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Grundwissen

Größen zur Beschreibung einer Kreisbewegung

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Das (Dreh-)Zentrum \(Z\) ist der Mittelpunkt der Kreisbahn.
  • Der Bahnradius \(r\) ist die (konstant bleibende) Entfernung des Körpers zum Drehzentrum.
  • Die Umlaufdauer \(T\) gibt an, wie lange ein Körper für einen vollständigen Umlauf der Kreisbahn benötigt.
  • Die Frequenz \(f\) ist der Kehrwert der Umlaufdauer: \(f=\frac{1}{T}\). Sie gibt an, wie viele Umläufe ein Körper pro Zeiteinheit absolviert.
  • Mit \(s\) bezeichnen wir die Länge der (Bahn-)Strecke, die der Körper seit dem Start der Kreisbewegung auf der Kreisbahn zurückgelegt hat.
  • Mit \(\varphi\) bezeichnen wir die Weite des Drehwinkels, den der Bahnradius seit dem Start der Kreisbewegung überstrichen hat.
  • Winkel werden bei der Beschreibung von Kreisbewegungen meist im Bogenmaß angegeben. Eine Volle Umdrehung \((360^\circ\) entspricht im Bogenmaß dem Wert \(2\pi\)
  • Es gilt \(s = \varphi  \cdot r \quad\text{bzw.}\quad \varphi  = \frac{s}{r}\)
Aufgaben Aufgaben
Bahnradius r
Umlaufdauer T
Frequenz f
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Abb. 1 Relevante Größen zur Beschreibung einer Kreisbewegung

Wenn du die Animation in Abb. 1 mit dem Startknopf startest, dann siehst du einen Körper, der sich gegen den Uhrzeigersinn - also im mathematisch positiven Drehsinn - auf einer Kreisbahn bewegt.

Mit den beiden Schiebereglern für den Bahnradius \(r\) und die Umlaufdauer \(T\) kannst du die Bewegung verändern. Wenn du einen der verschiedenen Schalter wählst, kannst du die wichtigsten Größen, mit denen wir eine Kreisbewegung beschreiben, während der laufenden Bewegung beobachten.

Hinweis: In der Animation starten wir nach jedem vollen Kreisumlauf die Zeit \(t\) neu.

Definition des (Dreh-)Zentrums und des Bahnradius

Bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn, dann bezeichnen wir den Mittelpunkt der Kreisbahn oft als das (Dreh-)Zentrum \(Z\).

Den Radius der Kreisbahn bezeichnen wir oft als Bahnradius \(r\).

Definition der Umlaufdauer einer Kreisbewegung

Die Zeitspanne, die der Körper für einen vollständigen Kreisumlauf benötigt, bezeichnen wir als Umlaufdauer \(T\).

Bei einer Umlaufdauer von \(T=1\,\rm{s}\) dauert ein vollständiger Kreisumlauf also genau eine Sekunde.

Die Umlaufdauer einer Kreisbewegung bestimmst du experimentell am besten, wenn du mit einer Stoppuhr misst, welche Zeitspanne \(t_n\) für eine bestimmte Anzahl \(n\) von Umläufen nötig ist. Die Umlaufdauer \(T\) berechnest du dann durch\[{\rm{Umlaufdauer}} = \frac{\text{benötigte Zeit}}{\text{Anzahl der Umläufe}}\;:\;T = \frac{t_n}{n}\]

Definition der Frequenz einer Kreisbewegung

Die Frequenz \(f\) einer Kreisbewegung ist definiert als der Kehrwert der Umlaufdauer \(T\):\[f = \frac{1}{T} \quad (1)\]Die Frequenz \(f\) gibt also an, wie viele Kreisumläufe ein Körper, der sich auf einer Kreisbahn bewegt, pro Sekunde durchläuft.

Robert Krewaldt, Kaiserplatz 16, Bonn (Cabinetphotograph, Kabinettfotografie) [Public domain], via Wikimedia Commons
Abb. 1 Heinrich HERTZ (1857 - 1894)

Tab. 1 Definition der Frequenz und ihrer Einheit

Größe
Name Symbol Definition
Frequenz \(f\) \(f := \frac{1}{T}\)
Einheit
Name Symbol Definition
Hertz \(\rm{Hz}\) \(1\,\rm{Hz}:=\frac{1}{\rm{s}}\)

Gleichung \((1)\) gibt eine Erklärung, was du dir unter einer Frequenz von \(1\,\rm{Hz}\) vorstellen kannst: Eine Körper bewegt sich auf einem Kreis mit der Frequenz von \(1\,\rm{Hz}\), wenn im Lauf einer Sekunde genau einen vollständigen Kreisumlauf "schafft". Ist die Frequenz kleiner als \(1\,\rm{Hz}\), also z.B. \(\frac{1}{2}\,\rm{Hz}\), dann vollzieht der Körper in einer Sekunde nur einen halben Kreisumlauf. 

Will man in Kurzschreibweise ausdrücken, dass die Einheit der Frequenz \(1\,\rm{Hz}\) ist, so kann man schreiben \([f] = 1\,\rm{Hz}\).

Die Frequenz einer Kreisbewegung bestimmst du experimentell am besten, wenn du mit einer Stoppuhr misst, welche Zeitspanne \(t_n\) für eine bestimmte Anzahl \(n\) von Umläufen nötig ist. Die Frequenz \(f\) berechnest du dann durch\[{\rm{Frequenz}} = \frac{\text{Anzahl der Umläufe}}{\text{benötigte Zeit}}\;:\;f = \frac{n}{t_n}\]

Beschreibung der momentanen Position auf der Kreisbahn

Wie beschreiben wir nun, wo genau sich der Körper zum Zeitpunkt \(t\) auf seiner Kreisbahn befindet? In der Animation in Abb. 1 kannst du beobachten, dass der Körper, der sich auf einer Kreisbahn bewegt, auf der Kreislinie eine immer größer werdende Strecke - wir bezeichnen ihre Länge mit \(s\) - zurücklegt. Gleichzeitig überstreicht der Bahnradius einen immer größeren Winkel - wir bezeichnen seine Weite mit \(\varphi\). Diese beiden Größen wollen wir dazu nutzen, die momentane Position des Körpers auf der Kreisbahn zu beschreiben.

Definition von (Bahn-)Strecke und Drehwinkel

Die (Bahn-)Strecke ist die Strecke, die der Körper seit dem dem Start der Kreisbewegung auf der Kreisbahn zurückgelegt hat.

Das Formelzeichen für die Länge dieser Bahnstrecke ist \(s\), die Einheit der Bahnstrecke ist \(1\,\rm{m}\).

     

Der Drehwinkel ist der Winkel, den der Bahnradius seit dem Start der Kreisbewegung überstrichen hat.

Das Formelzeichen für die Weite dieses Drehwinkels ist \(\varphi\), (sprich: Phi), die Einheit des Drehwinkels ist \(1\), d.h. der Drehwinkel wird nicht im Grad-, sondern im Bogenmaß gemessen. Im Bogenmaß hat eine volle Umdrehung den Wert \(\varphi = 2\pi\).

Für die Umrechnung einer Winkelangabe \(\alpha\) in Grad in die Winkelangabe \(\varphi\) im Bogenmaß gilt \(\varphi = \frac{2\cdot\pi}{360^\circ}\cdot \alpha\)

Zwischen den drei Größen Bahnradius \(r\), Länge \(s\) der Bahnstrecke und Weite \(\varphi\) des Drehwinkels besteht ein Zusammenhang, der durch die Gleichung\[\frac{\varphi }{{2\pi }} = \frac{s}{{2\pi  \cdot r}}\;\;\;{\rm{bzw.}}\;\;\;s = \varphi  \cdot r\;\;\;{\rm{bzw.}}\;\;\;\varphi  = \frac{s}{r}\]beschrieben wird, wobei auch hier der Drehwinkel im Bogenmaß gemessen werden muss.

Aufgaben

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