Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

  • Warum vergrößert sich die Masse bewegter Körper?
  • Was versteht man unter der Ruheenergie eines Körpers?
  • Wie kommt Einstein zu seiner berühmten Formel E=mc2?

Lebensdauer von Myonen

Aufgabe

Myonen wurden 1936 von Carl D. ANDERSON und Seth NEDDERMEYER bei der Untersuchung von kosmischer Strahlung entdeckt. Myonen entstehen in einer Höhe von \(h = 10\,\rm{km}\) über der Erdoberfläche durch Wechselwirkung der kosmischen Strahlung mit Atomkernen der Atmosphäre. Die Myonen bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von \(v = 0{,}9998 \cdot c\) in Richtung Erdoberfläche, zerfallen aber nach kurzer Zeit in ein Myon-Neutrino, ein Anti-Elektronneutrino und ein Elektron. Für ein im Labor ruhendes Myon misst man eine mittlere Lebensdauer von ca. \(\tau = 2{,}2\,{\rm{\mu s}}\).

a)Berechne klassisch, wie weit ein Myon während seiner mittleren Lebensdauer fliegen kann.

Tatsächlich können Myonen auf der Erdoberfläche nachgewiesen werden. Dieses Ergebnis steht scheinbar im Widerspruch zum Ergebnis von Teilaufgabe a). Dieser Widerspruch kann mit einer relativistischen Betrachtung des Problems allerdings aufgelöst werden.

Im Bezugssystem des Myons, das sich Richtung Erde bewegt, ruht das Myon und hat die oben angegebene Lebensdauer von \(\tau_{\rm{M}} = \tau = 2{,}2\,{\rm{\mu s}}\). Für einen Beobachter auf der Erde jedoch bewegt sich das Myon mit sehr hoher Geschwindigkeit auf die Erde zu. Nun ist ein wichtiges Ergebnis der Speziellen Relativitätstheorie, dass die Zeit \(t_{\rm{E}}\), die der Beobachter auf der Erde für einen Vorgang im Bezugssystem des Myons misst, länger ist als die Zeit \(t_{\rm{M}}\), die ein Beobachter im System des Myons für den gleichen Vorgang misst. Oft wird dies mit der Aussage "bewegte Uhren gehen langsamer" ausgedrückt. Das langsamere Gehen der Uhr des Myons wird Zeitdilatation genannt.

Für den Zusammenhang der beiden Zeiten \({t_{\rm{E}}}\) und \({t_{\rm{M}}}\) liefert die Relativitätstheorie die Formel \[{t_{\rm{E}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {t_{\rm{M}}}\] mit dem sogenannten LORENTZ-Faktor \[\gamma = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\] einer für die gesamte Relativitätstheorie wichtigen Größe.

b)Begründe die Beziehung \(t_{\rm{E}} > t_{\rm{M}}\).

Erläutere, wie sich die Größe \(\gamma\) und damit die Zeit \(t_{\rm{E}}\) verändert, wenn sich die Geschwindigkeit \(v\) des Myons der Lichtgeschwindigkeit nähert.

c)Berechne die Zeit \(\tau_{\rm{E}}\), die ein Beobachter im Bezugssystem Erde für die mittlere Lebensdauer des Myons misst, dass sich mit der oben angegebene Geschwindigkeit in Richtung Erde bewegt.

Begründe, dass das Myon demzufolge die Erdoberfläche erreicht.

Ein weiteres wichtiges Ergebnis der Speziellen Relativitätstheorie ist, dass die Länge \(s_{\rm{M}}\) einer Strecke, die in Bewegungsrichtung liegt und die der Beobachter im Bezugssystem des Myons misst, kürzer ist als die Länge \(s_{\rm{E}}\), die ein Beobachter in dem System misst, in dem die Strecke ruht. Oft wird dies mit der Aussage "bewegte Maßstäbe sind in Bewegungsrichtung kürzer"  ausgedrückt. Das Verkürzen des Maßstabs des Myons wird Längenkontraktion genannt.

Für den Zusammenhang der beiden Längen \({s_{\rm{M}}}\) und \({s_{\rm{E}}}\) liefert die Relativitätstheorie die Formel \[{s_{\rm{M}}} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \cdot {s_{\rm{E}}}\]

d)Begründe die Beziehung \(s_{\rm{M}} < s_{\rm{E}}\).

Erläutere, wie sich die Länge \(s_{\rm{M}}\) verändert, wenn sich die Geschwindigkeit \(v\) des Myons der Lichtgeschwindigkeit nähert.

e)Berechne die Entfernung \(h_{\rm{M}}\), die das Myon aus seiner Sicht bis zur Erdoberfläche zurücklegen muss, wenn es sich mit der oben angegebene Geschwindigkeit in Richtung Erde bewegt.

Begründe, dass das Myon demzufolge die Erdoberfläche erreicht.

Lösung

a)Die gesuchte Strecke \(s\) berechnet sich durch \[s = v \cdot t \Rightarrow s = 0{,}9998 \cdot 3,0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 2{,}2 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{s}} = 660\,{\rm{m}}\] Das Myon müsste aus klassischer Sicht also längst zerfallen sein, bevor es die Erdoberfläche trifft. 

b)Der Term \({\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }\) ist stets kleiner als \(1\) und damit der Kehrwert stets größer als \(1\). Damit gilt stets \(t_{\rm{E}} > t_{\rm{M}}\).

c)Wenn sich die Geschwindigkeit \(v\) der Lichtgeschwindigkeit \(c\) nähert, so nähert sich der Term \({{{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}\) dem Wert \(1\), der Term \({\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }\) dem Wert \(0\) und damit wird der Kehrwert immer größer. Daraus ergibt sich, dass die Zeit \(t_{\rm{E}}\) immer größer wird.

d)Der Beobachter auf der Erde misst die Zeit \[{t_{\rm{E}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {t_{\rm{M}}} \Rightarrow {t_{\rm{E}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,9998 \cdot c}}{c}} \right)}^2}} }} \cdot 2,2 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{s}} = 1{,}1 \cdot {10^{ - 4}}{\rm{s}}\] also eine \(50\)-mal so lange Zeit wie der Beobachter im bewegten System des Myons. 

e)Aus Sicht des Beobachters auf der Erde kann das Myon also im Mittel eine Strecke von \[s_{\rm{E}} = v \cdot t_{\rm{E}} \Rightarrow s_{\rm{E}} = 0,9998 \cdot 3,0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1,1 \cdot {10^{ - 4}}{\rm{s}} = 33000{\rm{m}} = 33{\rm{km}}\] zurücklegen. Das Myon wird demnach die Erde erreichen.

f)Der Term \({\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }\) ist stets kleiner als \(1\). Damit gilt stets \(s_{\rm{M}} < s_{\rm{E}}\).

g)Wenn sich die Geschwindigkeit \(v\) der Lichtgeschwindigkeit \(c\) nähert, so nähert sich der Term \({{{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}\) dem Wert \(1\), der Term \({\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }\) dem Wert \(0\). Daraus ergibt sich, dass die Strecke \(s_{\rm{M}}\) immer kleiner wird.

h)Im Bezugssystem des Myons ruht das Myon und hat eine Lebensdauer von \(\tau_{\rm{M}} = \tau =2,2{\rm{\mu s}}\). Die Erde nähert sich ihm mit einer Geschwindigkeit von \(v = 0,9998 \cdot c\). Wegen der Längenkontraktion nimmt ein Beobachter im Bezugssystem des Myons Längen von Strecken, die sich relativ zu ihm bewegen, verkürzt wahr. Dieser Beobachter ermittelt einen Abstand zur Erde von \[{h_{\rm{M}}} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  \cdot {h_{\rm{E}}} \Rightarrow h_{\rm{M}} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,9998 \cdot c}}{c}} \right)}^2}}  \cdot 1,0 \cdot {10^4}{\rm{m}} = 200{\rm{m}}\] Da aus seiner Sicht das Myon während seiner Lebensdauer eine Strecke von \(s_{\rm{M}} = s = 660{\rm{m}}\) zurücklegt, erreicht es leicht die Erdoberfläche.