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Aufgabe

Beta-Carotin (Abitur BY 2000 LK A3-2)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

In dem organischen Molekül können sich 22 Elektronen praktisch frei entlang einer Kohlenwasserstoffkette bewegen, das Molekül aber nicht verlassen. Das Verhalten dieser Elektronen kann näherungsweise durch das quantenmechanische Modell des eindimensionalen Potentialtopfs der Länge a beschrieben werden.

a)Leiten Sie einen Ausdruck für die möglichen Energien eines Elektrons in einem solchen Potentialtopf her. [zur Kontrolle: \(E_n = \frac{n^2 \cdot h^2}{8 \cdot a^2 \cdot m}\) ]

Erklären Sie den Begriff Nullpunktsenergie. (7 BE)

b)Beschreiben Sie mit einer Skizze den Verlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten eines Elektrons im Zustand n = 2. (5 BE)

c)Im Grundzustand sind die tiefsten der in Teilaufgabe a) berechneten Energieniveaus mit jeweils 2 Elektronen besetzt. Im Absorptionsspektrum von β-Carotin findet man eine Linie mit der Wellenlänge λ = 451nm. Diese Linie entspricht dem Übergang vom Grundzustand des Moleküls in den ersten angeregten Zustand.

Berechnen Sie die Länge der Kohlenwasserstoffkette. (7 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die Länge des Potentialtopfs ist ein Vielfaches der halben de-Broglie-Wellenlänge:\[ a = n \cdot \frac{\lambda}{2} = \frac{n \cdot h}{2 \, p} \quad \Rightarrow \quad p = \frac{n \cdot h}{2 \, a} \]Die Energie bekommt man nichtrelativistisch aus dem Impuls:\[ E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{p^2}{2 \, m} \quad \Rightarrow \quad E_\text{n} = \frac{n^2 \cdot h^2}{8 \cdot a^2 \cdot m} \]Die niedrigste Energie ist für n = 1, diese Nullpunktsenergie ist ungleich Null.

b)Zustand n = 2 bedeutet außer den zwei Randknoten ein Knoten in der Mitte.

c)Die untersten 11 Niveaus sind besetzt. Die Anregung erfolgt von n = 11 (Grundzustand) auf n = 12:\[ E_{12} - E_{11} = \frac{h \cdot c}{\lambda} = \frac{\left( 12^2 - 11^2 \right) \cdot h^2}{8 \cdot m \cdot a^2} \\ \, \\ a = \sqrt{\frac{\left( 12^2 - 11^2 \right) \cdot h \cdot \lambda}{8 \cdot m \cdot c}} = \sqrt{\frac{ \left( 12^2-11^2 \right) \cdot 6,63 \cdot 10^{-34}\, \mathrm{Js} \cdot 4,51 \cdot 10^{-7}\, \mathrm{m} }{8 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31}\, \mathrm{kg} \cdot 3,0 \cdot 10^8\, \mathrm{\frac{m}{s}} }} = 1,77\, \mathrm{nm} \]