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Aufgabe

Wasserstoffatom quantenphysikalisch (Abitur BY 2015 Ph12 A1-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Betrachtet wird zunächst ein eindimensionaler unendlich hoher Potentialtopf der Breite \(l\). Für das Innere des Topfes (\(0 < x < l\)) ist \({E_{{\rm{pot}}}}(x) = 0\) festgelegt. Die Wellenfunktion \({\Psi _n}(x) = \sqrt {\frac{2}{l}} \cdot \sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{{{\lambda _n}}} \cdot x} \right)\) beschreibt den \(n\)-ten Quantenzustand (\(n = 1, 2, 3, ...\)) eines im Topf gebundenen Elektrons. Hierbei bezeichnet \({\lambda _n}\) die Wellenlänge des Elektrons.

a)Leiten Sie aus der Randbedingung \({\Psi _n}\left( l \right) = 0\) eine Beziehung zwischen \({\lambda _n}\) und \(l\) her. (Hinweis: \(\sin \left( {n \cdot \pi } \right) = 0\)) (4 BE)

b)Beschreiben Sie die quantenphysikalische Bedeutung des Terms \({\left| {{\Psi _n}\left( x \right)} \right|^2}\).

Geben Sie ohne Rechnung den Wert des Integrals\[\int\limits_0^l {\left| {{{\left| {{\Psi _n}\left( x \right)} \right|}^2}} \right|} dx\]an und begründen Sie diesen Wert. (6 BE)

c)Nehmen Sie an, dass der Grundzustand des Potentialtopfs den Energiewert \({E_1} = 1,0{\rm{eV}}\) besitzt.

Stellen Sie die Energieniveaus \({E_1}\) bis \({E_4}\) des Potentialtopfs zeichnerisch dar.

Zeichnen Sie ebenfalls die vier niedrigsten Stufen eines Energieniveauschemas zum Wasserstoffatom.

Vergleichen Sie beide Schemata im Hinblick auf das Verhalten der Differenz \({E_{n + 1}} - {E_n}\) bei zunehmender Quantenzahl \(n\). (11 BE)

d)Es werden nun radialsymmetrische Zustände des Wasserstoffatoms und zugehörige Wellenfunktionen in ihrer radialen Abhängigkeit betrachtet.

Wählen Sie unter den Diagrammen A bis D den skizzierten Graphen der Wellenfunktion zu \(n = 2\) sowie den zu \(n = 3\) aus und begründen Sie Ihre Entscheidung. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Mit Hilfe der vorgegebenen Wellenfunktion erhält man für \(x = l\)\[{\Psi _n}(l) = \sqrt {\frac{2}{l}} \cdot \sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{{{\lambda _n}}} \cdot l} \right)\quad \left( 1 \right)\]Mit der Randbedingung \({\Psi _n}\left( l \right) = 0\) folgt aus \((1)\)\[0 = \sqrt {\frac{2}{l}}  \cdot \sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{{{\lambda _n}}} \cdot l} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{2 \cdot l}}{{{\lambda _n}}} \cdot \pi } \right) = 0\;\;\;\left( 2 \right)\]Gleichung \((2)\) ist erfüllt, wenn gilt\[\frac{{2 \cdot l}}{{{\lambda _n}}} = n\;;\;n \in \mathbb{N}\]Somit gilt für den Zusammenhang zwischen \(\lambda _n\) und \(l\)\[{\lambda _n} = \frac{{2 \cdot l}}{n}\]

b)Das Betragsquadrat der zeitunabhängigen Wellenfunktion \({\left| {{\Psi _n}\left( x \right)} \right|^2}\) ist ein Maß für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines quantenphysikalischen Objekts (hier des Elektrons).

Das räumliche Integral \(\int\limits_0^l {\left| {{{\left| {{\Psi _n}\left( x \right)} \right|}^2}} \right|} dx\) der Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Elektron über die gesamte Länge des Potentialtopfs muss den Wert \(1 = 100\% \) ergeben, da sich das Elektron ja irgendwo im Potentialtopf befinden muss.

c)Für den Zusammenhang zwischen der de-Broglie-Wellenlänge und der Länge des Potentialtopfes gilt (vgl. Teilaufgabe a))\[{\lambda _n} = \frac{{2 \cdot l}}{n}\quad \left( {{1^*}} \right)\]Die Energie eines Elektrons im Potentialtopf setzt sich aus der potentiellen Energie (ist im Inneren des Topfes zu Null angenommen) und der kinetischen Energie zusammen:\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,n}}}} = {E_{{\rm{pot}}{\rm{,n}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,n}}}} = 0 + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,n}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_n}^2\;\;\;\left( {{2^*}} \right)\]Die Geschwindigkeit \(v_n\) kann mit Hilfe der de-Broglie-Beziehung durch die Materiewellenlänge \({{\lambda _n}}\) ausgedrückt werden:\[{\lambda _n} = \frac{h}{{{p_n}}} = \frac{h}{{{m_e} \cdot {v_n}}} \Leftrightarrow {v_n} = \frac{h}{{{m_e} \cdot {\lambda _n}}}\;\;\;\left( {{3^*}} \right)\]Setzt man \(\left( {{3^*}} \right)\) in \(\left( {{2^*}} \right)\) ein, so folgt\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,n}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {\left( {\frac{h}{{{m_e} \cdot {\lambda _n}}}} \right)^2}\; = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{h^2}}}{{{m_e} \cdot {\lambda _n}^2}}\;\;\;\left( {{4^*}} \right)\]Setzt man nun noch \(\left( {{1^*}} \right)\) in \(\left( {{4^*}} \right)\) ein, so gilt\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,n}}}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{{{h^2}}}{{{m_e} \cdot {l^2}}} \cdot {n^2} \Rightarrow {E_{{\rm{ges}}{\rm{,n}}}} \sim {n^2}\]Im linearen Potentialtopf steigen also die Werte der Gesamtenergie mit dem Quadrat der Quantenzahl \(n\) an. Somit gilt für die vier niedrigsten Energiestufen\[{E_{{\rm{ges,1}}}} = 1,0{\rm{eV}}\;;{E_{{\rm{ges,2}}}} = 4,0{\rm{eV}}\;;{E_{{\rm{ges,3}}}} = 9,0{\rm{eV}}\;;{E_{{\rm{ges,4}}}} = 16,0{\rm{eV}}\]Im Wasserstoffatom gilt für die Gesamtenergie\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,n}}}} \sim - \frac{1}{{{n^2}}}\]Für die vier niedrigsten Energiestufen gilt hier\[{E_{{\rm{ges,1}}}} =  - 13,6{\rm{eV}}\;;{E_{{\rm{ges,2}}}} =  - 3,4{\rm{eV}}\;;{E_{{\rm{ges,3}}}} =  - 1,5{\rm{eV}}\;;{E_{{\rm{ges,4}}}} =  - 0,85{\rm{eV}}\]Der Vergleich zeigt, dass beim Potentialtopf die Abstände der Energieniveaus mit zunehmender Quantenzahl \(n\) immer größer, beim Wasserstoffatom dagegen immer kleiner werden.

d)Die Graphen A und D scheiden aus, da sich die skizzierten Wellenfunktionen für \(r \to \infty \) nicht dem Wert Null annähern.

Diejenige Wellenfunktion, die mehr Nullstellen aufweist gehört zur größeren Quantenzahl. Also gehört Diagramm C zur Quantenzahl \(n = 2\) und Diagramm B zur Quantenzahl \(n = 3\).