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Aufgabe

Leuchtstoffe (Abitur BY 2008 LK A3-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Leuchtstoffröhren sind Niederdruck-Gasentladungslampen, häufig mit Quecksilberdampf als Füllgas. Im Betrieb emittieren die Quecksilberatome u. a. Ultraviolettstrahlung.

a)Erklären Sie kurz, wie es zur Entstehung dieser Strahlung kommt. (4 BE)

In der Beschichtung von Leuchtstoffröhren befinden sich Moleküle, die die UV-Strahlung der Quecksilberatome in sichtbares Licht umwandeln. Die Anregungszustände eines solchen Leuchtstoffmoleküls können näherungsweise durch das Modell eines eindimensionalen Potentialtopfs beschrieben werden.

b)Erläutern Sie die Modellvorstellung eines Elektrons im unendlich tiefen, eindimensionalen Potentialtopf.

Zeigen Sie, dass sich in diesem Modell die Energiestufen durch die Beziehung\[E_n = \frac{h^2}{8 \cdot m_e \cdot L^2} \cdot n^2\]beschreiben lassen, wobei L die Länge des Potentialtopfs ist. (7 BE)

Ultraviolettstrahlung mit der Wellenlänge 253nm soll das Leuchtstoffmolekül vom Grundzustand in den zweiten angeregten Zustand bringen.

c)Bestätigen Sie, dass der Potentialtopf 7,83·10-10m lang sein muss. (6 BE)

d)Zeichnen Sie für das Leuchtstoffmolekül ein Energieniveauschema (Energie in eV) bis zum 2. Anregungszustand.

Zeigen Sie, dass eine Umwandlung in sichtbares Licht möglich ist. (7 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die von einer Kathode der Leuchtstoffröhre ausgehenden Elektronen regen die Quecksilberatome an. Beim Übergang vom Anregungszustand des Quecksilberatoms in den niedrigeren Energiezustand wird die beobachtete UV-Strahlung emittiert.

b)Durch das elektrische Feld des Kerns ist ein Potentialverlauf vorgegeben, der extrem vereinfacht durch die Skizze dargestellt wird:

Ein Elektron befinde sich in einem Topf mit dem Durchmesser L. Im Topf sei die potentielle Energie des Elektrons Null. Am Topfrand steigt das Potential sprunghaft auf den Wert "Unendlich" an. Dies bedeutet, dass das Elektron nicht in die Topfwand eindringen kann. Im Topf bildet sich eine stehende Materiewelle des Elektrons aus, die mit der Eigenschwingung einer beidseitig eingespannten Saite zu vergleichen ist. Der Abstand zweier Schwingungsknoten ist λn/2. Also gilt:\[L = n \cdot \frac{{{\lambda _n}}}{2} \Leftrightarrow {\lambda _n} = \frac{{2 \cdot L}}{n}\quad(1)\]

Mit der Beziehung von de Broglie und der klassischen Energie-Impuls-Beziehung lässt sich dann die kinetische Energie, die bei diesem Modell gleich der Gesamtenergie ist, bestimmen:\[{p_n} = \frac{h}{{{\lambda _n}}} \Rightarrow {m_e} \cdot {v_n} = \frac{h}{{{\lambda _n}}} \Leftrightarrow {v_n} = \frac{h}{{{m_e} \cdot {\lambda _n}}}\]Mit \((1)\) ergibt sich\[{v_n} = \frac{{h \cdot n}}{{{m_e} \cdot 2 \cdot L}} \quad (2)\]Schließlich\[{E_n} = {E_{pot,n}} + {E_{kin,n}} \Rightarrow {E_n} = 0 + \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {\left( {\frac{{h \cdot n}}{{{m_e} \cdot 2 \cdot L}}} \right)^2} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {m_e} \cdot {L^2}}} \cdot {n^2}\]

c)Für den Grundzustand gilt: n1 = 1, für den zweiten angeregten Zustand n3 = 3. Somit gilt nach dem Energiesatz\[\frac{{h \cdot c}}{\lambda } = {E_3} - {E_1} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {m_e} \cdot {L^2}}} \cdot \left( {{3^2} - {1^2}} \right) = \frac{{{h^2}}}{{{m_e} \cdot {L^2}}} \Rightarrow L = \sqrt {\frac{{h \cdot \lambda }}{{{m_e} \cdot c}}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[L = \sqrt {\frac{{6,626 \cdot 1{0^{ - 34}} \cdot 253 \cdot 1{0^{ - 9}}}}{{9,109 \cdot 1{0^{ - 31}} \cdot 2,998 \cdot 1{0^8}}}} {\rm{m}} \approx 7,83 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]

d)Berechnung der Energiewerte:\[{E_n} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {m_e} \cdot {L^2}}} \cdot {n^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_n} = \frac{{{{\left( {6,626 \cdot {{10}^{ - 34}}} \right)}^2}}}{{8 \cdot 9,109 \cdot 1{0^{ - 31}} \cdot {{\left( {7,8349 \cdot 1{0^{ - 10}}} \right)}^2} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}}}{\rm{eV}} \cdot {n^2} = 0,613\,{\rm{eV}} \cdot {n^2}\]Damit ergeben sich \({E_1} = 0,613\,{\rm{eV}}\), \({E_2} = 2,454\,{\rm{eV}}\) und \({E_3} = 5,521\,{\rm{eV}}\).

\[\Delta E = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } \Leftrightarrow \lambda  = \frac{{h \cdot c}}{{\Delta E}}\]Damit ergeben sich\[{\lambda _{32}} = \frac{{4,136 \cdot 1{0^{ - 15}} \cdot 2,997 \cdot 1{0^8}}}{{3,06}}{\rm{m}} \approx 405\,{\rm{nm}}\]
sowie\[{\lambda _{21}} = \frac{{4,136 \cdot 1{0^{ - 15}} \cdot 2,997 \cdot 1{0^8}}}{{1,84}}{\rm{m}} \approx 675\,{\rm{nm}}\]Beide Wellenlängen liegen im sichtbaren Bereich.