Zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung in einer Dimension
Die von SCHRÖDINGER aufgestellte Gleichung stellt eine sogenannte Differentialgleichung dar. Neben der gesuchten Variablen, hier die Wellenfunktion \(\Psi (x,t)\), kommen in der Gleichung auch noch Ableitungen dieser Funktion vor. Für eindimensionale Probleme bei einer zeitabhängigen potentiellen Energie \(E_{\rm{pot}}\) lautet die SCHRÖDINGER-Gleichung wie folgt:
Zeitabhängige Schrödingergleichung in einer Dimension
\[ - \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot \frac{{{\partial ^2}\Psi (x,t)}}{{\partial {x^2}}} + {{E_{pot}}(x,t) \cdot \Psi (x,t)} = {i\cdot \frac{h}{{2 \cdot \pi }} \cdot \frac{{\partial \Psi (x,t)}}{{\partial t}}}\quad (1)\]
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Mit schulischen Mitteln ist der Umgang mit dieser zeitabhängigen Schrödingergleichung kaum möglich. Allerdings ist sie angeblich die meist zitierte physikalische Gleichung, man darf sie daher einmal gesehen haben. In der Schule betrachtet man meist Fälle, in denen die potentielle Energie nicht vom Zeitpunkt \(t\) abhängt.
Zeitunabhängige Schrödingergleichung in einer Dimension
Ist die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) zeitunabhängig, so lässt sich die Schrödingergleichung in einer etwas einfacheren Form schreiben:
Eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung
\[-\frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot \frac{{{\partial ^2}\Psi (x)}}{{\partial {x^2}}} + {E_{pot}}(x) \cdot \Psi (x) = {E_{ges}} \cdot \Psi (x)\quad (2)\]Dabei ist \(E_{\rm{ges}}\) die konstante Gesamtenergie.
Anwendung auf den linearen Potentialtopf mit "unendlich hohen" Wänden
Wendet man die eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung \((2)\) auf den unendlich hohen linearen Potentialtopf (Abb. 1) an, so kann man in dem interessierenden Bereich \(0 ≤ x ≤ a\) die potentielle Energie null setzen. Darüber hinaus soll die zweite Ableitung nach dem Ort in der Ihnen wohl vertrauteren Form mit Strichen geschrieben werden:
\[ - \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot \Psi ''\,(x) = {E_{ges}} \cdot \Psi (x)\quad (3)\]
Üblicherweise versucht man die Lösung einer Differentialgleichung dadurch zu erreichen, dass man einen geeigneten Lösungsansatz wählt. Die Wellenfunktion \(\Psi(x)\) muss die Eigenschaft besitzen, dass die Funktion selbst und ihre zweite Ableitung nach dem Ort bis auf eine Konstante übereinstimmen. Dies ist z.B. bei dem folgenden Lösungsansatz der Fall:
\[\Psi (x) = A \cdot \sin \left( {k \cdot x} \right) + B \cdot \cos \left( {k \cdot x} \right)\quad (4)\]
Randbedingungen
Dieser Lösungsansatz vereinfacht sich noch wesentlich, wenn man die Randbedingungen berücksichtigt. Links und rechts der Topfwände muss die Wellenfunktion Null sein, da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit dort \(P ~ \Psi^2(x)=0\) ist. Da die Wellenfunktion stetig ist, müssen dann auch die folgenden beiden Bedingungen gelten:
1. Randbedingung: \(\Psi(0)=0\)
2. Randbedingung: \(\Psi(a)=0\)
Anwendung der ersten Randbedingung auf Gleichung \((4)\):
\[\Psi (0) = A \cdot \sin \left( {k \cdot 0} \right) + B \cdot \cos \left( {k \cdot 0} \right)\] \[\Rightarrow \Psi (0) = A \cdot 0 + {\rm B} \cdot 1=B\]und da wegen\(\Psi (0) = 0\) auch \(B=0\) sein muss, folgt\[ \Rightarrow \Psi (x) = A \cdot \sin \left( {k \cdot x} \right)\quad (5)\]
Anwendung der zweiten Randbedingung auf Gleichung \((5)\):
\[\Psi (a) = A \cdot \sin \left( {k \cdot a} \right)\quad \text{und wegen }\Psi (a) = 0\quad 0 = A \cdot \sin \left( {k \cdot a} \right)\]Dieser Ausdruck wird Null, wenn \(\sin(k\cdot a)=0\) gilt. Dies im bei beliebigen Vielfachen von \(\pi\) der Fall: \[{k_n} \cdot a = n \cdot \pi \quad \text{mit }n \in \mathbb{N} \Rightarrow {k_n} = \frac{{n \cdot \pi }}{a}\]
Setzt man dieses Ergebnis in \((5)\) ein, so erhält man für die Wellenfunktion:
\[{\Psi _n}(x) = {A_n} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)\quad (6)\]
Für die zweite Ableitung nach dem Ort ergibt sich für diese Funktion:
\[{\Psi _n}''(x) = - {A_n} \cdot {\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)^2} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)\quad (7)\]
Die Ergebnisse \((6)\) und \((7)\) werden in die ursprüngliche Differentialgleichung \((3)\) eingesetzt:
\[\begin{array}{l}\frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot {A_n} \cdot {\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)^2} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right) = {E_{ges,n}} \cdot {A_n} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)\\{A_n} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right) \cdot \left[ {\frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot {{\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)}^2} - {E_{ges,n}}} \right] = 0\end{array}\]
Die linke Seite der letzten Gleichung ist nur dann ständig Null, wenn der Term in der eckigen Klammer Null wird. Dies ist der Fall, wenn:
\[{E_{ges,n}} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot {\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)^2} \Rightarrow {E_{ges,n}} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot m \cdot {a^2}}} \cdot {n^2}\]
Durch Vergleich mit der Herleitung der Energie am linearen Potentialtopf durch Analogiebetrachtung können Sie sich überzeugen, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
Die Bestimmung der Amplitude der Wellenfunktion \((6)\) erfordert nochmals einen etwas aufwändigeren Schritt. Wenn du dies nachvollziehen willst, so kannst du hier die Herleitung einblenden lassen.
Zusammenfassung
Somit ergibt sich für den linearen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden die folgende Wellenfunktion:
\[{{\Psi _n}(x) = \sqrt {\frac{2}{a}} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)}\]
Die Amplituden der Wellenfunktionen sind also unabhängig von \(n\).