dienen, das genau dann in der Mitte der beiden Raketen ausgesandt wird, wenn die beiden Raumschiffe genau nebeneinander liegen. Die mögliche Bewegung der Lampe, die das Lichtsignal aussendet, relativ zu den Raketen ist hier nicht relevant und wird deshalb auch nicht gezeigt.

3 Zwei Ereignisse, die in einem Bezugssystem gleichzeitig sind, in einem relativ dazu bewegten Bezugssystem nicht gleichzeitig

Beurteilung des Vorgangs in einem System, in dem die deutsche Rakete ruht.

Die Uhren im deutschen Raumschiff werden gleichzeitig gestartet, die Uhren im französischen Raumschiff dagegen nicht.