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Grundwissen

Linearer Potentialtopf

Aufgaben Aufgaben
Abb. 1 Modell des eindimensionalen linearen unendlichen Potentialtopfes für gebundene Zustände von Elektronen
  • Das Teilchen (Elektron) befindet sich in einem Topf (nur eine Dimension x) mit dem Durchmesser a.
  • Im Inneren des Topfes ist die potentielle Energie Null:

Epot(x) = 0 für 0 < x < a.

  • Am Topfrand steigt das Potential sprunghaft auf den Wert Unendlich an:

Epot(x) = ∞ für x < 0 und x > a.

Dies bedeutet, dass das Teilchen (Elektron) nicht in die Topfwand eindringen kann, da dazu unendlich viel Arbeit notwendig wäre. Die Materiewelle wird also vollständig reflektiert. Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit P = |ψ(x)|2 außerhalb des Topfes 0 ist, muss auch ψ(x) dort Null sein. Dies bedeutet, dass ψ auch an den Topfrändern Null sein muss: ψ(0) = 0 und ψ(a) = 0.

Aufgabe
Was ist an der nebenstehenden Veranschaulichung des Elektrons im Potentialtopf zu kritisieren?

 

 

Analogiebetrachtung:
Im Potentialtopf bilden sich stehende De-Broglie-Wellen oder Eigenschwingungen aus, wie Sie dies bei einer an ihren Enden fest eingespannten Saite kennen. Vielleicht erinnern Sie sich noch, dass bei den Eigenschwingungen einer Saite die Länge l der Saite ein Vielfaches der halben Wellenlänge war. Übertragen auf das "atomare Problem" heißt dies, dass auch der Durchmesser a des Potentialtopfs im Falle der Eigenschwingungen ein Vielfaches der halben De-Broglie-Wellenlänge ist:

\[a = n \cdot \frac{\lambda }{2}\;;\;\,n \in \mathbb{N} \Rightarrow \lambda  = \frac{{2 \cdot a}}{n};\;\,n \in \mathbb{N}\]

Mit der Beziehung von de Broglie ergibt sich die "Geschwindigkeit" und damit die kinetische Energie, die gleich der Gesamtenergie ist.

\[\lambda  = \frac{h}{p} = \frac{h}{{m \cdot v}} \Rightarrow v = \frac{h}{{m \cdot \lambda }} = \frac{{h \cdot n}}{{2 \cdot m \cdot a}}\]

\[{E_{ges}} = {E_{pot}} + {E_{kin}} = 0 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot m \cdot {a^2}}} \cdot {n^2}\]

Setzt man in diese Formel für n die Werte 1; 2; 3, ...ein, so erhält man die Energieniveaus eines Elektrons im Potentialtopf

Anmerkungen

1. Diese obige Rechnung versetzt uns nicht in die Lage, die Energieniveaus in einem Wasserstoffatom zu berechnen, da das Potential für das Elektron nicht so schlicht wie bei dem obigen Potentialtopf ist. Trotzdem zeigt die obige Betrachtung, dass sich bei geeigneten Randbedingungen (das Elektron ist in einem Potentialtopf eingesperrt) unter der Annahme einer Wellenfunktion diskrete Energiewerten für das Elektron ergeben.
2. Bei einigen Farbstoffmolekülen entspricht das Potential für das Elektron annähernd dem beim obigen linearen Potentialtopf. Wie entsprechende Aufgaben zeigen (z.B. Musteraufgabe - ß-Carotin) lassen sich damit die Größenordnungen von Energieübergängen abschätzen.
Abb. 2 Wellenfunktionen und zugehörige Aufenthaltswahrscheinlichkeiten in einem Linearen Potentialtopf zu den ersten vier Energiezuständen

 

 

 

In der nebenstehenden Animation können Sie sich die Wellenfunktion Ψ(x) für verschiedene Schwingungsformen darstellen lassen (linke Animation, rote Linie).

Darüberhinaus sieht man auch den Verlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeit P ~ Ψ2(x) des Elektrons im Potentialtopf bei den verschiedenen Schwingungsformen (rechte Animation, violette Linie).