Ein einfaches quantenmechanisches Atommodell ist der lineare Potenzialtopf. Ein Elektron befinde sich in einem Topf der Länge L mit unendlich hohen Wänden. Seine Geschwindigkeit sei klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.
a)
Welche Wellenlängen kann dann die dem Elektron zugeordnete de-Broglie-Welle haben.
Welche kinetischen Energien ergeben sich daraus? (9 BE)
b)
Erläutern Sie mit Hilfe der Unschärferelation, warum im Grundzustand die kinetische Energie des Elektrons nicht Null sein kann. (5 BE)
c)
Stellen Sie für die Quantenzahlen n = 1, 2 und 3 die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons als Funktion der Ortskoordinate x qualitativ dar (drei Diagramme untereinander; Topfwände bei x = 0 und x = L; L = 9 cm). (7 BE)
d)
Beschreiben Sie, wie sich ein Elektron im Potentialtopf nach klassischer Vorstellung bewegen müsste.
Erläutern Sie, ob diese Vorstellung mit den in Teilaufgabe c) skizzierten Verteilungen im Einklang ist. (4 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Wie bei jeder stehenden Welle mit zwei Knoten an den Enden muss L ein Vielfaches der halben Wellenlänge sein:\[n \cdot \frac{{{\lambda _n}}}{2} = L \Leftrightarrow {\lambda _n} = \frac{{2 \cdot L}}{n}\]Damit ergibt sich für den Impuls\[{p_n} = \frac{h}{{{\lambda _n}}} = \frac{{n \cdot h}}{{2 \cdot L}}\]für die Geschwindigkeit\[{v_n} = \frac{{{p_n}}}{{{m_e}}} = \frac{{n \cdot h}}{{2 \cdot L \cdot {m_e}}}\]und für die Energie\[{E_n} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_n}^2 = \frac{{{n^2} \cdot {h^2}}}{{8 \cdot {L^2} \cdot {m_e}}}\]
b)
Wäre die kinetische Energie Null, so wäre der Impuls Null und damit die Impulsunschärfe in x-Richtung Null: \(\Delta {p_x} = 0\) . Da aber die Orstunschärfe \(\Delta x = L\) ist, gilt nicht die heisenbergsche Unschärferelation \(\Delta {p_x} \cdot \Delta x \ge \frac{h}{{4 \cdot \pi }}\).
c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
d)
Klassisch würde jedem n eine eindeutige Energie und damit eine eindeutige Geschwindigkeit zugehören. Das Elektron würde sich also mit konstanter Geschwindigkeit zwischen den Wänden hin und her bewegen und damit überall die gleiche Aufenthaltswahrscheinlichkeit haben; dies widerspricht aber Aufgabenteil c).
