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Aufgabe

Bahngeschwindigkeit - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben rund um die Bahngeschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung zu lösen musst du häufig die Gleichung \(v=\frac{2 \, \pi \cdot r}{T}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[{\color{Red}{{v}}} = \frac{{{2 \, \pi}} \cdot {{r}}}{{{T}}}\]ist bereits nach \({\color{Red}{{v}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{{v}} = \frac{{{2 \, \pi}} \cdot {\color{Red}{{r}}}}{{{T}}}\]nach \({\color{Red}{{r}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{{{2 \, \pi}} \cdot {\color{Red}{{r}}}}{{{T}}} = {{v}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{T}}\). Kürze direkt das \({{T}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{{2 \, \pi}} \cdot {\color{Red}{{r}}} = {{v}} \cdot {{T}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{2 \, \pi}}\). Kürze direkt das \({{2 \, \pi}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{r}}} = \frac{{{v}} \cdot {{T}}}{{{2 \, \pi}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{r}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{v}} = \frac{{{2 \, \pi}} \cdot {{r}}}{{\color{Red}{{T}}}}\]nach \({\color{Red}{{T}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({\color{Red}{{T}}}\). Kürze direkt das \({\color{Red}{{T}}}\) auf der rechten Seite der Gleichung.\[{{v}} \cdot {\color{Red}{{T}}} = {{2 \, \pi}} \cdot {{r}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{v}}\). Kürze direkt das \({{v}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{T}}} = \frac{{{2 \, \pi}} \cdot {{r}}}{{{v}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{T}}}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für die Bahngeschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung nach den drei in der Formel auftretenden Größen
a)

Die Erde bewegt sich annähernd auf einer Kreisbahn um die Sonne. Der mittlere Abstand der Erde zur Sonne beträgt \(1{,}5 \cdot 10^8\,\rm{km}\), für einen Umlauf benötigt die Erde \(365\,\rm{d}\).

Berechne die Bahngeschwindigkeit der Erde.

b)

Der Mond bewegt sich annähernd auf einer Kreisbahn um die Erde. Seine Bahngeschwindigkeit beträgt \(1{,}035\,\frac{\rm{km}}{\rm{s}}\), er benötigt für einen Umlauf um die Erde \(27{,}0\,\rm{d}\).

Berechne den Radius der Kreisbahn.

c)

Die Venus bewegt sich mit einer Bahngeschwindigkeit von \(35\,\frac{\rm{km}}{\rm{s}}\) in einem Abstand von \(1{,}1\cdot 10^8\,\rm{km}\) fast auf einer Kreisbahn um die Sonne.

Berechne die Umlaufdauer der Venus um die Sonne.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Mit \(r=1{,}5 \cdot 10^8\,\rm{km}\) und \(T=365\,\rm{d}=8760\,\rm{h}\) nutzen wir die Formel für die Bahngeschwindigkeit\[v=\frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v=\frac{2 \cdot \pi \cdot 1{,}5 \cdot 10^8\,\rm{km}}{8760\,\rm{h}}=1{,}7 \cdot 10^4\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\]

b)

Mit \(v=1{,}035\,\frac{\rm{km}}{\rm{s}}\) und \(T=27{,}0\,\rm{d}=2\,332\,800\,\rm{s}\) nutzen wir die Formel für die Bahngeschwindigkeit\[v=\frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} \Leftrightarrow r=\frac{v \cdot T}{2 \cdot \pi}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[r=\frac{1{,}035\,\frac{\rm{km}}{\rm{s}} \cdot 2\,332\,800\,\rm{s}}{2 \cdot \pi}=3{,}84 \cdot 10^5\,\rm{km}\]

c)

Mit \(v=35\,\frac{\rm{km}}{\rm{s}}\) und \(r=1{,}1\cdot 10^8\,\rm{km}\) nutzen wir die Formel für die Bahngeschwindigkeit\[v=\frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} \Leftrightarrow T=\frac{2 \cdot \pi \cdot r}{v}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[T=\frac{2 \cdot \pi \cdot 1{,}1\cdot 10^8\,\rm{km}}{35\,\frac{\rm{km}}{\rm{s}}}=2{,}0 \cdot 10^7\,\rm{s} \approx 230\,\rm{d}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe