Ein Federpendel besteht aus einem Pendelkörper, der an einer horizontal beweglichen Feder befestigt ist. Die Gewichtskraft auf den Pendelkörper wird z.B. durch eine Luftkissenbahn kompensiert. Du darfst das Federpendel nicht mit dem Feder-Schwere-Pendel verwechseln, welches senkrecht ausgerichtet ist.
Der Pendelkörper des Federpendels wird ein Stück aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen.
Die Animation in Abb. 2 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Wenn du die Checkbox "Größen" anwählst, kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.
In der Regel machen wir zur mathematischen Beschreibung des Federpendels folgende vereinfachende Annahmen:
- Die Bewegung des Pendelkörpers und der Feder verläuft reibungsfrei.
- Die Masse der Feder wird vernachlässigt.
- Der Betrag der Federkraft ist proportional zur Ausdehnung der Feder.
Bewegung des Federpendels
Ein Pendelkörper der Masse \(m\) befindet sich an einer horizontal beweglichen Feder mit der Federkonstante \(D\) und wird auf die Position \(x\) ausgelenkt. Dann gilt für die rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\)\[F_{\rm{rück}}=-D \cdot x\]Die rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) ist also entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung \(x\). Das Federpendel schwingt somit harmonisch.
Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Abb. 2) und den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0)=\dot x(0) = 0\) wird die Bewegung eines Federpendels beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = \hat{x} \cdot \cos \left( \omega \cdot t \right)\quad {\rm{mit}}\quad\hat x=x_0\quad {\rm{und}} \quad {\omega} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]
Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \, \pi}{\omega}\)\[T = 2 \, \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{{D}}} \]Die Schwingungsdauer ist insbesondere unabhängig von der Amplitude \(\hat x\).
Die Animation in Abb. 3 zeigt dir den zeitlichen Verlauf von Ort \(x\), Geschwindigkeit \(v\), Beschleunigung \(a\), rücktreibender Kraft \(F_{\rm{rück}}\) (gleich der Federkraft \(F_{\rm{F}}\)), Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) und kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\) eines Federpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern \(D\), \(m\) und \(x_0\). Diese Größen kannst du in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.
Beschreibung der relevanten Größen
Wie wir im Theorieartikel (Link am Ende dieses Artikels) zeigen, wird das zeitliche Verhalten aller relevanter Größen durch sogenannte trigonometrische Funktionen beschrieben. Es ergibt sich\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat x = {x_0}\;;\;{\omega} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]\[v(t) = - \hat v \cdot \sin \left( {{\omega} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat v = {x_0} \cdot {\omega} = {x_0} \cdot \sqrt {\frac{D}{m}} \]\[a(t) = - \hat a \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat a = {x_0} \cdot {\omega}^2 = {x_0} \cdot \frac{D}{m}\]\[{F_{\rm{F}}}(t) = - \hat F \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right) \;\;{\rm{mit}}\;\;\hat F = D \cdot {x_0}\]\[{E_{{\rm{kin}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2 \cdot {\sin ^2}\left( {{\omega} \cdot t} \right)\]\[{E_{{\rm{Spann}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2 \cdot {\cos ^2}\left( {{\omega} \cdot t} \right)\]
Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung
Im Folgenden werden wir die Bewegung des Federpendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben. Hierzu machen wir die oben angegebenen vereinfachenden Annahmen:
- Die Bewegung des Pendelkörpers und der Feder verläuft reibungsfrei.
- Die Masse der Feder wird vernachlässigt.
- Der Betrag der Federkraft ist proportional zur Ausdehnung der Feder.
1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems
Wir wählen eine horizontales Koordinatensystem (\(x\)-Achse), dessen Nullpunkt in der Ruhelage des Federpendels liegt und das nach rechts orientiert ist (vgl. Animation). In diesem Koordinatensystem gilt für die Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit\[a = \ddot x(t) \quad (1)\]Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist.
2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{res}}\)
Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirkt auf den Pendelkörper nur eine Kraft: Die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\). Wir erhalten also \[F_{\rm{res}}=F_{\rm{F}} \quad(2)\]
3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)
Da die Masse der Feder vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers. Sie bleibt während der Schwingung konstant.
4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung
Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit \((1)\) und \((2)\)\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{F}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).
Die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\) ist stets gegen die Position \(x\) gerichtet: Ist die Position \(x\) positiv, so wirkt die Federkraft gegen die Orientierung des Koordinatensystems; ist die Position negativ, so wirkt die Federkraft mit der Orientierung des Koordinatensystems (vgl. Animation). Es gilt also\[F_{\rm{F}} = - D \cdot x\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(x\) allgemeiner \(x(t)\) schreiben und erhalten\[F_{\rm{F}} = -D \cdot x(t) \quad(3)\]
Setzen wir \((3)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{F}}}{m}\underbrace{=}_{(3)} = \frac{-D \cdot x(t)}{m} = -\frac{D}{m} \cdot x(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot x(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0\quad (***)\]Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Federpendels.
5. Angeben der Anfangsbedingungen
Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Pendelkörper auf die Position \(x_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\).
6. Lösen der Bewegungsgleichung
Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(x(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Als Lösung findet man die Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( \omega \cdot t \right)\quad{\rm{mit}}\quad{\omega} = \sqrt {\frac{D}{m}}\] Diese Funktion beschreibt die Bewegung des Federpendels vollständig.
Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir die Herleitung einblenden lassen.
Gesucht ist eine Lösung von Gleichung \((***)\), d.h. eine Funktion \(x(t)\), deren zweite Ableitung nach der Zeit \(\ddot x(t)\) entgegengesetzt proportional zur Funktion \(x(t)\) ist. Dies trifft sowohl auf die Sinus- als auch auf die Kosinusfunktion zu. Wegen der Anfangsbedingung \(x(0)=x_0\ne 0\) kommt wegen \(\sin (0) = 0\) hier nur die Kosinusfunktion als Lösung in Betracht. Wir setzen also an mit der allgemeinen Kosinusfunktion\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]und müssen nun die Größen \(\omega\) und \(\hat x\) bestimmen.
Zur Bestimmung von \(\omega\) bilden wir zuerst die 1. Ableitung nach der Zeit\[\dot x(t) = - \hat x \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]und dann die 2. Ableitung nach der Zeit\[\ddot x(t) = - \hat x \cdot {\omega^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]Dann setzen wir die Funktion und die 2. Ableitung in Gleichung \((***)\) ein. Dann erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat x \cdot {\omega^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \frac{{D}}{m} \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot \left[ {{\omega^2} - \frac{{D}}{m}} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[{{\omega^2} - \frac{{D}}{m} = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{{D}}{m}} }\]
Zur Bestimmung von \(\hat x\) nutzen wir die erste Anfangsbedingung \(x(0) = {x_0}\). Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss gelten\[x(0) = {x_0} \Rightarrow \hat x \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {x_0} \Rightarrow \hat x = {x_0}\]Auch die zweite Anfangsbedingung \(v(0)=\dot x(0) = 0\) muss erfüllt sein. Dies ist wegen\[v(0)=\dot x(0) = - \hat x \cdot \omega \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]ebenfalls der Fall.