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Grundwissen

Feder-Schwere-Pendel

Das Wichtigste auf einen Blick

Ein Feder-Schwere-Pendel mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Feder mit der Federkonstante \(D\) schwingt harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad{\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]

Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}\).

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Abb. 1 Bewegung eines Feder-Schwere-Pendels und einige Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind

Ein Feder-Schwere-Pendel besteht aus einem Pendelkörper, der über eine Feder an einer Befestigung vertikal aufgehängt ist. Der Pendelkörper wird ein Stück aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Wenn du die Checkbox "Größen" anwählst, kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.

Im Folgenden werden wir die Bewegung des Feder-Schwere-Pendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben. Hierzu machen wir folgende vereinfachende Annahmen:

Die Bewegung des Pendelkörpers und der Feder verläuft reibungsfrei.

Die Masse der Feder wird vernachlässigt.

Der Betrag der Federkraft ist proportional zur Ausdehnung der Feder.

1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems

Wir wählen eine vertikales Koordinatensystem (\(y\)-Achse), dessen Nullpunkt in der Ruhelage des Feder-Schwere-Pendels liegt und das nach oben orientiert ist (vgl. Animation). In diesem Koordinatensystem gilt für die Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit\[a = \ddot y(t) \quad (1)\] Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist.

2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{res}}\)

Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirken auf den Pendelkörper nur zwei Kräfte: Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\). Wir erhalten also \[F_{\rm{res}}=F_{\rm{G}} + F_{\rm{F}} \quad(2)\]

3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)

Da die Masse der Feder vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers. Sie bleibt während der Schwingung konstant.

4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung

Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit (\(1)\) und (\(2)\)\[\ddot y(t) = \frac{F_{\rm{G}}+F_{\rm{F}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir schrittweise den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).

Schritt 1

Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) ist stets gegen die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet; es gilt also\[F_{\rm{G}} = - m \cdot g \quad (3)\]

Schritt 2
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Abb. 2 Bewegung eines Feder-Schwere-Pendels und insbesondere die Größen, die zur Beschreibung der Federkraft wichtig sind

Wir stellen die Details zur Bestimmung der Federkraft beim Feder-Schwere-Pendel in der Animation in Abb. 2 genauer dar.

Wir hängen an die unbelastete Feder mit der Federkonstante \(D\) den Körper mit der Masse \(m\), auf den die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) wirkt. Dadurch dehnt sich die Feder so weit aus, bis die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\) die Gewichtskraft kompensiert und Kräftegleichgewicht herrscht. Der Pendelkörper befindet sich nun in der Ruhelage \(y=0\), die Feder ist um die Strecke \(s_0\) ausgedehnt. In dieser Position gilt\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{F}},{{\rm{s}}_{\rm{0}}}}} &=& - {F_{\rm{G}}}\\D \cdot {s_0} &=& -( - m \cdot g) = m \cdot g\quad (4)\end{eqnarray}\]Wird der Pendelkörper aus der Ruhelage auf die Position \(y\) ausgelenkt, so ist die Feder um die Strecke \(s=s_0-y\) ausgedehnt (Beachte, dass bei \(y<0\) dann \(s=s_0-y>s_0\) ist). Bei einer Auslenkung des Pendelkörpers auf eine Position \(y\) gilt somit für die (stets positiv orientierte) Federkraft \(F_{\rm{F}}\)\[F_{\rm{F}} = D \cdot \left( {{s_0} - y} \right)\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(y\) allgemeiner \(y(t)\) schreiben und erhalten\[F_{\rm{F}} = D \cdot \left( {{s_0} - y(t)} \right) \quad(5)\]

 

Setzen wir \((3)\), \((5)\) und \((4)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot y(t) = \frac{{{F_{\rm{G}}} + {F_{\rm{F}}}}}{m}\underbrace{=}_{(3),(5)}\frac{{ - m \cdot g + D \cdot \left( {{s_0} - y(t)} \right)}}{m} = \frac{{ - m \cdot g + D \cdot {s_0} - D \cdot y(t)}}{m}\underbrace{=}_{(4)}\frac{{ - m \cdot g + m \cdot g - D \cdot y(t)}}{m} =  - \frac{D}{m} \cdot y(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot y(t) + \frac{D}{m} \cdot y(t) = 0\quad (***)\]Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Feder-Schwere-Pendels.

5. Angeben der Anfangsbedingungen

Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Pendelkörper auf die Position \(y_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation in Abb. 1). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(y(0)=y_0\) und \(\dot y(0) = v(0)= 0\).

6. Lösen der Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(y(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(y(0)=y_0\) und \(\dot y(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Diese Funktion beschreibt dann die Bewegung des Feder-Schwere-Pendels vollständig. Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir Herleitung einblenden lassen.

Bewegung des Feder-Schwere-Pendels

Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Animation in Abb. 1) und den Anfangsbedingungen \(y(0) = {y_0}\) und \(v(0)=\dot y(0) = 0\) wird die Bewegung eines Feder-Schwere-Pendels mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Feder mit der Federkonstante \(D\) beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad{\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]Das Feder-Schwere-Pendel schwingt somit harmonisch.

Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{D}}{m}} }} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{{D}}} \]

Die Animation in Abb. 3 zeigt dir den zeitlichen Verlauf von Ort \(x\),  Geschwindigkeit \(v\), Beschleunigung \(a\), Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\), Federkraft \(F_{\rm{F}}\), resultierender Kraft \(F_{\rm{res}}\), kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\), potentieller Energie \(E_{\rm{pot}}\) und Spannenergie \(E_{\rm{Sp}}\) eines Feder-Schwere-Pendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern \(D\), \(m\) und \(x_0\). Diese Größen kannst du in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.

D
m
yo
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Abb. 3 Graphen von Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Gewichts-, Feder- und Gesamtkraft sowie kinetischer, potentieller und Spannenergie (bezogen auf die Ruhelage) eines Feder-Schwere-Pendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern

Hinweis

Man unterliegt leicht der Vorstellung, dass ein Feder-Schwere-Pendel wegen der zusätzlichen Gewichtskraft auf den Pendelkörper anders schwingt als ein baugleiches, aber horizontal schwingendes Federpendel. Dass diese Vorstellung falsch ist haben wir oben gezeigt.

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