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Grundwissen

Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Bahngeschwindigkeit \(v\) ist der Quotient aus der auf der Kreisbahn zurückgelegten Streckenlänge und der dafür benötigten Zeit: \(v = \frac{\Delta s}{\Delta t}\) bzw. \(v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}\).
  • Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ist der Quotient aus der Weite des vom Bahnradius überstrichenen Winkels und der dafür benötigten Zeit: \(\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) bzw. \(\omega = \frac{2 \cdot \pi}{T}\).
  • Zwischen der Bahngeschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit besteht der Zusammenhang \(v = \omega \cdot r\;\;\;{\rm{bzw.}}\;\;\;\omega = \frac{v}{r}\)
Aufgaben Aufgaben

Welcher Körper bewegt sich schneller?

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Abb. 1 Welcher Körper ist schneller?

In der Animation in Abb. 1 siehst du zwei Körper, die sich auf Kreisbahnen mit unterschiedlichen Bahnradien bewegen.

Welcher der beiden Körper bewegt sich deiner Meinung nach schneller, der grüne oder der violette?

Zuerst einmal würde man wahrscheinlich sagen, dass sich der grüne Körper schneller bewegt, da er einen vollen Umlauf in einer kürzeren Zeit als der violette "schafft".

Wenn du aber den Schalter "Spuren" wählst kannst du beobachten, dass beide Körper in gleich langen Zeitabschnitten gleich lange Strecken zurücklegen.

Sind die beiden Körper also doch gleich schnell?

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Abb. 2 Welcher Körper bewegt sich schneller?

In der Animation in Abb. 2 siehst du wieder zwei Körper, die sich auf Kreisbahnen mit unterschiedlichen Bahnradien bewegen.

Welcher der beiden Körper bewegt sich deiner Meinung nach schneller, der grüne oder der violette?

Zuerst einmal würde man wahrscheinlich sagen, dass sich beide Körper gleich schnell bewegen, da sie einen vollen Umlauf in der gleichen Zeit "schaffen".

Wenn du aber den Schalter "Spuren" wählst kannst du beobachten, dass der violette Körper in gleich langen Zeitabschnitten größere Strecken zurücklegt.

Ist der violette Körper also doch schneller als der grüne?

Die obigen Überlegungen sollten dir gezeigt haben, dass die Definition von Geschwindigkeit bei einer Kreisbewegung gar nicht so einfach ist. Die Physiker haben sich deshalb dafür entschieden, bei Kreisbewegungen zwei verschiedene Geschwindigkeiten einzuführen, einmal die Bahngeschwindigkeit und einmal die Winkelgeschwindigkeit. Ja nach Situation nutzen wir die eine oder die andere Geschwindigkeit, und da sich die beiden leicht ineinander umrechnen lassen kommen wir letztendlich immer zu den gleichen Ergebnissen.

Definition von Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

Die Bahngeschwindigkeit \(v\) definieren wir - wie bei der gleichförmigen Bewegung auch - als den Quotienten aus der auf der Kreisbahn zurückgelegten Streckenlänge und der dafür benötigten Zeit:

     

Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) definieren wir - analog zur Bahngeschwindigkeit - als den Quotienten aus der Weite des vom Bahnradius überstrichenen Winkels und der dafür benötigten Zeit:

\[\text{Bahngeschwindigkeit} = \frac{\text{zurückgelegte Streckenlänge}}{\text{dafür benötigte Zeit}}\\v = \frac{\Delta s}{\Delta t}\]Bei einem ganzen Kreisumlauf ist die zurückgelegte Strecke der Kreisumfang \(2 \cdot \pi \cdot r\) und die benötigte Zeit die Umlaufdauer \(T\). Es ergibt sich dann\[v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}=2 \cdot \pi \cdot r \cdot f\]   \[\text{Winkelgeschwindigkeit} = \frac{\text{überstrichene Winkelweite}}{\text{dafür benötigte Zeit}}\\\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\]Bei einem ganzen Kreisumlauf ist der überstrichene Winkel der Vollwinkel \(2 \cdot \pi\) und die benötigte Zeit die Umlaufdauer \(T\). Es ergibt sich dann\[\omega = \frac{2 \cdot \pi}{T}=2 \cdot \pi \cdot f\]
Das Formelzeichen für die Bahngeschwindigkeit ist \(v\), die Einheit der Bahngeschwindigkeit ist \(1\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).  

Das Formelzeichen für die Winkelgeschwindigkeit ist \(\omega\) (sprich: Omega), die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist \(\frac{1}{\rm{s}}\), d.h. der Drehwinkel wird nicht im Grad-, sondern im Bogenmaß gemessen.

Hinweis: Die Einheit \(1\,\rm{Hz}\) wird hier nicht verwendet! Nur Frequenzen \(f\) werden in Hertz angegeben.

Zwischen den drei Größen Bahnradius \(r\), Bahngeschwindigkeit \(v\) und Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) besteht ein Zusammenhang, der durch die Gleichung\[v = \omega  \cdot r\;\;\;{\rm{bzw.}}\;\;\;\omega  = \frac{v}{r}\]beschrieben wird, wobei auch hier der Drehwinkel im Bogenmaß gemessen werden muss.

Vergleich von Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

Umlaufdauer T
Bahnradius r
Winkelgeschwindigkeit
ω
Bahngeschwindigkeit
v
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Abb. 3 Unterschied zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

Die Animation in Abb. 3 verdeutlicht die Unterschiede, aber auch den Zusammenhang von Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit.

Wenn du die Umlaufdauer \(T\) veränderst, dann verändern sich sowohl die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) als auch die Bahngeschwindigkeit \(v\): Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) und Bahngeschwindigkeit \(v\) sind also von der Umlaufdauer \(T\) abhängig.

Wenn du dagegen den Bahnradius \(r\) veränderst, dann verändert sich nur die Bahngeschwindigkeit \(v\), nicht aber die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\). Nur die Bahngeschwindigkeit \(v\) ist vom Bahnradius abhängig.

Fazit

Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ist nur von der Umlaufdauer \(T\) abhängig.

Die Bahngeschwindigkeit \(v\) ist sowohl von der Umlaufdauer \(T\) als auch dem Bahnradius \(r\) abhängig.

Verständnisaufgabe
Verständnisaufgabe

Markiere die Aussagen, die mit Blick auf die Animationen in den  Abb. 1 und  2 zutreffend sind.

Lösungsvorschläge

Lösung

In der Animation in Abb. 1 ist die Bahngeschwindigkeit \(v\) der beiden Körper gleich groß. Da der Bahnradius \(r\) des violetten Körpers aber - genau passend - größer als der des grünen Körpers ist, ist wegen \(\omega= \frac{v}{r}\) die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) des violetten Körpers kleiner als die des grünen Körpers.

In der Animation in Abb. 2 ist die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) der beiden Körper gleich groß. Da der Bahnradius \(r\) des violetten Körpers aber größer als der des grünen Körpers ist, ist wegen \(v=\omega \cdot r\) die Bahngeschwindigkeit \(v\) des violetten Körpers größer als die des grünen Körpers.

Winkelangabe im Bogenmaß

Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) wird die Winkelweite \(\varphi\) im Bogenmaß angegeben. Die Umrechnung einer Winkelweite \(\alpha\) im Gradmaß in die Winkelweite \(\varphi\) im Bogenmaß erfolgt mit\[\varphi=\frac{2\cdot \pi}{360°}\cdot \alpha\]

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