Kreisbewegung

Aufgabe

Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben rund um Bahn- und Winkelgeschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung zu lösen musst du häufig die Gleichung \(v=\omega \cdot r\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Auflösen von\[{{v}} = {{\omega}} \cdot {{r}}\]nach ...

Die Gleichung\[{\color{Red}{{v}}} = {{\omega}} \cdot {{r}}\]ist bereits nach \({\color{Red}{{v}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.

Um die Gleichung\[{{v}} = {\color{Red}{{\omega}}} \cdot {{r}}\]nach \({\color{Red}{{\omega}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\color{Red}{{\omega}}} \cdot {{r}} = {{v}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{r}}\). Kürze direkt das \({{r}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{\omega}}} = \frac{{{v}}}{{{r}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{\omega}}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{{v}} = {{\omega}} \cdot {\color{Red}{{r}}}\]nach \({\color{Red}{{r}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{\omega}} \cdot {\color{Red}{{r}}} = {{v}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{\omega}}\). Kürze direkt das \({{\omega}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{r}}} = \frac{{{v}}}{{{\omega}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{r}}}\) aufgelöst.

Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für den Zusammenhang von Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung nach den drei in der Formel auftretenden Größen

Die internationale Raumstation ISS kreist mit einer Winkelgeschwindigkeit von \(1{,}13\cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\rm{s}}\) im Abstand von \(6780\,\rm{km}\) zum Erdmittelpunkt um die Erde.

Berechne die Bahngeschwindigkeit der ISS.

In der großen Humanzentrifuge des DLR in Köln-Porz bewegt sich die Kabine an einem \(5{,}00\,\rm{m}\) langen Arm mit einer Bahngeschwindigkeit von \(33{,}2\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\).

Berechne die Winkelgeschwindigkeit der Humanzentrifuge.

Die Waggons des Riesenrads im Wiener Prater drehen sich bei einer Winkelgeschwindigkeit von \(0{,}0246\,\frac{1}{\rm{s}}\) mit einer Bahngeschwindigkeit von \(2{,}7\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\).

Berechne den Bahnradius der Waggons.

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Mit \(\omega=1{,}13\cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\rm{s}}\) und \(r=6780\,\rm{km}=6780 \cdot 10^3\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel für den Zusammenhang von Bahn- und Winkelgeschwindigkeit\[v=\omega \cdot r\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v=1{,}13\cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\rm{s}} \cdot 6780 \cdot 10^3\,\rm{m}=7660\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}=7{,}66\,\frac{\rm{km}}{\rm{s}}\]

Mit \(v=33{,}2\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=9{,}22\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(r=5{,}00\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel für den Zusammenhang von Bahn- und Winkelgeschwindigkeit\[v=\omega \cdot r \Leftrightarrow \omega=\frac{v}{r}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\omega=\frac{9{,}22\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{5{,}00\,\rm{m}}=1{,}84\,\frac{1}{\rm{s}}\]

Mit \(v=2{,}7\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=0{,}75\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(\omega=0{,}0246\,\frac{1}{\rm{s}}\) nutzen wir die Formel für den Zusammenhang von Bahn- und Winkelgeschwindigkeit\[v=\omega \cdot r \Leftrightarrow r=\frac{v}{\omega}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[r=\frac{0{,}75\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{0{,}0246\,\frac{1}{\rm{s}}}=30\,\rm{m}\]

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