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Ausblick

Linearer Potentialtopf - Schrödingergleichung

a) Zeitabhängige Schrödingergleichung in einer Dimension

Die von Schrödinger aufgestellte Gleichung lautet für eindimensionale Probleme bei einer zeitabhängigen potentiellen Energie Epot:

\[ - \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot \frac{{{\partial ^2}\Psi (x,t)}}{{\partial {x^2}}} + {E_{pot}}(x,t) \cdot \Psi (x,t) = i \cdot \frac{h}{{2 \cdot \pi }} \cdot \frac{{\partial \Psi (x,t)}}{{\partial t}}\quad (1)\]
eindimensionale, zeitabhängige Schrödingergleichung


Diese Gleichung stellt eine sogenannte Differentialgleichung dar, d.h. neben der gesuchten Variablen (hier die Wellenfunktion Ψ(x,t)) kommen in der Gleichung auch noch Ableitungen dieser Funktion vor.

Erläuterungen:  

Ψ(x,t)

zeit- und ortsabhängige Wellenfunktion

h

Plancksche Konstante

m

Masse des betrachteten Teilchens (z.B. Elektron)

Epot

potentielle Energie

i

imagniäre Einheit; \[i = \sqrt { - 1}  \Rightarrow {i^2} =  - 1\]

\[\frac{{{\partial ^2}\Psi (x,t)}}{{\partial {x^2}}}\]

zweite (partielle) Ableitung der Wellenfunktion nach dem Ort

\[\frac{{\partial \Psi (x,t)}}{{\partial t}}\]

erste (partielle) Ableitung der Wellenfunktion nach der Zeit

Mit schulischen Mitteln ist der Umgang mit obiger Gleichung wohl kaum möglich. Sie sollten jedoch die angeblich meist zitierte physikalische Gleichung einmal gesehen haben.

b) Zeitunabhängige Schrödingergleichung in einer Dimension - Anwendung auf den linearen Potentialtopf mit "unendlich hohen" Wänden.

Ist die potentielle Energie Epot zeitunabhängig, so lässt sich die Schrödingergleichung in einer etwas einfacheren Form schreiben:

\[-\frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot \frac{{{\partial ^2}\Psi (x)}}{{\partial {x^2}}} + {E_{pot}}(x) \cdot \Psi (x) = {E_{ges}} \cdot \Psi (x)\quad (2)\]
eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung

Eges: konstante Gesamtenergie

Wendet man Gleichung (2) auf den unendlich hohen linearen Potentialtopf an, so kann man in dem interessierenden Bereich 0 ≤ x ≤ a die potentielle Energie null setzen. Darüber hinaus soll die zweite Ableitung nach dem Ort in der Ihnen wohl vertrauteren Form mit Strichen geschrieben werden:

\[ - \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot \Psi ''\,(x) = {E_{ges}} \cdot \Psi (x)\quad (3)\]

Überlicherweise versucht man die Lösung einer Differentialgleichung dadurch zu erreichen, dass man einen geeigneten Lösungsansatz wählt. Die Wellenfunktion Ψ(x) muss die Eigenschaft besitzen, dass die Funktion selbst und ihre zweite Ableitung nach dem Ort bis auf eine Konstante übereinstimmen. Dies ist z.B. bei dem folgenden Lösungsansatz der Fall:

\[\psi (x) = A \cdot \sin \left( {k \cdot x} \right) + B \cdot \cos \left( {k \cdot x} \right)\quad (4)\]

Dieser Lösungsansatz vereinfacht sich noch wesentlich, wenn man die Randbedingungen mit ins Spiel bringt. Links und rechts der Topfwände muss die Wellenfunktion Null sein, da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit P ~ Ψ2(x) dort Null ist. Da die Wellenfunktion stetig ist, muss dann auch gelten, dass Ψ(0) = 0 und Ψ(a) = 0 ist.

Anwendung der ersten Randbedingung auf Gleichung (4):

\[\begin{array}{l}\psi (0) = A \cdot \sin \left( {k \cdot 0} \right) + B \cdot \cos \left( {k \cdot 0} \right) \Rightarrow \psi (0) = A \cdot 0 + {\rm B} \cdot 1\\\psi (0) = B\quad und\;wegen\;\psi (0) = 0\quad B = 0 \Rightarrow \psi (x) = A \cdot \sin \left( {k \cdot x} \right)\quad (5)\end{array}\]

Anwendung der zweiten Randbedingung auf Gleichung (5):

\[\begin{array}{l}\psi (a) = A \cdot \sin \left( {k \cdot a} \right)\quad und\;wegen\;\psi (a) = 0\quad 0 = A \cdot \sin \left( {k \cdot a} \right)\\{k_n} \cdot a = n \cdot \pi \quad mit\;n \in \mathbb{N} \Rightarrow {k_n} = \frac{{n \cdot \pi }}{a}\end{array}\]

Setzt man dieses Ergebnis in (5) ein, so erhält man für die Wellenfunktion:

\[{\psi _n}(x) = {A_n} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)\quad (6)\]

Für die zweite Ableitung nach dem Ort ergibt sich für diese Funktion:

\[{\psi _n}''(x) =  - {A_n} \cdot {\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)^2} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)\quad (7)\]

Die Ergebnisse (6) und (7) werden in die ursprüngliche Differentialgleichung (3) eingesetzt:

\[\begin{array}{l}\frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot {A_n} \cdot {\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)^2} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right) = {E_{ges,n}} \cdot {A_n} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)\\{A_n} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right) \cdot \left[ {\frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot {{\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)}^2} - {E_{ges,n}}} \right] = 0\end{array}\]

Die linke Seite der letzten Gleichung ist nur dann ständig Null, wenn der Term in der eckigen Klammer Null wird. Dies ist der Fall, wenn:

\[{E_{ges,n}} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot {\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)^2} \Rightarrow {E_{ges,n}} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot m \cdot {a^2}}} \cdot {n^2}\]
 

Durch Vergleich mit der Herleitung der Energie am linearen Potentialtopf durch Analogiebetrachtung können Sie sich überzeugen, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

Die Bestimmung der Amplitude der Wellenfunktion (6) erfordert nochmals einen etwas aufwändigeren Schritt. Wenn du dies nachvollziehen willst, so kannst du hier die Herleitung einblenden lassen.

Somit ergibt sich für den linearen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden die folgende Wellenfunktion:

\[{\psi _n}(x) = \sqrt {\frac{2}{a}}  \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)\]

Die Amplituden der Wellenfunktionen sind also unabhängig von n.