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Aufgabe

Potentialtopf (Abitur BY 2001 GK A3-4)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei einem Teilchen der Masse \(m\), das sich nur eindimensional in einem Bereich der Länge \(l\) kräftefrei bewegen kann, beobachtet man eine Quantisierung der Energie.

a)Berechne die möglichen Wellenlängen der zugeordneten De-BROGLIE-Wellen.

Zeige, dass nur die Energiestufen \[E_n = \frac{h^2}{8 \cdot m \cdot l^2} \cdot n^2   (n \in N)\] möglich sind. (7 BE)

Elektromagnetische Strahlung mit einem kontinuierlichen Spektrum trifft auf Einelektronensysteme der beschriebenen Art. Man beobachtet im Spektrum des durchgelassenen Lichts Absorptionslinien, deren langwelligste bei \(\lambda  = 1,0 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}}\) liegt.

b)Drücke für ein Elektron die Energiedifferenz \({E_2} - {E_1}\) zwischen dem ersten angeregten Zustand und dem Grundzustand aus.

Berechne die Länge \(l\). (6 BE)

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a)Innerhalb des Potentialtopfs bildet sich eine stehende Welle aus, die an den Rändern des Potenzialtopfs Knoten besitzt.

Für die Beziehung zwischen der de-BROGLIE-Wellenlänge und der Länge des Potenzialtopfs gilt (Abstand benachbarter Knoten ist stets \( \lambda/2 \)):\[l = n \cdot \frac{\lambda }{2} \Leftrightarrow \lambda = \frac{{2 \cdot l}}{n}\;;\; n \in \mathbb{N}\quad{\rm{(1)}}\]Unter der Verwendung der de-BROGLIE-Beziehung erhält man dann\[\lambda = \frac{h}{p}\; = \frac{h}{{m \cdot v}} \Leftrightarrow v = \frac{h}{{m \cdot \lambda }}\quad(2)\]Setzt man \((1)\) in \((2)\), so erhält man für die Geschwindigkeit\[ v = \frac{h}{m \cdot 2 \cdot l} \cdot n \]Für die Gesamtenergie \({E_{{\rm{ges}}}}\) ergibt sich dann\[{{E_{{\rm{ges}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} + {E_{{\rm{kin}}}} = 0 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\; \Rightarrow {E_{{\rm{ges}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\left( {\frac{h}{{m \cdot 2 \cdot l}} \cdot n} \right)}^2} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot m \cdot {l^2}}} \cdot {n^2}}\]

b)Der Übergang mit der geringsten Energiedifferenz ist der von \(n=1\) nach \(n=2\). Hierbei kommt es zur Entstehung der langwelligsten Absorptionslinie:\[\Delta {E_{{\rm{ges}},{\rm{2}} \to {\rm{1}}}} = {E_{{\rm{ges}}{\rm{, 2}}}} - {E_{{\rm{ges}}{\rm{, 1}}}} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot m \cdot {l^2}}} \cdot {2^2} - \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot m \cdot {l^2}}} \cdot {1^2} = \frac{{3 \cdot {h^2}}}{{8 \cdot m \cdot {l^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\Delta {E_{{\rm{ges}}, {\rm{2}} \to {\rm{1}}}} = \frac{{1,8 \cdot {{10}^{ - 37}}}}{{{l^2}}} {\rm{J}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}}\]Für die Energie des absorbierten Photons und schließlich für die Breite des Topfs gilt\[{h \cdot f = \Delta {E_{{\rm{ges}}, {\rm{2}} \to {\rm{1}}}} \Rightarrow \frac{{h \cdot c}}{\lambda } = \frac{{1,8 \cdot {{10}^{ - 37}}}}{{{l^2}}} {\rm{J}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}} \Rightarrow l = \sqrt {\frac{{\lambda \cdot 1,8 \cdot {{10}^{ - 37}}}}{{h \cdot c}} {\rm{J}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}} = 9,5 \cdot {{10}^{ - 10}} {\rm{m}}}\]