Direkt zum Inhalt

Grundwissen

Fadenpendel

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein Fadenpendel mit einem Faden der Länge \(l\) schwingt bei kleinen Auslenkungen harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion \(x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t \right)\) mit \(\omega_0=\sqrt {\frac{g}{l}}\)
  • Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \); sie ist insbesondere unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.
Aufgaben Aufgaben
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Bewegung eines Fadenpendels und einige Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind

Ein Fadenpendel (oder auch Mathematisches Pendel) besteht aus einem Pendelkörper, der mit einem Faden an einer Befestigung aufgehängt ist. Der Pendelkörper wird anfangs ein kleines Stück (vgl. hierzu auch den Hinweis am Ende des Artikels) aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Wenn du die Checkbox "Größen" anwählst, kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.

Im Folgenden werden wir die Bewegung des Fadenpendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben. Hierzu machen wir folgende vereinfachende Annahmen:

  • Die Bewegung des Pendelkörpers und des Fadens verläuft reibungsfrei.
  • Die Masse des Fadens wird vernachlässigt.
  • Der Pendelkörper wird nur ein kleines Stück ausgelenkt.
1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems

Wir wählen eine gebogenes Koordinatensystem (\(x\)-Achse), dessen Nullpunkt in der Ruhelage des Fadenpendels liegt und das nach rechts orientiert ist (vgl. Animation). Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist. Damit gilt \(a = \ddot x(t)\;(1)\).

2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{res}}\)

Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirken auf den Pendelkörper nur zwei Kräfte: Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und die Kraft des Fadens. Der Faden kompensiert dabei die Komponente der Gewichtskraft, die orthogonal zur der Bahn des Pendelkörpers steht. Die andere Komponente der Gewichtskraft, die tangential zur Bahn des Pendelkörpers steht, beschleunigt den Pendelkörper in Bahnrichtung; diese Komponente bezeichnen wir mit \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) (vgl. hierzu auch den Hinweis am Ende des Artikels).  \[F_{\rm{res}}=F_{\rm{G,tan}} \quad(2)\]

3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)

Da die Masse des Fadens vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers. Sie bleibt während der Schwingung konstant.

4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung

Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit \((1)\) und \((2)\)\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{G,tan}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir schrittweise den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).

Schritt 1
fadenpendel-ungedaempft-bild-1.svg Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Detailskizze zur Bestimmung der Tangentialkomponente der Gewichtskraft

In der Detailskizze in Abb. 2 kann man folgendes erkennen:

Der Winkel mit der Weite \(\varphi\) zwischen der Senkrechten (gestrichelt) und dem Faden findet sich in dem kleinen Dreieck, gebildet aus Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\), Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) und gestrichelter Strecke wieder.

Dieses Dreieck ist rechtwinklig mit der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) als Hypotenuse und der Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) als Gegenkathete des Winkels. Damit ergibt sich nach dem Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck\[\sin \left( \varphi  \right) = \frac{{{F_{{\rm{G,tan}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{G,tan}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \sin \left( \varphi  \right)\]Weiter ist die Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) stets gegen die Position \(x\) gerichtet: Ist die Position \(x\) positiv, so wirkt die Tangentialkomponente gegen die Orientierung des Koordinatensystems; ist die Position negativ, so wirkt die Tangentialkomponente mit der Orientierung des Koordinatensystems (vgl. Animation). Es gilt also\[ F_{\rm{G,tan}} = - F_{\rm{G}} \cdot \sin \left( \varphi  \right)\]und mit \(F_{\rm{G}}=m \cdot g\)\[ F_{\rm{G,tan}} = - m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi  \right) \quad (3)\]

Schritt 2

Für kleine Winkel ist die im Bogenmaß gemessene Winkelweite \(\varphi\) fast gleich mit dem Sinus \(\sin \left( \varphi  \right)\) des Winkels. Es gilt also\[\sin \left( \varphi  \right) \approx \varphi \quad (4)\]

Schritt 3
fadenpendel-ungedaempft-bild-2-1.svg Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Detailskizze zur Umrechnung zwischen Winkelweite und Koordinate

Die Detailskizze in Abb. 3 zeigt den aus der Senkrechten (gestrichelt), dem Faden der Länge \(l\) und der \(x\)-Koordinate gebildeten Kreisausschnitt. Für diesen Kreisausschnitt gilt (im Bogenmaß) das Verhältnis\[\frac{{{\rm{Teilwinkel}}}}{{{\rm{Vollwinkel}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{Kreisbogen}}}}{{{\rm{Kreisumfang}}}} \Leftrightarrow \frac{\varphi }{{2 \cdot \pi }} = \frac{x}{{2 \cdot \pi \cdot l}} \Leftrightarrow \varphi = \frac{x}{l}\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(x\) allgemeiner \(x(t)\) schreiben und erhalten\[\varphi = \frac{x(t)}{l} \quad(5)\]

 

Setzen wir \((3)\), \((4)\) und \((5)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot x(t) = \frac{{{F_{{\rm{G,tan}}}}}}{m}\underbrace  = _{(3)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}{m}\underbrace  = _{(4)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \varphi }}{m}\underbrace  = _{(5)}\frac{{ - m \cdot g \cdot \frac{{x(t)}}{l}}}{m} =  - \frac{g}{l} \cdot x(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot x(t) + \frac{g}{l} \cdot x(t) = 0\quad (***)\]Diese Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Fadenpendels.

5. Angeben der Anfangsbedingungen

Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Pendelkörper auf die Position \(x_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\).

6. Lösen der Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(x(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Diese Funktion beschreibt dann die Bewegung des Fadenpendels vollständig. Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir Herleitung einblenden lassen.

Bewegung des Fadenpendels

Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Animation in Abb. 1) und den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0)=\dot x(0) = 0\) wird die Bewegung eines Fadenpendels mit einem Faden der Länge \(l\) für kleine Auslenkungen beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left(\omega_0   \cdot t \right)\;\rm{mit}\;\omega_0=\sqrt {\frac{g}{l}}\]Das Fadenpendel schwingt somit für kleine Auslenkungen harmonisch.

Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{g}{l}} }} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{l}{{g}}} \]Die Schwingungsdauer ist insbesondere unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.

Hinweise

  • Häufig wird fälschlicherweise behauptet, dass die beschleunigende Kraft beim Fadenpendel die vektorielle Summe aus Gewichtskraft und Fadenkraft sei. Hierbei wird übersehen, dass der Faden nicht nur die Komponete der Gewichtskraft orthogonal zur Bahn aufbringen muss, sondern zusätzlich noch die Zentripetalkraft zum Erzwingen der Kreisbahn. Somit ist z.B. beim Durchgang durch die Ruhelage wegen der (dort maximal) aufzubringenden Zentripetalkraft der Betrag der Fadenkraft wesentlich größer als der Betrag der Gewichtskraft. Die vektorielle Summe aus Fadenkraft und Gewichtskraft würde nicht verschwinden, sondern zum Drehpunkt hin nach oben zeigen. Dies lässt sich auch experimentell nachweisen.
  • Nur für kleine Winkel kann der Sinus des Winkels durch den Winkel im Bogenmaß ersetzt werden. Das Fadenpendel schwingt daher nur für kleine Auslenkwinkel harmonisch.

Die Animation in Abb. 4 zeigt dir den zeitlichen Verlauf von Ort \(x\),  Geschwindigkeit \(v\), Beschleunigung \(a\), Tangentialkomponente der Gewichtskraft \(F_{\rm{G,tan}}\), kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\) und potentieller Energie \(E_{\rm{pot}}\) eines Fadenpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern \(m\), \(g\), \(l\) und \(x_0\). Diese Größen kannst du in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.

m
g
l
xo
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 4 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Tangentialkomponente der Gewichtskraft, kinetische und potentielle Energie (bezogen auf die Ruhelage) eines Fadenpendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern