Direkt zum Inhalt

Grundwissen

Relativistische Masse und Impuls

Aufgaben Aufgaben

Mit dem Versuch von BUCHERER (Link am Ende dieses Artikels) kann nachgewiesen werden, dass die "dynamische" Masse von schnellen Teilchen mit der Geschwindigkeit zunimmt:\[ m_\rm{dyn} = m \left( v \right) \]

Versuchsergebnisse verschiedener Autoren mit schnelle Elektronen

Bezeichnet man mit m0 die Ruhemasse1 eines Teilchens, so lässt sich aus den Versuchen die folgende Beziehung für die dynamische Masse ableiten:

\[m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]

Dabei ist m(v): Geschwindigkeitsabhängige Masse (dynamische Masse), m0: Ruhemasse und v: Teilchengeschwindigkeit

1Die Ruhemasse m0 eines Teilchens wird von einem Beobachter festgestellt, der in Bezug auf das Teilchen in Ruhe ist und in einem Inertialsystem als ruhend beschrieben werden kann.

Die Beziehung für den Impuls p, für den Sie aus der klassischen Mechanik den Ausdruck p = m·v kennen, wird in der speziellen Relativitätstheorie beibehalten. Allerdings setzt man für die Masse die dynamische Masse ein.

\[p = m(v) \cdot v    \Rightarrow     p = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}} \cdot v\]

1Die Ruhemasse m0 eines Teilchens wird von einem Beobachter festgestellt, der in Bezug auf das Teilchen in Ruhe ist und sich in einem Inertialsystem befindet.

Herleitung

Wenn du daran interessiert bist, wie sich obige Beziehung aus den Einsteinschen Postulaten ableiten lässt (wir wählen dazu ein einfaches Beispiel), so kannst du dir diese Herleitung hier ansehen.

Für die Herleitung der relativistischen Massenformel wird der völlig inelastische, zentrale Stoß zweier gleichartiger Teilchen in verschiedenen Inertialsystemen S und S' betrachtet. Wir gehen dabei von den folgenden Postulaten aus:

  1. Die Masse der Teilchen ist geschwindigkeitsabhängig: \({m_{dyn}} = m\left( {\left| {\vec v} \right|} \right) = m\left( v \right)\)

  2. Für den Impuls p gilt, ähnlich wie in der klassischen Physik: \(\vec p = m\left( v \right) \cdot \vec v\)

  3. Die Erhaltung der Gesamtmasse (vgl. 1.) und des Gesamtimpulses (vgl. 2.) gilt in allen Inertialsystemen.

Abb. 2 Ansatz zur Herleitung der Formeln für relativistische Masse und relativistischen Impuls

Zunächst wird der inelastische, zentrale Stoß der beiden gleichartigen Teilchen in deren Schwerpunktssystem (S'-System) betrachtet. Das Endprodukt des Stoßes muss in diesem System ruhen.

Anschließend wird der Vorgang von einem System S aus betrachtet, von dem aus gesehen sich das System S' mit der Geschwindigkeit \(v\) nach rechts bewegt. Von diesem System S aus betrachtet hat der rechte Stoßpartner die Geschwindigkeit Null, das Endprodukt des Stoßes bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v\) nach rechts.

Für die Geschwindigkeit \(u\) des linken Teilchens im S-System erhält man mit der Formel für die relativistische Geschwindigkeitsaddition\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}}}\]Mit \({u' = v}\) ergibt sich\[u = \frac{{2 \cdot v}}{{1 + \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}\quad (5)\]

Aus den Gleichungen \((3)\) bis \((5)\) lässt sich die relativistische Massenformel gewinnen: Löst man \((3)\) nach \(M(v)\) auf und setzt in \((4)\) ein, so erhält man\[m(u) \cdot u = \left( {m(u) + {m_0}} \right) \cdot v \Rightarrow m(u) = \frac{{{m_0}}}{{\frac{u}{v} - 1}}\quad (6)\]

Wenn du auch an der algebraischen Herleitung von (6) interessiert bist, so kannst du dir diese Herleitung hier ebenfalls einblenden.

Mit Hilfe von (5) kann man den Nenner des Bruches bei (6) durch u allein ausdrücken. Es gilt \[\frac{u}{v} - 1 = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{u}{c}} \right)}^2}} \quad (7)\] Somit ergibt sich für die dynamische Masse ((7) in (6) einsetzen) \[m(u) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{u}{c}} \right)}^2}} }}\]

Aufgabe

Berechne, bei welcher Geschwindigkeit die dynamische Masse dreimal so groß wie die Ruhemasse ist.

Lösung

\[\begin{array}{l}m(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow 3 \cdot {m_0} = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow 3 = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\\\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  = \frac{1}{3} \Rightarrow 1 - {\left( {\frac{v}{c}} \right)^2} = \frac{1}{9} \Rightarrow {\left( {\frac{v}{c}} \right)^2} = 1 - \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{v}{c} = \sqrt {\frac{8}{9}} \\v \approx 0,94 \cdot c\end{array}\]
Bei einer Geschwindigkeit, die 94% der Lichtgeschwindigkeit beträgt, ist die dynamische Masse etwas dreimal so groß wie die Ruhemasse eines Körpers.

Aufgabe

Elektronen treten senkrecht zu den magnetischen Feldlinien in ein Magnetfeld (B = 6,0·10-2Vs/m2), wodurch die Teilchen auf einer Kreisbahn mit dem Radius r = 4,4cm geführt werden.

  1. Berechne den Impuls der Elektronen.

  2. Zeige, dass sich bei klassischer Rechnung für die Elektronen Überlichtgeschwindigkeit ergeben würde.

  3. Ermittle die Elektronengeschwindigkeit unter Berücksichtigung der relativistischen Massenzunahme.

Lösung

  1. Die Zentripetalkraft, welche für die Kreisbahn notwendig ist, wird durch die Lorentzkraft aufgebracht. Es gilt:
    \[\begin{array}{l}{F_{zentripet}} = {F_{lorentz}} \Rightarrow \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = e \cdot v \cdot B \Rightarrow m \cdot v = r \cdot e \cdot B \Rightarrow p = r \cdot e \cdot B\\p = 0,044 \cdot 1,60 \cdot 1{0^{ - 19}} \cdot 6,0 \cdot 1{0^{ - 2}}m \cdot A \cdot s \cdot \frac{{V \cdot s}}{{{m^2}}} \approx 4,2 \cdot {10^{ - 22}}Ns\end{array}\]

  2. Die klassische Rechnung mit einer geschwindigkeitsunabhängigen Masse würde für v ergeben:
    \[{m_0} \cdot v = p \Rightarrow v = \frac{p}{{{m_0}}} \Rightarrow v = \frac{{4,2 \cdot {{10}^{ - 22}}}}{{9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}}}\frac{{N \cdot s}}{{kg}} \approx 4,6 \cdot {10^8}\frac{m}{s} > c\]

  3. Unter Berücksichtigung der relativistischen Massenformel ergibt sich:
    \[\begin{array}{l}\frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot v = p \Rightarrow {m_0} \cdot v = p \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  \Rightarrow m_0^2 \cdot {v^2} = {p^2} \cdot \left( {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \right)\\m_0^2 \cdot {v^2} = {p^2} - {p^2} \cdot {\left( {\frac{v}{c}} \right)^2} \Rightarrow {v^2} \cdot \left( {m_0^2 + {{\left( {\frac{p}{c}} \right)}^2}} \right) = {p^2} \Rightarrow v = \frac{p}{{\sqrt {m_0^2 + {{\left( {\frac{p}{c}} \right)}^2}} }}\\v = \frac{{4,2 \cdot {{10}^{ - 22}}}}{{\sqrt {{{\left( {9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4,2 \cdot {{10}^{ - 22}}}}{{3,0 \cdot {{10}^8}}}} \right)}^2}} }}\frac{{N \cdot s}}{{kg}}  \Rightarrow  v \approx \frac{{4,2 \cdot {{10}^{ - 22}}}}{{1,67 \cdot {{10}^{ - 30}}}}\frac{m}{s} = 2,5 \cdot {10^8}\frac{m}{s} < c\end{array}\]