Um die Geschwindigkeit \(v\) einer Gewehrkugel zu bestimmen, schießt man auf zwei Pappscheiben, die im Abstand von \(s=1{,}00\,\rm{m}\) auf einer Stange befestigt sind. Die Stange dreht sich \(30\)-mal in der Sekunde. Man stellt fest, dass die beiden Einschusslöcher um die Winkelweite \({\alpha = 45{,}0^\circ }\) gegeneinander versetzt sind.
a)
Berechne die Geschwindigkeit \(v\) der Gewehrkugel.
b)
Erläutere, warum die Berechnung von \(v\) aufgrund der obigen Angaben nicht ganz eindeutig durchzuführen ist.
Zeit für 30 Umdrehungen: \(T_{30\cdot 360^\circ} = 1\,{\rm{s}}\)
Strecke zwischen den Scheiben: \(s = 1{,}00\rm{m}\)
Weite des Winkels, um den sich die Scheiben weiterdrehen, während die Kugel sich zwischen ihnen befindet: \(\alpha = 45{,}0^\circ\)
Gesucht:
Zeit, in der sich die Scheiben um \(\alpha = 45{,}0^\circ\) weiterdrehen: \(T_{45^\circ} = \rm{?}\)
Geschwindigkeit der Kugel: \(v = \rm{?}\)
Ansatz:
Für die Berechnung der Geschwindigkeit wird die Zeit benötigt, die die Kugel braucht, um von Scheibe 1 bis zu Scheibe 2 zu fliegen. Diese kannst du über die den gemessenen Drehwinkel auf zwei verschiedene Arten berechnen:
Lösung mit Dreisatz:
Für \(30\) Umdrehungen benötigen die Scheiben genau eine Sekunde. Somit benötigen sie für eine einzige Umdrehung von (\(360^\circ\)) eine Zeit von \(\frac{1}{{30}}\,{\rm{s}}\). Eine Drehung der Scheiben um \(\alpha = 45{,}0^\circ\) entspricht \(\frac{45{,}0^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{8}\) einer vollen Umdrehung. Somit ergibt sich für die gesuchte Zeit\[t=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{30}\,\rm{s}=\frac{1}{240}\,\rm{s}\]Für die Geschwindigkeit der Kugel gilt dann\[s=v\cdot t \Leftrightarrow v=\frac{s}{t} \Rightarrow v=\frac{{1{,}00\,{\rm{m}}}}{{\frac{1}{{240}}{\rm{s}}}}=240\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Lösung mit Winkelgeschwindigkeit:
Die Winkelgeschwindigkeit der rotierenden Scheiben berechnet sich zu\[\omega = \frac{2\cdot\pi}{T} \Rightarrow \omega = \frac{2\cdot\pi}{\frac{1}{30}\,\rm{s}} = 188{,}5\,\frac{1}{s}\]Das Ergebnis ist hier auf drei gültige Ziffern genau.
Mit diesem Wert für die Winkelgeschwindigkeit kannst du zusammen mit der gegebenen Winkelweite \(\alpha = 45{,}0^\circ\) die Zeit \(t\) berechnen (denke daran, die Winkelweite \(\alpha\) ins Bogemnaß umzurechnen):\[\alpha =\omega\cdot t \Leftrightarrow t=\frac{\alpha}{\omega} \Rightarrow t = \frac{45{,}0^\circ\cdot \pi}{180^\circ}\cdot \frac{1}{188{,}5\,\frac{1}{s}} = 4{,}16\cdot 10^{-3}\,\rm{s} \approx \frac{1}{240}\,\rm{s}\]Danach berechnest du die Geschwindigkeit wie in der ersten Variante gezeigt.
b)
Bei den gemachten Angaben können sich die Scheiben theoretisch auch mehr als \(45^\circ\) drehen, nämlich wenn sie zusätzlich noch \(n\) vollständige Umdrehungen machen, sich also um den Winkel der Weite \(n \cdot 360^\circ + 45^\circ \) (mit \(n = 0;\; 1;\; 2;\; 3;\; . . . \)) drehen. Daher ist die Geschwindigkeitsberechnung nicht ganz eindeutig. Für \(n = 1\), also eine Drehung um \(405^\circ\) ergäbe sich die Geschwindigkeit von \(26{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
