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Aufgabe

Eindimensionaler Potentialtopf (Abitur BY 2007 GK A3-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Das Zustandekommen von diskreten Energieniveaus (charakterisiert durch die Quantenzahl n) für ein in der Atomhülle gebundenes Elektron kann am Modell des eindimensionalen, unendlich hohen Potentialtopfs veranschaulicht werden. Hier soll sich das Elektron in einem Potentialtopf der Länge l = 1,4·10-10 m kräftefrei bewegen.

a)Zeigen Sie, dass für den Impuls eines Elektrons im Potentialtopf nach de Broglie gilt: (5 BE) \[p_n = \frac{h}{2 \cdot l} \cdot n   \mathrm{(n \in \mathbb{N})}\]

b)Berechen Sie damit den kleinstmöglichen Energiewert des Elektrons im Potentialtopfund erläutern Sie, inwiefern das Ergebnis einen Widerspruch zur klassischen Physik darstellt. (6 BE)

c)Bestimmen Sie die Werte der Quantenzahl n, bei denen von einer nichtrelativistischen Bewegung des Elektrons im Potentialtopf der angegebenen Länge ausgegangen werden darf. (6 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Zwischen den Wänden des Potentialtopfes bilden sich stehende Materiewellen aus. Für deren Wellenlänge gilt\[ n \cdot \frac{\lambda_\text{n}}{2} = l \quad \Rightarrow \quad \lambda_\text{n} = \frac{2 \cdot l}{n} \qquad \text{(1)} \]Die de-Broglie-Beziehung lautet\[ p_\text{n} = \frac{h}{\lambda_\text{n}} \qquad \text{(2)} \]Setzt man (1) in (2) ein, so folgt\[ p_\text{n} = \frac{h}{2 \cdot l} \cdot n \]

b)Der kleinste Energiewert ergibt sich für n = 1:\[ p_1 = \frac{h}{2 \cdot l} \]Mit der klassischen Beziehung zwischen Energie und Impuls erhält man\[ \begin{array}{} E_1 = \frac{p_1^2}{2 \cdot m} \quad \Rightarrow \quad E_1 = \frac{\left( \frac{h}{2 \cdot l} \right)^2}{2 \cdot m} \quad \Rightarrow \quad E_1 = \frac{h^2}{8 \cdot m \cdot l^2} \quad \Rightarrow\, \\ E_1 = \frac{\left( 6,6 \cdot 10^{-34} \right)^2}{8 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot \left( 1,4 \cdot 10^{-10} \right)^2}\, \mathrm{J} = 3,1 \cdot 10^{-18}\, \mathrm{J} = 19\, \mathrm{eV} \end{array} \]

Hinweis: Die Gesamtenergie enthält bei diesem Modell nur den Anteil an kinetischer Energie, da Epot = 0 ist.

Nach diesem Modell nimmt die kleinstmögliche Energie nicht den Wert Null an. In der klassischen Physik geht man davon aus, dass die niedrigste Energie eines Teilchens den Wert Null annimmt, wenn nur die Temperatur des Systems sich beliebig nahe dem absoluten Nullpunkt nähert.

c)Nichtrelativistische Bewegung liegt vor, wenn v < 0,1 c ist.

Für die kinetische Energie und in diesem Modell für die Gesamtenergie gilt dann\[ E_\text{n} < \frac{1}{2} \cdot m \cdot \left( 0,1 \cdot c \right)^2 \]Für die Gesamtenergie En gilt (vgl. Teilaufgabe b))\[ E_\text{n} = \frac{h^2}{8 \cdot m \cdot l^2} \cdot n^2 \]Berechnung von n:\[ \begin{array}{} \frac{h^2}{8 \cdot m \cdot l^2} \cdot n^2 < \frac{1}{2} \cdot m \cdot \left( 0,1 \cdot c \right)^2 \quad \Rightarrow \quad n^2 < \frac{\left( 2 \cdot m \cdot l \cdot 0,1 \cdot c \right)^2}{h^2} \\\, \\n < \frac{0,2 \cdot m \cdot l \cdot c}{h} \quad \Rightarrow \quad n < \frac{0,2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 1,4 \cdot 10^{-10} \cdot 3,0 \cdot 10^8}{6,6 \cdot 10^{-34}} \\\, \\n < 11,6 \cdot \quad \Rightarrow \quad n \leq 11 \end{array} \]