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Aufgabe

Experiment von ROSSI und HALL

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Das Experiment von Bruno ROSSI und David HALL aus dem Jahr 1941 bestätigt die Zeitdilatation der Speziellen Relativitätstheorie. Ein ähnliches Experiment wurde mit erhöhter Präzision von FRISCH und SMITH 1963 ausgeführt. Wir beziehen uns hier auf deren Messungen.

In einer Höhe von \(1910\,\rm{m}\), auf dem Gipfel des Mount Washington, wurden mithilfe eines Detektors Myonen registriert, die sich mit einer Geschwindigkeit von \(v=0{,}995 \cdot c\) bewegten. FRISCH und SMITH erhielten eine Zählrate von \(563\) Myonen pro Stunde.

Nun wurde die Messung in einer Höhe von \(3\,\rm{m}\) über dem Meeresspiegel wiederholt und sie erhielten eine Zählrate von \(408\) Myonen pro Stunde.

a)Berechne die Flugzeit der Myonen im Bezugssystem "Erde".

b)Aus einem Versuch mit Myonen wurde die mittlere Lebensdauer eines Myons mit \(\tau=2{,}2\,\rm{\mu s}\) ermittelt.

Bestimme mit dieser Angabe das Zerfallsgesetz für Myonen.

c)Berechne, wie viele Myonen theoretisch auf Meereshöhe registriert werden sollten.

d)Bestimme anhand der Messungen des Myonen-Experimentes und dem Zerfallsgesetz die Zeit, die in seinem Bezugsystem für das Myon vergangen ist.

e)Bestimme den LORENTZ-Faktor \(\gamma  = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\), der aus diesem Experiment abgeleitet wurde und vergleiche mit dem theoretischen Wert, der sich aus der LORENTZ-Transformation ergibt.

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a)Die Flugzeit \({t_{\rm{E}}}\) im Bezugssystem "Erde" errechnet sich durch \[s = v \cdot {t_{\rm{E}}} \Leftrightarrow {t_{\rm{E}}} = \frac{s}{v} \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \frac{{1910\,{\rm{m}} - 3\,{\rm{m}}}}{{0{,}995 \cdot 2{,}998 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 6{,}393 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{s}} = 6{,}393\,{\rm{\mu s}}\]

b)Das Zerfallsgesetz lautet allgemein \[N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}\] mit \(\lambda  = \frac{1}{\tau }\). Daraus erhält man für diesen konkreten Fall \[N\left( t \right) = 563 \cdot {e^{ - \frac{t}{{2,2{\rm{\mu s}}}}}}\]

c)Hieraus wiederum berechnet man für die Zahl der nach der Flugzeit von \(t_{\rm{E}} = 6{,}4\,{\rm{\mu s}}\) in \(3\rm{m}\) Höhe noch zu erwartenden Myonen \[N\left( {6{,}4\,{\rm{\mu s}}} \right) = 563 \cdot {e^{ - \frac{{6,4{\rm{\mu s}}}}{{2,2{\rm{\mu s}}}}}} = 31\]

d)Da in \(3\,\rm{m}\) Höhe aber noch \(408\) Myonen pro Stunde (also wesentlich mehr als zu erwarten ist) registriert werden, muss die Flugzeit \({t_{\rm{M}}}\) für die Myonen kürzer gewesen sein. Einsetzen der gegebeben Werte in das Zerfallsgesetz und Auflösen nach \({t_{\rm{M}}}\) liefert \[408 = 563 \cdot {e^{ - \frac{{{t_{\rm{M}}}}}{{2,2{\rm{\mu s}}}}}} \Leftrightarrow \frac{{408}}{{563}} = {e^{ - \frac{{{t_{\rm{M}}}}}{{2,2{\rm{\mu s}}}}}} \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{408}}{{563}}} \right) =  - \frac{{{t_{\rm{M}}}}}{{2,2{\rm{\mu s}}}} \Leftrightarrow  - 2{,}2\,{\rm{\mu s}} \cdot \ln \left( {\frac{{408}}{{563}}} \right) = {t_{\rm{M}}}\] und damit \({t_{\rm{M}}} = 0{,}71\,{\rm{\mu s}}\). Für die bewegten Myonen ist die Zeit also wesentlich langsamer verstrichen als für den ruhenden Beobachter auf der Erde.

e)Den LORENTZ-Faktor \(\gamma  = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\) bestimmt man nun mit Hilfe der Beziehung \[{t_{\rm{E}}} = \gamma  \cdot {t_{\rm{M}}} \Leftrightarrow \gamma  = \frac{{{t_{\rm{E}}}}}{{{t_{\rm{M}}}}} \Rightarrow \gamma  = \frac{{6{,}4\,{\rm{\mu s}}}}{{0{,}71\,{\rm{\mu s}}}} = 9{,}0\] Aus der zu Beginn gemessenen Geschwindigkeit von \({v = 0{,}995 \cdot c}\) erhält man den theoretischen Wert \[\gamma  = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0{,}995 \cdot c}}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{0{,}995}^2}} }} = 10{,}0\] Somit stellt das Experiment von ROSSI und HALL eine gute Bestätigung der Speziellen Relativitätstheorie dar.