a)Die Flugzeit \({t_{\rm{E}}}\) im Bezugssystem "Erde" errechnet sich durch \[s = v \cdot {t_{\rm{E}}} \Leftrightarrow {t_{\rm{E}}} = \frac{s}{v} \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \frac{{1910\,{\rm{m}} - 3\,{\rm{m}}}}{{0{,}995 \cdot 2{,}998 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 6{,}393 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{s}} = 6{,}393\,{\rm{\mu s}}\]
b)Das Zerfallsgesetz lautet allgemein \[N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\] mit \(\lambda = \frac{1}{\tau }\). Daraus erhält man für diesen konkreten Fall \[N\left( t \right) = 563 \cdot {e^{ - \frac{t}{{2,2{\rm{\mu s}}}}}}\]
c)Hieraus wiederum berechnet man für die Zahl der nach der Flugzeit von \(t_{\rm{E}} = 6{,}4\,{\rm{\mu s}}\) in \(3\rm{m}\) Höhe noch zu erwartenden Myonen \[N\left( {6{,}4\,{\rm{\mu s}}} \right) = 563 \cdot {e^{ - \frac{{6,4{\rm{\mu s}}}}{{2,2{\rm{\mu s}}}}}} = 31\]
d)Da in \(3\,\rm{m}\) Höhe aber noch \(408\) Myonen pro Stunde (also wesentlich mehr als zu erwarten ist) registriert werden, muss die Flugzeit \({t_{\rm{M}}}\) für die Myonen kürzer gewesen sein. Einsetzen der gegebeben Werte in das Zerfallsgesetz und Auflösen nach \({t_{\rm{M}}}\) liefert \[408 = 563 \cdot {e^{ - \frac{{{t_{\rm{M}}}}}{{2,2{\rm{\mu s}}}}}} \Leftrightarrow \frac{{408}}{{563}} = {e^{ - \frac{{{t_{\rm{M}}}}}{{2,2{\rm{\mu s}}}}}} \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{408}}{{563}}} \right) = - \frac{{{t_{\rm{M}}}}}{{2,2{\rm{\mu s}}}} \Leftrightarrow - 2{,}2\,{\rm{\mu s}} \cdot \ln \left( {\frac{{408}}{{563}}} \right) = {t_{\rm{M}}}\] und damit \({t_{\rm{M}}} = 0{,}71\,{\rm{\mu s}}\). Für die bewegten Myonen ist die Zeit also wesentlich langsamer verstrichen als für den ruhenden Beobachter auf der Erde.
e)Den LORENTZ-Faktor \(\gamma = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\) bestimmt man nun mit Hilfe der Beziehung \[{t_{\rm{E}}} = \gamma \cdot {t_{\rm{M}}} \Leftrightarrow \gamma = \frac{{{t_{\rm{E}}}}}{{{t_{\rm{M}}}}} \Rightarrow \gamma = \frac{{6{,}4\,{\rm{\mu s}}}}{{0{,}71\,{\rm{\mu s}}}} = 9{,}0\] Aus der zu Beginn gemessenen Geschwindigkeit von \({v = 0{,}995 \cdot c}\) erhält man den theoretischen Wert \[\gamma = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0{,}995 \cdot c}}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{0{,}995}^2}} }} = 10{,}0\] Somit stellt das Experiment von ROSSI und HALL eine gute Bestätigung der Speziellen Relativitätstheorie dar.
