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Ausblick

Linearer Potentialtopf - Schrödingergleichung

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Eine Lösung der zeitabhängigen Schrödigergleichung mit Schulmathematik ist kaum möglich.
  • Die zeitunabhängige, eindimensionale Schrödingergleichung kann am Modell des linearen Potentialtopfs mathematisch hergeleitet werden.
  • Wichtig ist dabei der Einbezug der Randbedingungen.

Zeitabhängige Schrödingergleichung in einer Dimension

Die von Schrödinger aufgestellte Gleichung stellt eine sogenannte Differentialgleichung dar. Neben der gesuchten Variablen, hier die Wellenfunktion \(\Psi (x,t)\), kommen in der Gleichung auch noch Ableitungen dieser Funktion vor. Für eindimensionale Probleme bei einer zeitabhängigen potentiellen Energie \(E_{\rm{pot}}\) lautet die Schrödeingergleichung wie folgt:

Zeitabhängige Schrödingergleichung in einer Dimension

\[ - \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot \frac{{{\partial ^2}\Psi (x,t)}}{{\partial {x^2}}} + {{E_{pot}}(x,t) \cdot \Psi (x,t)} = {i\cdot \frac{h}{{2 \cdot \pi }} \cdot \frac{{\partial \Psi (x,t)}}{{\partial t}}}\quad (1)\]

\(\Psi(x,t)\)

zeit- und ortsabhängige Wellenfunktion

\(h\)

Plancksche Konstante

\(m\)

Masse des betrachteten Teilchens (z.B. Elektron)

\(E_{\rm{pot}}\)

potentielle Energie

\(i\)

imagniäre Einheit; \(i = \sqrt { - 1}\)

\[\frac{{{\partial ^2}\Psi (x,t)}}{{\partial {x^2}}}\]

zweite (partielle) Ableitung der Wellenfunktion nach dem Ort

\[\frac{{\partial \Psi (x,t)}}{{\partial t}}\]

erste (partielle) Ableitung der Wellenfunktion nach der Zeit

Mit schulischen Mitteln ist der Umgang mit dieser zeitabhängigen Schrödingergleichung kaum möglich. Allerdings ist sie angeblich die meist zitierte physikalische Gleichung, man darf sie daher einmal gesehen haben. In der Schule betrachtet man meist Fälle, in denen die potentielle Energie nicht vom Zeitpunkt \(t\) abhängt.

Zeitunabhängige Schrödingergleichung in einer Dimension

Ist die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) zeitunabhängig, so lässt sich die Schrödingergleichung in einer etwas einfacheren Form schreiben:

Eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung

\[-\frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot \frac{{{\partial ^2}\Psi (x)}}{{\partial {x^2}}} + {E_{pot}}(x) \cdot \Psi (x) = {E_{ges}} \cdot \Psi (x)\quad (2)\]Dabei ist \(E_{\rm{ges}}\) die konstante Gesamtenergie. 

Anwendung auf den linearen Potentialtopf mit "unendlich hohen" Wänden

Joachim Herz Stiftung Joachim Herz Stiftung
Abb. 1: Modell des linearen Potentialtopfs

Wendet man die eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung \((2)\) auf den unendlich hohen linearen Potentialtopf (Abb. 1) an, so kann man in dem interessierenden Bereich \(0 ≤ x ≤ a\) die potentielle Energie null setzen. Darüber hinaus soll die zweite Ableitung nach dem Ort in der Ihnen wohl vertrauteren Form mit Strichen geschrieben werden:

\[ - \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot \Psi ''\,(x) = {E_{ges}} \cdot \Psi (x)\quad (3)\]

Überlicherweise versucht man die Lösung einer Differentialgleichung dadurch zu erreichen, dass man einen geeigneten Lösungsansatz wählt. Die Wellenfunktion \(\Psi(x)\) muss die Eigenschaft besitzen, dass die Funktion selbst und ihre zweite Ableitung nach dem Ort bis auf eine Konstante übereinstimmen. Dies ist z.B. bei dem folgenden Lösungsansatz der Fall:

\[\Psi (x) = A \cdot \sin \left( {k \cdot x} \right) + B \cdot \cos \left( {k \cdot x} \right)\quad (4)\]

Randbedingungen

Dieser Lösungsansatz vereinfacht sich noch wesentlich, wenn man die Randbedingungen berücksichtigt. Links und rechts der Topfwände muss die Wellenfunktion Null sein, da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit dort \(P ~ \Psi^2(x)=0\) ist. Da die Wellenfunktion stetig ist, müssen dann auch die folgenden beiden Bedingungen gelten:

1. Randbedingung: \(\Psi(0)=0\)

2. Randbedingung: \(\Psi(a)=0\)

Anwendung der ersten Randbedingung auf Gleichung \((4)\):

\[\Psi (0) = A \cdot \sin \left( {k \cdot 0} \right) + B \cdot \cos \left( {k \cdot 0} \right)\] \[\Rightarrow \Psi (0) = A \cdot 0 + {\rm B} \cdot 1=B\]und da wegen\(\Psi (0) = 0\) auch \(B=0\) sein muss, folgt\[ \Rightarrow \Psi (x) = A \cdot \sin \left( {k \cdot x} \right)\quad (5)\]

Anwendung der zweiten Randbedingung auf Gleichung \((5)\):

\[\Psi (a) = A \cdot \sin \left( {k \cdot a} \right)\quad \text{und wegen }\Psi (a) = 0\quad 0 = A \cdot \sin \left( {k \cdot a} \right)\]Dieser Ausdruck wird Null, wenn \(\sin(k\cdot a)=0\) gilt. Dies im bei beliebigen Vielfachen von \(\Pi\) der Fall: \[{k_n} \cdot a = n \cdot \pi \quad \text{mit }n \in \mathbb{N} \Rightarrow {k_n} = \frac{{n \cdot \pi }}{a}\]

Setzt man dieses Ergebnis in \((5)\) ein, so erhält man für die Wellenfunktion:

\[{\Psi _n}(x) = {A_n} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)\quad (6)\]

Für die zweite Ableitung nach dem Ort ergibt sich für diese Funktion:

\[{\Psi _n}''(x) =  - {A_n} \cdot {\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)^2} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)\quad (7)\]

Die Ergebnisse \((6)\) und \((7)\) werden in die ursprüngliche Differentialgleichung \((3)\) eingesetzt:

\[\begin{array}{l}\frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot {A_n} \cdot {\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)^2} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right) = {E_{ges,n}} \cdot {A_n} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)\\{A_n} \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right) \cdot \left[ {\frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot {{\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)}^2} - {E_{ges,n}}} \right] = 0\end{array}\]

Die linke Seite der letzten Gleichung ist nur dann ständig Null, wenn der Term in der eckigen Klammer Null wird. Dies ist der Fall, wenn:

\[{E_{ges,n}} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot m}} \cdot {\left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a}} \right)^2} \Rightarrow {E_{ges,n}} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot m \cdot {a^2}}} \cdot {n^2}\]

Durch Vergleich mit der Herleitung der Energie am linearen Potentialtopf durch Analogiebetrachtung können Sie sich überzeugen, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

Die Bestimmung der Amplitude der Wellenfunktion \((6)\) erfordert nochmals einen etwas aufwändigeren Schritt. Wenn du dies nachvollziehen willst, so kannst du hier die Herleitung einblenden lassen.

Somit ergibt sich für den linearen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden die folgende Wellenfunktion:

\[\bbox[10px,border:4px solid red]{{\Psi _n}(x) = \sqrt {\frac{2}{a}}  \cdot \sin \left( {\frac{{n \cdot \pi }}{a} \cdot x} \right)}\]

Die Amplituden der Wellenfunktionen sind also unabhängig von \(n\).