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Grundwissen

Formeln Dynamik

 
Teilchen mit Ruhemasse verschieden von Null
Teilchen mit Ruhemasse Null (Photonen)
Masse
\[m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]
\[m = \frac{E}{c^2}    \Rightarrow      m = \frac{h \cdot f}{c^2}\]
Energie
Gesamtenergie
\[E = m \cdot c^2      \Rightarrow     E = \frac{m_0 \cdot c^2}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]
\[E = h \cdot f\]
Ruheenergie
\[E_0 = m_0 \cdot c^2\]
- - -
Kinetische Energie
\[E_{kin} = E - E_0\]
- - -
Impuls
\[p = m(v) \cdot v  =\frac{m_0 \cdot v}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]
\[p = m \cdot c  = \frac{h \cdot f}{c}  = \frac{h}{\lambda}\]
Energie-Impuls-Beziehung
\[E^2 = E_0^2  + (p \cdot c)^2\]
\[E = p \cdot c\]

Hinweise:

  • Die Formel für die relativistisch korrekte Berechnung der kinetischen Energie geht in die klassische Formel durch die folgende Näherung über:

    \[ E_{kin} = \left( \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0 \right) \cdot c^2 \qquad \text{mit } k = \frac{v^2}{c^2} \text{ gilt:} \qquad E_{kin} = \left( \frac{1}{\sqrt{1-k}} - 1 \right) \cdot m_o \cdot c^2 \]

    Aus der Mathematik ist für k << 1 (d.h. v << c) die folgende Näherung bekannt: \( \frac{1}{\sqrt{1-k}} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot k \) . Mit dieser Näherung ergibt sich:

    \[ E_{kin} = \left( 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{c^2} -1 \right) \cdot m_0 \cdot c^2 = \frac{1}{2} \cdot m_0 \cdot v^2 \]

  • Um relativistisch korrekt zu rechnen, reicht es nicht in der klassischen Formel für die kinetische Energie nur die Masse durch die geschwindigkeitsabhängige Masse zu ersetzen. Diese Vorgehensweise ist jedoch beim Impuls möglich.
  • Die relativistisch korrekte Energie-Impuls-Beziehung \(E^2 = E_0^2 + (p \cdot c)^2\) kann man sich über das untenstehend skizzierte Dreieck - auf welches der Satz des Pythagoras angewandt wird - einprägen.

  • Die Energie-Impuls-Beziehung für materielle Teilchen \(E^2 = E_0^2 + (p \cdot c)^2\) geht durch Nullsetzen der Ruheenergie in die Energie-Impuls-Beziehung für Photonen über.