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Grundwissen

Linearer Potentialtopf

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Im Modell des eindimensionalen linearen unendlichen Potentialtopfs ist die potentielle Energie eines Teilchens im Topf Null, an den Rändern unendlich groß.
  • Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens am Topfrand ist Null. Die Eigenschwingungen des Teilchens im Potentialtopf sind daher analog zu stehenden Seilwellen an festen Enden.
  • Mit der Beziehung \(\lambda=\frac{h}{p}\) ergibt sich die Gesamtenergie des Teilchens im Potentialtopf zu \({E_{\rm{ges}}} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot m \cdot {a^2}}} \cdot {n^2}\)
  • Mit \(n=1,\,2,\,3,\,\rm{...}\) erhält man die verschiedenen Energieniveaus des Elektrons im Potentialtopf.
Aufgaben Aufgaben

Modell des linearen Potentialtopfs

Abb. 1 Modell des eindimensionalen linearen unendlichen Potentialtopfes für gebundene Zustände von Elektronen

Das Modell des eindimensionalen linearen unendlichen Potentialtopfs (siehe Abb. 1) lässt sich mit drei Punkten gut beschreiben:

  • Das Teilchen (Elektron) befindet sich in einem Topf (nur eine Dimension \(x\)) mit dem Durchmesser \(a\).
  • Im Inneren des Topfes ist die potentielle Energie Null:

    \(E_{\rm{pot}}(x)=0\) für \(0<x<a\)

  • Am Topfrand steigt das Potential sprunghaft auf den Wert Unendlich an:

\(E_{\rm{pot}}(x)=\infty\) für \(x<0\) und \(x>a\)

Dies bedeutet, dass das Teilchen (Elektron) nicht in die Topfwand eindringen kann, da dazu unendlich viel Arbeit notwendig wäre. Die Materiewelle wird also vollständig reflektiert. Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit \(P={|\Psi(x)|}^2\) außerhalb des Topfes 0 ist, muss auch \(\Psi(x)\) dort Null sein. Dies bedeutet, dass \(\Psi\) auch an den Topfrändern Null sein muss: \(\Psi(0)=0\)  und \(\Psi(a)=0\).

 

 

Analogie zu stehenden Wellen (Eigenschwingungen)

Im Potentialtopf bilden sich stehende De-Broglie-Wellen oder Eigenschwingungen aus, wie dies auch bei einer an ihren Enden fest eingespannten Saite der Fall ist. Dabei sind die Eigenschwingungen einer Saite die Länge \(l\) ein Vielfaches der halben Wellenlänge. Allgemein gilt hier \(l = n \cdot \frac{\lambda_{\rm{i}}}{2}\;;\;\,n \in \mathbb{N}\)

Übertragen auf das "atomare Problem" heißt dies, dass auch der Durchmesser \(a\) des Potentialtopfs im Falle der Eigenschwingungen ein Vielfaches der halben De-Broglie-Wellenlänge ist:

\[a = n \cdot \frac{\lambda }{2}\;;\;\,n \in \mathbb{N} \Rightarrow \lambda  = \frac{{2 \cdot a}}{n};\;\,n \in \mathbb{N}\]

Mit der Beziehung von de Broglie ergibt sich die "Geschwindigkeit" und damit die kinetische Energie, die gleich der Gesamtenergie ist.

\[\lambda  = \frac{h}{p} = \frac{h}{{m \cdot v}} \Rightarrow v = \frac{h}{{m \cdot \lambda }} = \frac{{h \cdot n}}{{2 \cdot m \cdot a}}\]

\[{E_{\rm{ges}}} = {E_{\rm{pot}}} + {E_{\rm{kin}}} = 0 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot m \cdot {a^2}}} \cdot {n^2}\]

Setzt man in diese Formel für n die Werte 1; 2; 3, ...ein, so erhält man die Energieniveaus eines Elektrons im Potentialtopf

Anmerkungen

  1. Diese obige Rechnung versetzt uns nicht in die Lage, die Energieniveaus in einem Wasserstoffatom zu berechnen, da das Potential für das Elektron nicht so schlicht wie bei dem obigen Potentialtopf ist. Trotzdem zeigt die obige Betrachtung, dass sich bei geeigneten Randbedingungen (das Elektron ist in einem Potentialtopf eingesperrt) unter der Annahme einer Wellenfunktion diskrete Energiewerten für das Elektron ergeben.
  2. Bei einigen Farbstoffmolekülen entspricht das Potential für das Elektron annähernd dem beim obigen linearen Potentialtopf. Wie entsprechende Aufgaben zeigen (z.B. Musteraufgabe - ß-Carotin) lassen sich damit die Größenordnungen von Energieübergängen abschätzen.

Wellenfunktion für verschiedene Schwingungsformen

Abb. 2 Wellenfunktionen und zugehörige Aufenthaltswahrscheinlichkeiten in einem Linearen Potentialtopf zu den ersten vier Energiezuständen

In der nebenstehenden Animation kannst du die Wellenfunktion \(\Psi(x)\) für verschiedene Schwingungsformen darstellen lassen (linke Animation, rote Linie).

Darüberhinaus siehst du dazu auch den Verlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeit \(P\propto {\Psi}^2(x)\) des Elektrons im Potentialtopf bei den verschiedenen Schwingungsformen (rechte Animation, violette Linie).