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Grundwissen

Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) gibt an, welchen Winkel der Radiusvektor pro Zeiteinheit überstreicht.
  • Für die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) gilt: \(\omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}=2\cdot \pi \cdot f\).
  • Die Bahngeschwindigkeit eines Körpers auf einer Kreisbahn ist \(v=2\cdot \pi\cdot r\cdot f=r\cdot \omega\).
  • Für die Länge des Kreisbogens gilt: \(s = r \cdot \varphi\), wobei \(\varphi\) im Bogenmaß angegeben werden muss.
Aufgaben Aufgaben

Größen zur Beschreibung der Kreisbewegung

Abb. 1 Größen bei der Kreisbewegung zur Positionsbeschreibung
  • Der Radius \(r\) gibt bei der Kreisbewegung die Entfernung des Körpers vom Mittelpunkt, dem Drehzentrum an.
  • Der Winkel \(\varphi\) gibt an, welchen Winkel der Radiusvektor des Körpers auf der Kreisbahn überstrichen hat.
  • Die Strecke \(s\), ist die Länge des Weges, die der Körper auf der Kreisbahn zurückgelegt hat. Die Strecke \(s\) entspricht der Länge des Kreisbogens.
  • Der Geschwindigkeitsvektor \(\vec{v}(t)\) gibt die Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung des Körpers auf der Kreisbahn zum Zeitpunkt \(t\) an.

Die Position des Körpers auf der Kreisbahn kannst du mithilfe von \(x\)- und \(y\)-Komponente beschreiben. Für die \(x\)-Komponente \(r_{\rm{x}}\) gilt \(r_{\rm{x}}=r\cdot \cos (\varphi)\), für die \(y\)-Komponente \(r_{\rm{y}}\) gilt \(r_{\rm{x}}\) gilt: \(r_{\rm{y}}=r\cdot \sin (\varphi)\).

Bahngeschwindigkeit \(v\)

Abb. 2 Kreisbewegung zweier Kugeln mit unterschiedlicher Bahn-, aber gleicher Winkelgeschwindigkeit

Wie bei der gleichförmigen linearen Bewegung gilt auch bei der Kreisbewegung: \[{\rm{Geschwindigkeit}} = \frac{{{\rm{zurückgelegt}}\;{\rm{Strecke}}}}{{{\rm{dafür}}\;{\rm{benötigte}}\;{\rm{Zeit}}}}\;:\;v = \frac{\Delta s}{\Delta t}\] Für einen kompletten Umlauf gilt dann \[v =\frac{\text{Umfang des Kreises}}{\rm{Umlaufdauer}}= \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{T} = 2 \cdot \pi  \cdot r \cdot f\]

Winkelgeschwindigkeit \(\omega\)

Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell der Winkel überstrichen wird: \[{\rm{Winkelgeschwindigkeit}} = \frac{{{\rm{überstrichener}}\;{\rm{Winkel}}}}{{{\rm{dafür}}\;{\rm{benötigte}}\;{\rm{Zeit}}}}\;:\;\omega=\frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}}\]
Für einen Umlauf gilt dann\[\omega={\frac{{2 \cdot \pi }}{T}}={2\cdot\pi\cdot f}\]

Verständnisaufgabe
Verständnisaufgabe

Markiere die Aussagen, die mit Blick auf die Animation in Abb. 2 zutreffend sind.

Lösungsvorschläge

Lösung

In der Animation in Abb. 2 ist die Bahngeschwindigkeit \(v\) des roten Körpers größer als die des blauen Körpers, da der Umfang des roten Kreises größer ist als der Umfang des blauen Kreises, beide Körper aber die gleiche Umlaufdauer \(T\) besitzen.

Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) beider Körper ist hingegen gleich groß, da beide Körper die gleiche Umlaufdauer \(T\) besitzen. Die beiden Radiusvektoren überstreichen also in gleichen Zeiten gleich große Winkel.

Winkelangabe im Bogenmaß

Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) wird der Winkel \(\varphi\) im Bogenmaß angegeben. Die Umrechnung von Grad in Bogenmaß erfolgt mit \[\varphi=\frac{2\cdot \pi}{360°}\cdot \alpha °\]

Ausführlich geschrieben bedeutet \(\omega\): \[\omega  =\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}= \frac{{{\varphi _e} - {\varphi _a}}}{{{t_e} - {t_a}}}\]Wählt man den Startpunkt für die Kreisbewegung den Winkel 0°, so gilt \(t_{a}=0\) und \(\varphi_{a}=0\). Bei Weglassung der Indizies vereinfacht sich die Formel für \(\omega\):

\[\omega  = \frac{{{\varphi _e} - {\varphi _a}}}{{{t_e} - {t_a}}} = \frac{{{\varphi _e}}}{{{t_e}}} = \frac{\varphi }{t}\,\Leftrightarrow\,\varphi  = \omega  \cdot t\]

Achtung: Für die Einheit der Winkelgeschwindigkeit gilt: \([\omega ]=\frac{1}{\rm{s}}\). Die Einheit \(1\,\rm{Hz}\) wird hier nicht verwendet! Nur Frequenzen \(f\) werden in Hertz angegeben.

Vereinfachte Berechung der Bahngeschwindigkeit

Mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit \(\omega=2\cdot \pi\cdot f\) kann die Formel für die Bahngeschwindigkeit vereinfacht werden:

\[v=2\cdot \pi\cdot r\cdot f= r \cdot \omega \]

Berechnung der Strecke bzw. des Kreisbogens \(s\)

Die Strecke \(s\) die ein Körper auf seiner Kreisbahn zurücklegt entspricht der Länge des entsprechenden Kreisbogens. Es gilt\[s = r \cdot \varphi \]

Achtung: Zur Berechnung der Länge des Kreisbogens \(s\) musst du den Winkel \(\varphi\) im Bogenmaß angeben.

Zusammenfassung

Für die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) gilt: \(\omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}=2\cdot \pi \cdot f\).

Für die Bahngeschwindigkeit gilt: \(v=2\cdot \pi\cdot r\cdot f=r\cdot \omega\).

Für die Länge des Kreisbogens gilt: \(s = r \cdot \varphi\), wobei \(\varphi\) im Bogenmaß angegeben werden muss.

Aufgaben

Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

Übungsaufgaben