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Grundwissen

Fadenpendel

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein Fadenpendel mit einem Faden der Länge \(l\) schwingt bei kleinen Auslenkungen harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion \(x(t) = \hat{x} \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t \right)\) mit \(\omega_0=\sqrt {\frac{g}{l}}\)
  • Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \); sie ist insbesondere unabhängig von der Amplitude \(\hat{x} \) der Schwingung und der Masse \(m\) des Pendelkörpers.
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Abb. 1 Bewegung eines Fadenpendels, Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind und rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\)

Ein Fadenpendel (oder auch Mathematisches Pendel) besteht aus einem Pendelkörper der Masse \(m\), der mit einem Faden der Länge \(l\) an einer Befestigung aufgehängt ist. Die Länge \(l\) reicht dabei vom Aufhängungspunkt bis zum Schwerpunkt des Pendelkörpers. Der ganze Aufbau befindet sich an einem Ort mit dem Ortsfaktor \(g\).

Der Pendelkörper wird anfangs eine kleine Strecke \(x_0\) (vgl. hierzu auch den Hinweis am Ende des Artikels) aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau und die Bewegung eines Fadenpendels. Wenn du die Checkbox "Größen" wählst, kannst du dir in der Animation die Größen zur Beschreibung der Bewegung und die rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) einblenden lassen.

In der Regel machen wir zur mathematischen Beschreibung des Fadenpendels folgende vereinfachende Annahmen:

  • Die Bewegung des Pendelkörpers und des Fadens verläuft reibungsfrei.

  • Die Masse des Fadens wird vernachlässigt.

  • Der Pendelkörper wird anfangs nur eine kleine Strecke ausgelenkt.

Sowohl durch Experimente als auch durch theoretische Überlegungen (vgl. dazu die Links am Ende dieses Artikels) gelangt man zu folgendem Ergebnis über die Bewegung eines Fadenpendels.

Bewegung des Fadenpendels

Bei einem Fadenpendel ist für kleine Auslenkungen die rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung \(x\). Befindet sich ein Fadenpendel mit einem Faden der Länge \(l\) an einem Ort mit dem Ortsfaktor \(g\), dann gilt\[F_{\rm{rück}}=-\frac{g}{l}\cdot x\]Ein Fadenpendel schwingt somit für kleine Auslenkungen harmonisch.

Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Animation in Abb. 1) und den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0)=\dot x(0) = 0\) wird die Bewegung eines Fadenpendels für kleine Auslenkungen beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = \hat{x} \cdot \cos \left(\omega_0   \cdot t \right)\;{\rm{mit}}\;\hat x=x_0\;{\rm{und}}\;\omega_0=\sqrt {\frac{g}{l}}\]

Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{g}{l}} }} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \]Die Schwingungsdauer ist insbesondere unabhängig von der Amplitude \(\hat x\) und der Masse \(m\) des Pendelkörpers.

Anfangsauslenkung
x0
Masse
m
Fadenlänge
l
Ortsfaktor
g
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Abb. 2 Einfluss der verschiedenen Parameter auf die Bewegung des Fadenpendels und Erklärung der rücktreibenden Kraft über die Kräftezerlegung der Gewichtskraft des Pendelkörpers

Die Bewegung eines Fadenpendels wird - wie bei allen Schwingungen - durch eine rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) verursacht, die auf den Pendelkörper in Richtung der Ruhelage wirkt. Wenn du in der Simulation in Abb. 2 die Checkbox "Größen" wählst, so kannst du sehen, wie sich die rücktreibende Kraft durch die Zerlegung der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) in eine Komponente \(\vec F_{\rm{G,nor}}\) orthogonal zur Bahn und eine Komponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) tangential zur Bahn, also in Bewegungsrichtung des Pendelkörpers, zerlegen lässt. Die Komponente \(\vec F_{\rm{G,nor}}\) wird durch den Faden kompensiert, die Komponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) wirkt als rücktreibende Kraft.

Mit Hilfe der Simulation in Abb. 2 lässt sich auch verstehen, warum nur die Fadenlänge \(l\) und der Ortsfaktor \(g\), nicht aber die Anfangsauslenkung \(x_0\) und die Pendelmasse \(m\) einen Einfluss auf die Schwingungsdauer \(T\) haben.

  • Vergrößerst du die Fadenlänge \(l\), so wird der Winkel zwischen Faden und Gewichtskraft kleiner. Dadurch wird die Komponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) tangential zur Bahn und damit die Rückstellkraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) kleiner. Diese kleinere Rückstellkraft hat eine kleinere Geschwindigkeit des Pendelkörpers und damit eine größere Schwingungsdauer \(T\) zur Folge.

  • Vergrößerst du den Ortsfaktor \(g\), so wird der Betrag der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) größer. Dadurch wird hier die Komponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) tangential zur Bahn und damit die Rückstellkraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) größer. Diese größere Rückstellkraft hat eine größere Geschwindigkeit des Pendelkörpers und damit eine kleinere Schwingungsdauer \(T\) zur Folge.

  • Vergrößerst du die Anfangsauslenkung \(x_0\), so wird auch hier die Rückstellkraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) und damit die Geschwindigkeit des Pendelkörpers größer. Gleichzeitig wird aber auch die Strecke, die beim Hin- und Herschwingen zurückgelegt werden muss größer. Diese beiden Effekte gleichen sich nun genau aus, so dass sich die Schwingungsdauer nicht verändert.

  • Vergrößerst du schließlich die Masse \(m\) des Pendelkörpers, so wird auch hier die Rückstellkraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) größer. Gleichzeitig wird aber auch die träge Masse, die durch die  Rückstellkraft in Bewegung versetzt werden muss, größer. Wieder gleichen sich die beiden Effekte genau aus, so dass sich die Schwingungsdauer auch hier nicht verändert.

Bewegungsdiagramme

Die Animation in Abb. 2 zeigt dir den zeitlichen Verlauf von Ort \(x\),  Geschwindigkeit \(v\), Beschleunigung \(a\), rücktreibender Kraft \(F_{\rm{rück}}\), kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\) und potentieller Energie \(E_{\rm{pot}}\) eines Fadenpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern \(m\), \(g\), \(l\) und \(x_0\). Diese Größen kannst du in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.

xo
m
l
g
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Abb. 3 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, rücktreibende Kraft, kinetische und potentielle Energie (bezogen auf die Ruhelage) eines Fadenpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern

Hinweise

  • Häufig wird fälschlicherweise behauptet, dass die beschleunigende Kraft beim Fadenpendel die vektorielle Summe aus Gewichtskraft und Fadenkraft sei. Hierbei wird übersehen, dass der Faden nicht nur die Komponete der Gewichtskraft orthogonal zur Bahn aufbringen muss, sondern zusätzlich noch die Zentripetalkraft zum Erzwingen der Kreisbahn. Somit ist z.B. beim Durchgang durch die Ruhelage wegen der (dort maximal) aufzubringenden Zentripetalkraft der Betrag der Fadenkraft wesentlich größer als der Betrag der Gewichtskraft. Die vektorielle Summe aus Fadenkraft und Gewichtskraft würde nicht verschwinden, sondern zum Drehpunkt hin nach oben zeigen. Dies lässt sich auch experimentell nachweisen.
  • Nur für kleine Winkel kann der Sinus des Winkels durch den Winkel im Bogenmaß ersetzt werden. Bei einem Auslenkwinkel von \(10^°\) beträgt der Fehler \(0{,}5\%\), bei einem Auslenkwinkel von \(30^°\) etwa \(5{,}0\%\) und bei einem Auslenkwinkel von \(45^°\) schon \(10{,}0\%\). Das Fadenpendel schwingt daher nur für kleine Auslenkwinkel harmonisch.

Bewegungsgleichung für das Fadenpendel

Unter der Bewegungsgleichung eines mechanischen Systems versteht man eine mathematische Gleichung (oder auch ein System von  Gleichungen), welche die räumliche und zeitliche Entwicklung des Systems unter der Einwirkung äußerer Einflüsse vollständig beschreibt. In der Regel ist eine Bewegungsgleichung eine Differentialgleichungen (oder ein System von Differentialgleichungen) zweiter Ordnung. Eine Bewegungsgleichung baut in der Regel auf dem 2. Axiom von NEWTON\[F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\]auf, in das für \(F\) und \(m\) die zum System passenden Größen gefunden werden müssen.

Die Lösung der Bewegungsgleichung ist in der Regel die Funktion \(x(t)\), d.h. die Zeit-Ort-Funktion des Körpers, der sich in dem System bewegt.

Beim Aufstellen der Bewegungsgleichung für das Fadenpendel beachten wir die oben genannten Annahmen der Reibungsfreiheit, der Massefreiheit des Fadens und gehen von einer kleinen Auslenkung des Pendels aus. 

1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems

Wir wählen eine gebogenes Koordinatensystem (\(x\)-Achse), dessen Nullpunkt in der Ruhelage des Fadenpendels liegt und das nach rechts orientiert ist (vgl. Animation in Abb. 1). Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist. Damit gilt\[a = \ddot x(t)\;(1)\].

2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{rück}}\)

Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirken auf den Pendelkörper nur zwei Kräfte: Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und die Kraft des Fadens. Der Faden kompensiert dabei die Komponente \(\vec F_{\rm{G,nor}}\) der Gewichtskraft, die normal (senkrecht) zur der Bahn des Pendelkörpers steht. Die andere Komponente der Gewichtskraft, die tangential zur Bahn des Pendelkörpers steht, beschleunigt den Pendelkörper in Bahnrichtung; diese Komponente bezeichnen wir mit \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) (vgl. hierzu auch den Hinweis weiter oben).  \[F_{\rm{rück}}=F_{\rm{G,tan}} \quad(2)\]

3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)

Da die Masse des Fadens vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers. Sie bleibt während der Schwingung konstant.

4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung

Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit \((1)\) und \((2)\)\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{G,tan}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir schrittweise den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).

Schritt 1
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Abb. 4 Detailskizze zur Bestimmung der Tangentialkomponente der Gewichtskraft

In der Detailskizze in Abb. 4 kannst du folgendes erkennen:

Der Winkel mit der Weite \(\varphi\) zwischen der Senkrechten (gestrichelt) und dem Faden findet sich in dem kleinen Dreieck, gebildet aus Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\), Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) und gestrichelter Strecke wieder.

Dieses Dreieck ist rechtwinklig mit der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) als Hypotenuse und der Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) als Gegenkathete des Winkels. Damit ergibt sich nach dem Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck\[\sin \left( \varphi  \right) = \frac{{{F_{{\rm{G,tan}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{G,tan}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \sin \left( \varphi  \right)\]Weiter ist die Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) stets gegen die Position \(x\) gerichtet: Ist die Position \(x\) positiv, so wirkt die Tangentialkomponente gegen die Orientierung des Koordinatensystems; ist die Position negativ, so wirkt die Tangentialkomponente mit der Orientierung des Koordinatensystems (vgl. Animation). Es gilt also\[ F_{\rm{G,tan}} = - F_{\rm{G}} \cdot \sin \left( \varphi  \right)\]und mit \(F_{\rm{G}}=m \cdot g\)\[ F_{\rm{G,tan}} = - m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi  \right) \quad (3)\]

Schritt 2

Für kleine Winkel ist die im Bogenmaß gemessene Winkelweite \(\varphi\) fast gleich mit dem Sinus \(\sin \left( \varphi  \right)\) des Winkels. Es gilt also\[\sin \left( \varphi  \right) \approx \varphi \quad (4)\]

Schritt 3
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Abb. 5 Detailskizze zur Umrechnung zwischen Winkelweite und Koordinate

Die Detailskizze in Abb. 5 zeigt den Kreisausschnitt, der aus der Senkrechten (gestrichelt), dem Faden der Länge \(l\) und der \(x\)-Koordinate gebildetet wird. Für diesen Kreisausschnitt gilt (im Bogenmaß) das Verhältnis\[\frac{{{\rm{Teilwinkel}}}}{{{\rm{Vollwinkel}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{Kreisbogen}}}}{{{\rm{Kreisumfang}}}} \Leftrightarrow \frac{\varphi }{{2 \cdot \pi }} = \frac{x}{{2 \cdot \pi \cdot l}} \Leftrightarrow \varphi = \frac{x}{l}\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(x\) allgemeiner \(x(t)\) schreiben und erhalten\[\varphi = \frac{x(t)}{l} \quad(5)\]

 

Setzen wir \((3)\), \((4)\) und \((5)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot x(t) = \frac{{{F_{{\rm{G,tan}}}}}}{m}\underbrace  = _{(3)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}{m}\underbrace  = _{(4)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \varphi }}{m}\underbrace  = _{(5)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \frac{{x(t)}}{l}}}{m} =  - \frac{g}{l} \cdot x(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot x(t) + \frac{g}{l} \cdot x(t) = 0\quad (***)\]Diese Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Fadenpendels.

5. Angeben der Anfangsbedingungen

Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Pendelkörper auf die Position \(x_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\).

6. Lösen der Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(x(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Diese Funktion beschreibt dann die Bewegung des Fadenpendels vollständig. Wir erhalten für \(x(t)\)\[x(t) = \hat{x} \cdot \cos \left(\omega_0   \cdot t \right)\;{\rm{mit}}\;\hat x=x_0\;{\rm{und}}\;\omega_0=\sqrt {\frac{g}{l}}\]

Wenn du am Vorgehen beim Herleiten dieser Lösung interessiert bist, kannst du dir dies im folgenden Abschnitt anschauen.

Herleitung der Lösung der Gleichung \((***)\)

Gesucht ist eine Lösung von Gleichung \((***)\), d.h. eine Funktion \(x(t)\), deren zweite Ableitung \(\ddot x(t)\) entgegengesetzt proportional zur Funktion \(x(t)\) ist. Dies trifft sowohl auf die Sinus- als auch auf die Kosinusfunktion zu. Wegen der Anfangsbedingung \(x(0)=x_0\ne 0\) kommt wegen \(\sin (0) = 0\) hier nur die Kosinusfunktion als Lösung in Betracht. Wir setzen also an mit der allgemeinen Kosinusfunktion\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und müssen nun die Größen \(\omega_0\) und \(\hat x\) bestimmen.

Zur Bestimmung von \(\omega_0\) bilden wir die 2. Ableitung der Funktion\[\ddot x(t) = - \hat x \cdot {\omega_0^2} \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und setzen diese und \(x(t)\) in Gleichung \((***)\) ein. Dann erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat x \cdot \omega_0^2 \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t \right) + \frac{g}{l} \cdot \hat x \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t \right) &=& 0\\ - \hat x \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t \right) \cdot \left[ \omega_0^2 - \frac{g}{l} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[\omega_0^2 - \frac{g}{l} = 0 \Rightarrow \omega_0 = \sqrt {\frac{g}{l}}\]

Zur Bestimmung von \(\hat x\) nutzen wir die erste Anfangsbedingung \(x(0) = {x_0}\). Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss gelten\[x(0) = {x_0} \Rightarrow \hat x \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {x_0} \Rightarrow \hat x = {x_0}\]Auch die zweite Anfangsbedingung \(v(0)=\dot x(0) = 0\) muss erfüllt sein. Hier sehen wir mit \(v(t)=\dot x(t) = - \hat x \cdot \omega_0 \cdot \sin \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\), dass diese bereits erfüllt ist:\[v(0)=\dot x(0) = - \hat x \cdot \omega_0 \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]