Kreisbewegung

Aufgabe

Winkelgeschwindigkeit - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben rund um die Winkelgeschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\omega=\frac{2 \, \pi}{T}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Auflösen von\[{{\omega}} = \frac{{{2 \, \pi}}}{{{T}}}\]nach ...

Die Gleichung\[{\color{Red}{{\omega}}} = \frac{{{2 \, \pi}}}{{{T}}}\]ist bereits nach \({\color{Red}{{\omega}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.

Um die Gleichung\[{{\omega}} = \frac{{{2 \, \pi}}}{{\color{Red}{{T}}}}\]nach \({\color{Red}{{T}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({\color{Red}{{T}}}\). Kürze direkt das \({\color{Red}{{T}}}\) auf der rechten Seite der Gleichung.\[{{\omega}} \cdot {\color{Red}{{T}}} = {{2 \, \pi}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{\omega}}\). Kürze direkt das \({{\omega}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{T}}} = \frac{{{2 \, \pi}}}{{{\omega}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{T}}}\) aufgelöst.

Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für die Winkelgeschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung nach den zwei in der Formel auftretenden Größen

Wenn ein Hamster in seinem Rad läuft, benötigt das Rad für eine Umdrehung \(0{,}42\,\rm{s}\).

Berechne die Winkelgeschwindigkeit des Hamsterrads.

Das London Eye, auch bekannt unter der Bezeichnung Millennium Wheel, ist mit einer Höhe von 135 Metern das höchste Riesenrad Europas. Es steht im Zentrum von London am Südufer der Themse nahe der Westminster Bridge und gilt als eines der Wahrzeichen der britischen Hauptstadt. Die Gondeln des London Eye bewegen sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von \(3{,}5 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\rm{s}}\).

Berechne die Umlaufdauer einer Kabine des London Eye.

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Mit \(T=0{,}42\,\rm{s}\) nutzen wir die Formel für die Winkelgeschwindigkeit\[\omega=\frac{2 \, \pi}{T}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\omega=\frac{2 \, \pi}{0{,}42\,\rm{s}}=15 \,\frac{1}{\rm{s}}\]

Mit \(\omega=3{,}5 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\rm{s}}\) nutzen wir die Formel für die Winkelgeschwindigkeit\[\omega=\frac{2 \, \pi}{T} \Leftrightarrow T=\frac{2 \, \pi}{\omega}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[T=\frac{2 \,\pi}{3{,}5 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\rm{s}}}=1800\,\rm{s} = 30\,\rm{min}\]

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