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Grundwissen

Energiebetrachtung bei harmonischen Schwingungen

  • Ein allgemeines Kennzeichen für mechanische Schwingungen ist das periodische Hin- und Herpendeln zwischen zwei Energieformen.
  • Bei ungedämpften mechanischen Schwingungen ist die Summe der Energien, die in den beiden Energieformen vorliegen, zeitlich konstant.

Bei allen mechanischen Schwingung ist ein periodisches Hin- und Herpendeln zwischen den zwei Energieformen "kinetische Energie" und "potentielle Energie" (beim Federpendel "Spannenergie") zu beobachten.

Wir betrachten als Beispiel für eine harmonische Schwingung ein ungedämpftes Federpendel. Berechnet man hier für einen beliebigen Zeitpunkt \(t\) die Summe aus kinetischer und Spannenergie, so erhält man\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{ges}}}} &=& {E_{{\rm{pot}}}} + {E_{{\rm{kin}}}}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v{(t)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot x{(t)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {- \hat x \cdot \omega_0  \cdot \sin \left( {\omega_0  \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {\hat x \cdot \cos \left( {\omega_0  \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat x}^2} \cdot {\omega_0 ^2} \cdot \sin {\left( {\omega_0  \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {{\hat x}^2} \cdot \cos {\left( {\omega_0  \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat x}^2} \cdot {\omega_0 ^2} \cdot \sin {\left( {\omega_0  \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \left( {m \cdot {\omega_0 ^2}} \right) \cdot {{\hat x}^2} \cdot \cos {\left( {\omega_0  \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat x}^2} \cdot {\omega_0 ^2} \cdot \underbrace {\left( {\sin {{\left( {\omega_0  \cdot t + \varphi } \right)}^2} + \cos {{\left( {\omega_0  \cdot t + \varphi } \right)}^2}} \right)}_1\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat x}^2} \cdot {\omega_0 ^2}\end{eqnarray}\]Die Gesamtenergie der Schwingung ist also zeitlich konstant.

Hinweis: Das periodische Hin- und Herpendeln zwischen zwei Energieformen ist ein allgemeines Kennzeichen einer Schwingung. So tritt z.B. bei den elektromagnetischen Schwingungen ein Hin- und Herpendeln zwischen "elektrischer Energie" und "magnetischer Energie" auf.