Spezielle Relativitätstheorie

Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

  • Warum vergrößert sich die Masse bewegter Körper?
  • Was versteht man unter der Ruheenergie eines Körpers?
  • Wie kommt Einstein zu seiner berühmten Formel E=mc2?
Alfred BUCHERER (1863 - 1927); von Alfred Bucherer [Public domain], via Wikimedia Commons
Walter KAUFMANN (1871 - 1947); von Walter Kaufmann [Public domain], via Wikimedia Commons

Alfred BUCHERER (1863 - 1927) entwickelte im Jahre 1909 - aufbauend auf den Experimenten von Walter KAUFMANN (1871 - 1947) - ein Experiment, das die sehr genaue Messung der spezifischen Ladung von Elektronen gestattete.

In das Zentrum eines Plattenkondensators (Durchmesser \(8{,}00\,\rm{cm}\); Plattenabstand \(0{,}25\,\rm{mm}\)) wird ein radioaktives Präparat P (ß--Strahler mit kontinuierlichem Geschwindigkeitsspektrum) gebracht. Neben dem elektrischen Feld des Kondensators herrscht noch ein zu diesem senkrechtes homogenes Magnetfeld. Diese Anordnung wirkt als Geschwindigkeitsfilter, welches die Geschwindigkeit der austretenden, im Kondensator nicht abgelenkten Elektronen festlegt.

Dann treten die ß--Teilchen in einen Raum, in dem nur noch das homogene Magnetfeld wirkt. Hier durchlaufen die Teilchen den Teil einer Kreisbahn.

Für die Teilchen, welche das Geschwindigkeitsfilter unabgelenkt durchlaufen, gilt\[ v = \frac{E}{B} \]Aus der magnetischen Flussdichte \(B\), der Geschwindigkeit \(v\) und dem Radius \(r\) der Kreisbahn lässt sich die spezifische Ladung der Teilchen berechnen:\[ \frac{e}{m} = \frac{v}{B \cdot r} \]In der folgenden Animation ist die Funktionsweise des Geschwindigkeitsfilters und die Anordnung des Versuchs von BUCHERER dargestellt.

1 Aufbau des Versuchs von BUCHERER zur Bestimmung der spezifischen Ladung \(\frac{e}{m}\) von Elektronen, bestehend aus WIEN'schem Geschwindigkeitsfilter und Ablenkvorrichtung durch ein Magnetfeld

Versuchsergebnis:
Die spezifische Ladung e/m nimmt mit steigender Geschwindigkeit ab. Da die Ladung der Elektronen nicht von der Geschwindigkeit abhängt (vergleiche Versuch von Möllenstedt), folgt daraus, dass die Elektronenmasse mit steigender Geschwindigkeit zunimmt.

Das folgende Diagramm stellt die experimentell gefundene Abhängigkeit der Elektronenmasse von der Geschwindigkeit dar. Die Masse m0 ist dabei die Masse des Elektrons bei v = 0 (Ruhemasse). Die durchgezogene Kurve stellt die von Einstein theoretisch vorhergesagte Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse dar.

Die gute Übereinstimmung der theoretisch berechneten Kurve und den experimentell gewonnenen Werten stellt eine Bestätigung für die von Einstein gewonnene Formel für die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse dar.

Einsteins Formel für die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse

\[ m(v) = \frac{m_0}{ \sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 }} \]

Sehr genaue Untersuchungen über den Zerfall von schnellen Myonen wurden 1975 bei CERN in der Nähe von Genf angestellt:

Pionen (Elementarteilchen, die mit Hilfe von Protonen erzeugt wurden), zerfallen in sehr kurzer Zeit in Myonen.

Hier die Gleichungen für den Zerfall von negativen Pionen und negativen Myonen:

\[ \begin{array}{} \pi^- \quad \rightarrow \quad \mu^- + \overline{\nu}_{\mu} \\
\mu^- \quad \rightarrow e^- + \nu_{\mu} + \overline{\nu}_e  \end{array} \]

iBei CERN wurden die Myonen, die nahezu Lichtgeschwindigkeit haben (0,99942·c) in einem Speicherring auf Kreisbahnen gehalten und der Zerfall der Myonen mit Hilfe von Elektronendetektoren (Myonen zerfallen in Elektronen und verschiedene Neutrinosorten) beobachtet.

 

Die nebenstehende Abbildung zeigt den prinzipiellen Aufbau des Speicherrings, der einen Durchmesser von ca. 14 m hatte:

Die Myonen laufen in einer kreisförmigen Vakuumröhre. Damit sich die geladenen Myonen auf Kreisbahnen bewegen sind insgesamt 40 Ablenkmagnete (rot) um die Vakuumröhre angeordnet.
Im Innenraum befinden sich Detektoren (blau), welche die Elektronen, die beim Myonenzerfall entstehen, nachweisen können.

Die im Speicherring kreisenden Myonen zerfielen aufgrund der Zeitdilatation (die Myonen können als bewegte Uhren aufgefasst werden) mit einer Halbwertszeit von 44,6 μs (vgl. grüne Kurve in dem Diagramm links). Dies ist eine deutlich längere Zeit als die Halbwertszeit von 1,52 μs die man für langsame Myonen feststellt. Bei der Messung der Halbwertszeit der schnellen Myonen konnte man den Messfehler unter 1% halten.

Der Versuch stellt eine sehr genaue experimentelle Bestätigung der von Einstein theoretisch vorhergesagten Zeitdilatation dar:

\[ T_{1/2} = T_{1/2}' \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 } \\
T_{1/2} = 44,6 \cdot \sqrt{1 - 0,99942^2} \mathrm{\mu s} \approx 1,52 \mathrm{\mu s} \]

Bereits seit Beginn des 19. Jahrhunderts wusste man, dass Licht sich wie Wellen ausbreitet. Alle anderen bekannten Wellen (Wasserwellen, Druckwellen, Schallwellen) waren an ein Medium gebunden. Daher nahm man an, dass auch das Licht an irgendeine Form von Medium gebunden war, das offensichtlich unsichtbar war. Dieses Medium wurde Lichtäther genannt. Es wurde angenommen, dass sich der Äther selbst in absoluter Ruhe befindet und sich jeder Körper, also auch die Erde, mit einer bestimmten Geschwindigkeit relativ dazu bewegt. Dass sich die Erde gegenüber dem Lichtäther bewegt und nicht der Lichtäther mit der Erde ganz oder teilweise mittransportiert wurde erkannte man aus der Aberration der Sterne:

Abbildung 1: Auch einen Regenauffänger muss man bei schnellem Lauf vorhalten.

Da sich die Erde auf ihrer Bahn mit \(3 \cdot {10^4}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) bewegt, das Licht eine Geschwindigkeit von \(3 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) hat, muss der Astronom beim Beobachten von Sternen das Fernrohr in Richtung des scheinbaren Sternlichtes ausrichten. Diesen Aberrationswinkel muss der Astronom dem Verlauf der Erdumlaufbahn entsprechend im Laufe eines Jahres anpassen, was zeigt, dass die Lichtrichtung von der Erdgeschwindigkeit abhängig ist.

Auf Grund des Geschwindigkeitsvektordiagramms ergibt sich für ein senkrecht zur Erbahn einfallendes Sternenlicht der größtmögliche Aberrationswinkel (Aberrationskonstante) durch \[{\alpha _{{\rm{max}}}} = \frac{{{v_{{\rm{Erde}}}}}}{c} \Rightarrow {\alpha _{{\rm{max}}}} = 20,48''\]

Abbildung 3: Eine Zeichnung der Originalanordnung.
Abbildung 2: Modernes Interferometer.

Die beiden Physiker Albert Abraham MICHELSON und Edward Williams MORLEY wollten 1887 die Geschwindigkeit der Erde in diesem Äther mit Hilfe von Lichtstrahlen bestimmen. MICHELSON und MORLEY nahmen an, dass die Geschwindigkeit eines Lichtsignals wie am Beispiel der Laufzeitänderung durch Wind (siehe Link am Ende des Artikels) von der Bewegung und der Bewegungsrichtung durch den Äther abhängt. Dafür bauten sie ein äußerst genaues Messinstrument, ein so genanntes Interferometer. Die Idee dahinter: Die Geschwindigkeit des Lichtes wird in zwei verschiedene Richtungen gemessen, einmal in Bewegungsrichtung der Erde und einmal senkrecht dazu und miteinander verglichen. Das Licht, das sich in Richtung der Erdbewegung hin und zurück bewegt, müsste langsamer sein, als das, das senkrecht dazu bewegt wird.

MICHELSON und MORLEY ließen die Lichtstrahlen - um einen längeren Weg zu haben - mehrfach hin und her reflektieren, bis beide Lichtstrahlen vereint in ein Mikroskop zur Beobachtung trafen. Sie bauten ihre Messanordnung auf eine Steinplatte, die auf einem Quecksilbersee schwamm. Auf diese Weise konnten sie die Anordnung erschütterungsfrei drehen und so die Bewegungsrichtung der Erde bezüglich des Experiments verändern.

4 Prinzipieller Aufbau und Beobachtung des MICHELSON-MORLEY-Experiments: Unabhängig von der Lage des Interferometers zur Bewegungsrichtung der Erde tritt keine Interferenz auf

Animation des Versuchs von MICHELSON und MORLEY

 

Ein Lichtstrahl wird im halbdurchlässigen Spiegel geteilt. Die beiden Teil-Lichtstrahlen bewegen sich gleich lange Strecken zu ihren Endspiegeln und zurück und vereinigen sich dann wieder. Sind die Zeiten dabei völlig gleich, kommt es zu konstruktiver Überlagerung mit dem entsprechenden Interferenzmuster für konstruktive Überlagerung. Sind die beiden Zeiten unterschiedlich, so ändert sich das Interferenzmuster.

Doch so sorgfältig die beiden Forscher ihre Messungen auch ausführten, sie konnten keinen Unterschied in der Geschwindigkeit feststellen. Die Lichtgeschwindigkeit blieb konstant.

Folgerungen aus dem Versuch von MICHELSON und MORLEY

Das Nullergebnis des Michelson-Morley-Versuchs, des berühmtesten Versuchs mit negativem Versuchsergebnis, kann zu folgenden Hypothesen führen:

Die Erde ruht im "Lichtäther"

Auf der Erde ist kein Ätherwind messbar, weil die Erde im Ätherwind ruht. Gegen diese Annahme spricht einerseits, dass die Erde keine einzigartige Stellung im Kosmos hat, was bereits zu Zeiten GALILEIs einen Glaubenskrieg auslöste, und andererseits die Aberration der Gestirne.

Der Äther wird von Körpern endlicher Masse mitgeführt

Diese Hypothese ist durch den Versuch von FIZEAU widerlegt. Dabei wird die Lichtgeschwindigkeit in strömenden Flüssigkeiten gemessen. Es zeigt sich (vom Ätherstandpunkt beschrieben), dass die Körper zwar den Äther mitführen, aber nur unvollständig, und um so besser, je größer ihre Brechzahl ist. Luft mit der Brechzahl bei 1 bringt demnach keine merkliche Mitführung zustande.

Kontraktionshypothese (FITZGERALD und LORENTZ 1892)

Körper werden in ihrer Bewegungsrichtung durch den Äther gerade so verkürzt, dass keine messbaren Laufzeitunterschiede zustande kommen. Der Ätherwind ist nach dieser Theorie zwar vorhanden, kann aber nicht gemessen werden. Diese Verkürzung in "Ätherwindrichtung" darf nicht mit der Längenkontraktion auf Grund der Lorentztransformation verwechselt werden.

Es gibt keinen Äther

Diese einfachste Theorie liegt im Grunde den EINSTEIN'schen Postulaten zu Grunde, die lauten:

Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen (Bezugssystemen, die sich gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen) gleich.

Alle Inertialsysteme sind bezüglich der Gültigkeit der physikalischen Gesetze gleichberechtigt.

Beachte hierzu auch den Auszug aus der Originalarbeit von EINSTEIN: Zur Elektrodynamik bewegter Körper

Wenn du daran interessiert bist, so kannst du hier die gesamte Originalarbeit von EINSTEIN (1905) (keine leichte Kost, aber in deutscher Sprache) oder aber hier die Originalarbeit von MICHELSON (1887) (in englischer Sprache) ansehen.

Neueste Forschungen

Der Michelson-Versuch wird heute mit modernsten Mitteln wiederholt. Er ist inzwischen so klein, dass man ihn in eine Weltraumsonde packen könnte. Noch wird er aber auf der Erde durchgeführt und verwendet als Vergleichsgeschwindigkeiten die ihre Richtung in 12 Stunden umkehrende Rotationsgeschwindigkeit und die in 6 Monaten sich umkehrende Bahngeschwindigkeit der Erde.

Der Versuch wird von der Experimentalphysik der Uni Düsseldorf durchgeführt, von deren Website auch die Bilder stammen. Statt der Spiegelanordnung verwendet man auf 4 Kelvin in einem Cryostaten heruntergekühlte optische Resonatoren (Core 1 und Core 2) (siehe Bilder unten) in denen die Laserstrahlen hin- und herschwingen.

 
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
©  W. Fendt 1997
1 Zeitdilatation: die Uhr in einem Raumschiff geht langsamer als synchronisierte Uhren in einem ruhenden System

Ein Raumschiff fliegt eine Strecke von 5 Lichtstunden, zum Beispiel von der Erde zum Pluto. Die Fluggeschwindigkeit kann mit den oberen Schaltknöpfen eingestellt werden. Die Simualtion demonstriert, dass die Uhr im Raumschiff langsamer geht als die beiden Uhren des Systems, in dem Erde und Pluto unbewegt sind.

Dem Applet liegt die Formel\[t' = t \cdot \sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \]mit \(t'\): von der Raumschiffuhr angezeigte Zeit, \(t\): von den Uhren des Erde-Pluto-Systems angezeigte Zeit, \(v\): Geschwindigkeit des Raumschiffs relativ zum Erde-Pluto-System, \(c\): Lichtgeschwindigkeit zugrunde.

Bemerkungen

Vereinfachend wurde ein Inertialsystem angenommen, in dem Erde und Pluto unbewegt sind; insbesondere wurde die Bewegung um die Sonne vernachlässigt.

Nach einem wichtigen Ergebnis der Relativitätstheorie würde für einen Beobachter im Erde-Pluto-System das Raumschiff in Bewegungsrichtung verkürzt erscheinen. Diese so genannte LORENTZ-Kontraktion wurde nicht berücksichtigt, um das Ablesen der Raumschiffuhr zu ermöglichen.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Karlheinz Meier von der Universität Heidelberg stellt leicht verständliche Videos zum Physikunterricht zur Verfügung. In anderthalb Minuten wird gut fassbar in das Prinzip einer technischen Erfindung eingeführt oder ein physikalisches Phänomen vorgestellt.

In diesem Video erläutert Karlheinz Meier die wohl berühmteste aller physikalischer Formeln \(E = m \cdot {c^2}\) und ihre Bedeutung für die Funktion von Kernkraftwerken.

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Karlheinz Meier von der Universität Heidelberg stellt leicht verständliche Videos zum Physikunterricht zur Verfügung. In anderthalb Minuten wird gut fassbar in das Prinzip einer technischen Erfindung eingeführt oder ein physikalisches Phänomen vorgestellt.

In diesem Video fährt Karlheinz Meier mit dem ICE von Mannheim nach Bonn und zurück und erklärt dabei das Grundprinzip der Speziellen Relativitätstheorie.

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