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Grundwissen

Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

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Beschreibung einer Kreisbewegung durch Ortsvektor und Geschwindigkeitsvektor

In der nebenstehenden Animation sehen Sie einen Körper (rot), der sich im mathematisch positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn) auf einem Kreis mit konstanter Umlaufgeschwindigkeit bewegen kann.

Durch die Taste "schneller Durchlauf" können Sie die Kreisbewegung auslösen.

Mit der Taste "Größen" lassen sich wichtige Größen zur Beschreibung der gleichförmigen Kreisbewegung einblenden.

Umlaufdauer T

  • Zeitdauer für einen vollen Umlauf des Körpers;
  • Für die Einheit gilt z.B. \(\left[ T \right] = 1{\rm{s}}\) .
 

Frequenz f

  • Die Frequenz macht eine Aussage über die Zahl der Umläufe pro Zeiteinheit.
\[{\rm{Frequenz}} = \frac{{{\rm{Anzahl}}\;{\rm{der}}\;{\rm{Umläufe}}}}{{{\rm{dafür}}\;{\rm{benötigte}}\;{\rm{Zeit}}}}\;:\;f = \frac{N}{t}\]
  • Speziell für einen Umlauf \({N = 1}\) und \({t = T}\) gilt dann:
\[f = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}\]
  • Für die Einheit der Frequenz gilt:
\[\left[ f \right] = \frac{1}{{\rm{s}}} = 1{\rm{Hz}}\]

In Erinnerung an Heinrich Hertz - dem Entdecker der elektromagnetischen Wellen - wird die Einheit der Frequenz mit \(1{\rm{Hz}}\) bezeichnet.

Die Uhr in der Animation benötigt \(1,0{\rm{s}}\) für einen vollen Umlauf. Bestimme für den roten Körper in der Animation die Umlaufdauer \(T\) und die Frequenz \(f\).

Bahnradius r

  • r ist Entfernung des Körpers vom Mittelpunkt.
  • Für die x-Komponente rx gilt: rx = r · cos φ
  • Für die y-Komponente ry gilt: ry = r · sin φ
 

Bahngeschwindigkeit v
Wie bei der gleichförmigen linearen Bewegung gilt auch hier:
\[{\rm{Geschwindigkeit}} = \frac{{{\rm{zurückgelegt}}\;{\rm{Strecke}}}}{{{\rm{dafür}}\;{\rm{benötigte}}\;{\rm{Zeit}}}}\;:\;v = \frac{\Delta s}{\Delta t}\]
Für einen Umlauf gilt dann
\[v = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{T} = 2 \cdot \pi  \cdot r \cdot f\]
 

 

Der Radius der Kreisbahn in obiger Animation sei \(0,20{\rm{m}}\). Bestimme die Bahngeschwindigkeit \(v\) des roten Punktes.

Kreisbewegung zweier Kugeln mit unterschiedlicher Bahn-, aber gleicher Winkelgeschwindigkeit

Beachte:

  • Die Bahngeschwindigkeit des roten Körpers ist größer als die des blauen Körpers.
  • Die Winkelgeschwindigkeit beider Körper ist gleich (der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten den gleichen Winkel).

Winkelgeschwindigkeit ω

Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell der Winkel überstrichen wird:
\[{\rm{Winkelgeschwindigkeit}} = \frac{{{\rm{überstrichener}}\;{\rm{Winkel}}}}{{{\rm{dafür}}\;{\rm{benötigte}}\;{\rm{Zeit}}}}\;:\;\omega  = \frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}}\]
Für einen Umlauf gilt dann
\[\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T} = 2 \cdot \pi  \cdot f\]

Hinweise:

  • Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit ω wird der Winkel φ im Bogenmaß angegeben.
  • Die Einheit für die Winkelgeschwindigkeit ist 1/s. Die Einheit 1 Hz wird nur für die Frequenz f verwendet.
  • Ausführlich geschrieben bedeutet ω:

\[\omega  = \frac{{{\varphi _e} - {\varphi _a}}}{{{t_e} - {t_a}}}\]

  • Wählt man den Startpunkt für die Kreisbewegung den Winkel 0°, so gilt:
    Für ta = 0 und φa = 0. Bei Weglassung der Indizies vereinfacht sich die obige Formel für ω:

\[\omega  = \frac{{{\varphi _e} - {\varphi _a}}}{{{t_e} - {t_a}}} = \frac{{{\varphi _e}}}{{{t_e}}} = \frac{\varphi }{t}\,\,oder\,\,\varphi  = \omega  \cdot t\]

Bestimme die Winkelgeschwindigkeit in der Animation ganz oben.

Nochmals Bahngeschwindigkeit v

Mit der Beziehung für die Winkelgeschwindigkeit kann die Umlaufgeschwindigkeit auch in der folgenden Form geschrieben werden:

\[v = r \cdot \omega \]
 

Bogen s

\[s = r \cdot \varphi \]

Beachten Sie, dass zur Berechnung des Bogens s der Winkel im Bogenmaß angegeben wird.

Zusammenfassung
\[f = \frac{1}{T}\] \[\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\] \[v = r \cdot \omega \]

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