Spezielle Relativitätstheorie

Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

  • Warum vergrößert sich die Masse bewegter Körper?
  • Was versteht man unter der Ruheenergie eines Körpers?
  • Wie kommt Einstein zu seiner berühmten Formel E=mc2?

Äquivalenz Energie - Masse

Aus dem Jahre 1946 stammt ein (handgeschriebener) Aufsatz von Albert Einstein in dem in allgemein verständlicher Form die Aussage der Formel E = m·c2 erläutert wird.

In der vor-relativistischen Physik gab es zwei voneinander unabhängige Erhaltungs- bzw. Bilanzgesetze, die strenge Gültigkeit beanspruchten, nämlich

1) den Satz von der Erhaltung der Energie,

2) den Satz von der Erhaltung der Masse.

Der Satz von der Erhaltung der Energie, welcher schon im 17. Jahrhundert von Leibnitz in seiner vollen Allgemeinheit als gültig verwendet wurde, entwickelte sich im 19. Jahrhundert wesentlich als eine Folge eines Satzes der Mechanik.
 



Man betrachte ein Pendel, dessen Masse zwischen den Punkten A und B hin und her schwingt. In A (und B) verschwindet die Geschwindigkeit v, und die Masse m steht um h höher als im tiefsten Punkte C der Bahn. In C ist diese Hubhöhe verloren gegangen, dafür aber hat die Masse hier eine Geschwindigkeit v. Es ist, wie wenn sich Hubhöhe in Geschwindigkeit und umgekehrt restlos verwandeln könnten. Die exakte Beziehung ist

\[m \cdot g \cdot h = m \cdot \frac{{{v^2}}}{2}\]
 

wobei g die Beschleunigung der Erdschwere bedeutet. Das Interessante dabei ist, dass diese Beziehung unabhängig ist von der Länge des Pendels und überhaupt von der Form der Bahn in welcher die Masse geführt wird. Interpretation: Es gibt ein Etwas (nämlich die Energie), das während des Vorgangs erhalten bleibt.

In A ist die Energie eine Energie der Lage oder „potentielle Energie“, in C eine Energie der Bewegung oder „kinetische Energie“. Wenn diese Auffassung das Wesen der Sache richtig erfasst, so muss die Summe

\[m \cdot g \cdot h + m \cdot \frac{{{v^2}}}{2}\]
 

auch für alle Zwischenlagen denselben Wert haben, wenn man mit h die Höhe über C und mit v die Geschwindigkeit in einem beliebigen Punkte der Bahn bezeichnet. Dies verhält sich in der Tat so. Die Verallgemeinerung dieses Satzes gibt den Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie. Wie aber, wenn das Pendel schliesslich durch Reibung zur Ruhe gekommen ist? Davon später.

 

aus Einstein Archives online

Beim Studium der Wärme-Leitung war man zu richtigen Ergebnissen gekommen unter Zugrundelegung der Annahme, dass die Wärme ein unzerstörbarer Stoff sei, der vom wärmeren zum kälteren Stoff fliesst. Es schien einen "Satz von der Erhaltung der Wärme" zu geben. Andererseits aber waren seit undenklichen Zeiten Erfahrungen bekannt, nach denen durch Reibung Wärme erzeugt wird (Feuerzeug der Indianer). Nachdem sich die Physiker lange dagegen gesträubt hatten, eine solche Erzeugung von "Wärme" zuzugeben, gelang es schliesslich zu zeigen, dass zur Erzeugung einer Wärmemenge durch Reibung immer ein genau proportionaler Betrag von mechanischer Energie aufgewendet werden muss. So z.B. beim Pendel, dessen mechanische Energie durch Reibung allmählich in Wärme übergeht. Dadurch wurden die Sätze von der Erhaltung der mechanischen und der thermischen Energie zu einem einzigen Satz verschmolzen. Hier angelangt drängte sich den Physikern die Überzeugung auf, dass dies Erhaltungsgesetz auch auf die chemischen und elektromagnetischen Vorgänge auszudehnen sei, welche Vermutung sich bisher auf allen Gebieten mit Erfolg durchführen liess: In einem von der Aussenwelt abgeschlossenen physikalischen System gibt es eine Summe von Energien, welche bei allen auftretenden Veränderungen konstant bleibt.

Nun zum Satz von der Erhaltung der Masse. Die Masse ist definiert durch den Widerstand, den ein Körper seiner Beschleunigung entgegensetzt (träge Masse). Sie wird auch gemessen durch das Gewicht des Körpers (schwere Masse). Dass diese zwei so verschiedenen Definitionen zu derselben Masszahl für die Masse eines Körpers führen, ist eine an sich höchst verwunderliche Tatsache, deren tiefere Bedeutung erst durch die allgemeine Relativitätstheorie aufgeklärt wurde. Der Satz (zur Erhaltung der Masse) lautet: Die Massen bleiben bei irgend welchen physikalischen (und chemischen) Veränderungen ungeändert. Die Masse schien so die eigentlich wesentliche (weil invariante) Qualität der Materie zu sein. Bei Erwärmung, Schmelzen, Verdampfen, Auflösen, beim Eingehen chemischer Verbindungen ändert sich die Masse (bzw. die Gesamtmasse) nicht.

Dieser Erhaltungssatz der Masse, dem die Physik bis vor einigen Jahrzehnten exakte Gültigkeit zugeschrieben hat, wurde durch die spezielle Relativitätstheorie als unzureichend erkannt. Er wurde durch diese Theorie mit dem Energieprinzip in einer ähnlichen Weise zu einer Einheit verschmolzen wie etwa 60 Jahre früher der Erhaltungssatz der mechanischen Energie und der der Erhaltung der Wärmemenge miteinander verschmolzen wurden. Besser könnte man sagen: der Satz von der Erhaltung der Energie hat ehedem den der Erhaltung der Wärme und neuerdings den der Erhaltung der Masse geschluckt und hat so allein das Feld behauptet.

Den Satz von der Äquivalenz von Masse und Energie pflegt man (etwas ungenau) durch die Formel E = m·c2 auszudrücken, wobei c die Lichtgeschwindigkeit (3·1010 cm/s) bedeutet. E ist die Energie, welche in einem (ruhenden) Körper steckt, m seine Masse. Die Energie, die zu der Masse m gehört, ist gleich dieser Masse, multipliziert mit dem Quadrat der ungeheuer grossen Lichtgeschwindigkeit, also ein gewaltiger Betrag per Masseneinheit.

Nun mag man erstaunt fragen: Wie kommt es denn, dass man von dieser ungeheueren Energie, die in jedem Gramm Materie steckt, bisher so gar nicht bemerkt hat? Die Antwort ist einfach: solange von dieser Energie nichts nach aussen weggegeben wird, kann man ihr ihre Energie-Natur nicht anmerken. Es ist wie bei einem reichen Manne, der kein Geld ausgibt; wie soll man ihm seinen Reichtum anmerken?

Nun kann man auch die Beziehung umdrehen und sagen, dass mit einer Energiezunahme E eine Massenzunahme E/c2 verbunden sein muss. Energie kann ich aber der Masse leicht zuführen, z. B. indem ich sie um 10 Grad erwärme. Warum also nicht die damit verbundene Massenzunahme (bzw. Gewichtszunahme) messen? Das böse an diesem Geschäft ist, dass in der Massenzunahme der ungeheure Faktor c2 im Nenner auftritt. Dies bedeutet, dass die Massenzunahme in einem solchen Falle vie zu klein ist, um direkt z.B. mit Hilfe einer empfindlichen Waage gemessen zu werden.

Damit also eine Massenzunahme sich in messbarer Quantität zeige, muss die Änderung der Energie pro Masseneinheit ungeheuer gross sein. Wir kennen nur ein einziges Erscheinungsgebiet, in welchem ungeheuere Energieänderungen pro Masseneinheit frei werden, nämlich beim radioaktiven Zerfall. Schematisch ist ein solcher Vorgang von folgender Art. Ein Atom der Masse M spaltet sich in zwei Atome von der Masse M′ bzw. M′′, welche mit gewaltiger Energie auseinander fahren. Denkt man sich diese zwei Massen zur Ruhe gebracht, d.h. entzieht man ihnen diese kinetische Energie, so sind sie zusammen genommen wesentlich energie-ärmer, als das ursprüngliche Atom gewesen ist. Dies bewirkt nach dem Äquivalenz-Satz, dass auch die Massensumme M’ + M’’ der Zerfallsprodukte etwas kleiner sein muss als die ursprüngliche Masse M des radioaktiv zerfallenden Atoms (ein Widerspruch mit dem alten Erhaltungssatz der Masse). Der relative Unterschied beider erreicht die Grössenordnung eine zehntel Prozent.

Nun kann man zwar die Atom nicht einzeln wiegen. Aber es gibt empfindliche indirekte Methoden zur genauen Messung des Atomgewichtes auf die wir hier nicht näher einzugehen brauchen. Ebenso kann man durch indirekte Methoden die kinetischen Energien bestimmen, welche beim Zerfall auf die Zerfallsprodukte M’ und M’’ übertragen werden. So ist es möglich gewesen, die Äquivalenz-Formel zu prüfen und zu festigen. Auch erlaubt das Gesetz aus genau bestimmten Atomgewichten vorauszuberechnen, wie viel Energie bei einem ins Auge gefassten Atomzerfall frei wird. Das Gesetz sagt aber natürlich nichts darüber aus, ob und wie eine ins Auge gefasst Zerfall-Reaktion herbeigeführt werden kann.

Was bei dem radioaktiven Zerfall mit der Masse bzw. Energie des Atoms M geschieht, lässt sich an dem oben erwähnten reichen Manne so illustrieren. M ist ein reicher Geizhals, der zu seinen Lebzeiten überhaupt kein Geld (Energie) ausgab. Im Falle seines Todes hinterlässt er alles seinen Söhnen M′ und M′′ jedoch mit der Verpflichtung einen ganz geringen Betrag, nämlich weniger als ein Promille der Riesenerbschaft (Energie bzw. Masse) an die Gemeinde abzugeben. Die Söhne haben dann zusammen genommen etwas weniger als der Vater besessen hatte (die Massensumme M′ + M′′ ist etwas kleiner als die Masse M des radioaktiven Atoms). Der prozentisch so geringe Anteil, der an die Gemeinde abgeliefert wird, ist jedoch (in seiner Äusserungsform als kinetische Energie betrachtet) so ungeheuer gross, dass er das ganze Unheil mit sich bringt, das abzuwenden das dringendste Problem unserer Zeit geworden ist.

 

MINKOWSKI-Diagramme

1 Prinzipieller Aufbau von MINKOWSKI-Diagrammen

Die im Folgenden behandelten Minkowski-Diagramme gestatten eine anschauliche Darstellung von Phänomenen der speziellen Relativitätstheorie. So können z.B. die Aussagen der Zeitdilatation und der Längenkontraktion auf einfache Weise veranschaulicht werden. Klicke auf Vorwärts und lass dir das Minkowski-Diagramm erkären. Die weiteren Herleitungen findet man in unten angeführten Links.

Geschwindigkeitsaddition

Die Addition von Geschwindigkeiten wurde schon auf der einführenden Seite zur Relativitätstheorie angesprochen. Dort hast du erfahren, dass die Berechnung der Geschwindigkeit nach dem GALILEI'schen Relativitätsprinzip in der SRT keine Gültigkeit mehr hat, was auf das Postulat der "Konstanz der Lichtgeschwindigkeit" in allen Bezugssystem zurückzuführen ist. Dort wurde dir auch die relativistisch korrekte Formel für die Geschwindigkeitsaddition mitgeteilt.

In dem Kapitel über die Minkowski-Diagramme hast du erfahren, wie man mit Hilfe der LORENTZ-Transformation zu dieser Formel gelangen kann. Allerdings setzte die Herleitung voraus, dass du die gesamten vorangegangenen Seiten zu den MINKOWSKI-Diagrammen durchgearbeitet hast.

Auf dieser Seite soll - nur für besonders Interessierte, die wissen wollen woher die Formeln kommen mit denen man im Unterricht rechnet - gezeigt werden, wie man zur Formel für die relativistische Geschwindigkeitsaddition gelangen kann, wenn man die Beziehungen für die Zeitdilatation und die Längenkontraktion beherrscht und etwas Ausdauer bei algebraischen Umformungen hat. Dabei folgen wir einem von Franz Embacher (Uni Wien) vorgeschlagenen Weg, den wir nur etwas an die hier verwendeten Variablennamen anpassen.

Es wird die eindimensionale Bewegung einer Kugel K einmal von einem System S (stellen dir S als fest mit dem Bahnsteig verbunden vor) und einmal von einem System S' (stellen dir S' z.B. fest mit einem schnell fahrenden Zug vor) aus betrachtet. Das System S' bewege sich mit der Geschwindigkeit \(v\) gegenüber S. Alle Geschwindigkeiten sind in \(+x\)-Richtung oder \(-x\)-Richtung.

1 Geschwindigkeitsaddition, wie sie aus klassischer Sicht durchgeführt wird

Bezeichnungen

\(u\): Geschwindigkeit der Kugel im System S

\(v\): Geschwindigkeit des Systems S' in Bezug auf S

\(u'\): Geschwindigkeit der Kugel im System S'

Nach der klassischen Geschwindigkeitsaddition würde gelten\[u = v+u'\]Dies hätte aber zur Konsequenz, dass sich ein mit \(u'=c\) im System S' bewegendes Lichtquant im System S Überlichtgeschwindigkeit aufweisen würde, was ein Widerspruch zum Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen wäre.

Ziel der folgenden Überlegungen ist es, einen relativistisch korrekten Zusammenhang zwischen den drei Geschwindigkeiten herzuleiten. Ist z.B. \(v\) und \(u'\) bekannt, so soll die gesuchte Formel einen Ausdruck für \(u = u(v, u')\) liefern.

2 Messung der Zeitspanne \(\Delta t\) zwischen den Ereignissen \(E_1\) und \(E_2\) im ruhenden System

Im System S ruhe ein Maßstab der Länge \(\Delta x\) an dem sich die Kugel vorbei bewegt. Im weiteren werden zwei Ereignisse betrachtet:

\(E_{1}\): Die Kugel bewegt sich gerade am Anfang des Maßstabs vorbei.

\(E_{2}\): Die Kugel bewegt sich gerade am Ende des Maßstabs vorbei.

Die Zeit, welche im S-System zwischen diesen beiden Ereignissen verstreicht sei \(\Delta t\). Dann gilt im S-System\[\Delta x = u \cdot \Delta t\quad (1)\]Im Ruhesystem der Kugel stellt man aufgrund der Zeitdilatation für Zeitdifferenz der beiden Ereignisse \(E_{1}\) und \(E_{1}\) die Zeitspanne \(\Delta t_{\rm{K}}\) fest, für die gilt\[\Delta t_{\rm{K}} = \Delta t \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{u}{c}} \right)}^2}} \quad (2)\]

3 Messung der Zeitspanne \(\Delta t'\) zwischen den Ereignissen \(E_1\) und \(E_2\) im bewegten System

Nun soll der Vorgang vom System S' aus betrachtet werden:

Die Kugel bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(u'\) nach rechts.

Der Maßstab mit der Geschwindigkeit \(v\) nach links und dieser ist von S' aus betrachtet aufgrund der Längenkontraktion auf die Strecke \(\Delta x'\) verkürzt, für die gilt\[\Delta x' = \Delta x \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \quad (3)\]

Welche Zeit \(\Delta t'\) verstreicht nun zwischen den beiden Ereignissen \(E_{1}\) und \(E_{2}\) im System S'?

Es wird davon ausgegangen, dass das Ereignis \(E_{1}\) am Ort \(x'=0\) des S'-System stattfindet.

Nach der Zeit \(\Delta t'\) ist die Kugel dann am Ort \(u' \cdot \Delta t'\).

Das Ende des Maßstabs ist am Ort \(\Delta x' -  v \cdot \Delta t'\).

Damit das Ereignis \(E_{2}\) gegeben ist, müssen diese beiden Strecken gleich sein. Es gilt also \[u' \cdot \Delta t' = \Delta x' - v \cdot \Delta t' \Leftrightarrow u' \cdot \Delta t' + v \cdot \Delta t' = \Delta x' \Leftrightarrow \Delta t' = \frac{{\Delta x'}}{{u' + v}}\quad (4)\]Aufgrund der Zeitdilatation verstreicht im Ruhesystem der Kugel nur die Zeit \(\Delta t_{\rm{K}}\): \[\Delta {t_{\rm{K}}} = \Delta t' \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{u'}}{c}} \right)}^2}} \quad (5)\] Aus den Gleichungen \((1)\) - \((5)\) lässt sich nun die gesuchte Beziehung \(u = u(v,u')\)  herleiten. Es ergibt sich:

Geschwindigkeitsaddition in der Relativitätstheorie

\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}}}\]

Wenn du an der etwas länglichen algebraischen Herleitung der Formel interessiert bist, so kannst du dir diese Herleitung hier einblenden.

Verständnisaufgabe

Zeige, dass sich der rechte Ausdruck bei (9) nun solange umformen lässt, bis sich die Formel
\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}}}\]
für die relativistische Geschwindigkeitsaddition ergibt.

Lösung

Zu zeigen ist, dass sich die Gleichung
\[u = \frac{{\left( {u' + v} \right) \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{u}{c}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{u'}}{c}} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\quad (10)\]
in die Gleichung
\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}}}\]
überführen lässt. Quadriert man Gleichung (10) und formt um so gelangt man schließlich zum Ziel:
\[\begin{array}{l}{u^2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{{u'}}{c}} \right)}^2}} \right] \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \right] = {\left( {u' + v} \right)^2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{u}{c}} \right)}^2}} \right] \Rightarrow {u^2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{{u'}}{c}} \right)}^2}} \right] \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \right] = {\left( {u' + v} \right)^2} - {\left( {u' + v} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{u}{c}} \right)^2}\\{u^2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{{u'}}{c}} \right)}^2}} \right] \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \right] + {\left( {u' + v} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{u}{c}} \right)^2} = {\left( {u' + v} \right)^2} \Rightarrow \frac{{{u^2}}}{{{c^2}}} \cdot \left\{ {\frac{1}{{{c^2}}} \cdot \left( {{c^2} - u{'^2}} \right) \cdot \left( {{c^2} - {v^2}} \right) + {{\left( {u' + v} \right)}^2}} \right\} = {\left( {u' + v} \right)^2}\\\frac{{{u^2}}}{{{c^2}}} \cdot \left\{ {{c^2} - {v^2} - u{'^2} + \frac{{u{'^2} \cdot {v^2}}}{{{c^2}}} + u{'^2} + 2 \cdot u' \cdot v + {v^2}} \right\} = {\left( {u' + v} \right)^2} \Rightarrow \frac{{{u^2}}}{{{c^2}}} \cdot \left\{ {{c^2} + \frac{{u{'^2} \cdot {v^2}}}{{{c^2}}} + 2 \cdot u' \cdot v} \right\} = {\left( {u' + v} \right)^2}\\\quad \frac{{{u^2}}}{{{c^2}}} \cdot {\left\{ {c + \frac{{u' \cdot v}}{c}} \right\}^2} = {\left( {u' + v} \right)^2} \Rightarrow {u^2} \cdot {\left\{ {1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}} \right\}^2} = {\left( {u' + v} \right)^2} \Rightarrow {u^2} = \frac{{{{\left( {u' + v} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}} \right)}^2}}}\end{array}\]
Da diese Gleichung nur positive Lösungen besitzt, erhält man:
\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}}}\]

Bestimme mit Hilfe der oben gewonnenen Formel für den Fall \(u'=c\) (Photon im S'-System) und \(v\ll c\) die zugehörige Geschwindigkeit \(u\) im S-System.

Lösung

\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}}} = \frac{{c + v}}{{1 + \frac{{c \cdot v}}{{{c^2}}}}} = \frac{{c + v}}{{1 + \frac{v}{c}}} = c \cdot \frac{{1 + \frac{v}{c}}}{{1 + \frac{v}{c}}}\]
Für \({\frac{v}{c} \to 0}\) ergibt sich dann
\[u = c \cdot \frac{1}{1} = c\]

Zwillingsparadoxon

 

Von allen Paradoxa der Relativitätstheorie ist das sogenannte Uhren- oder Zwillingsparadoxon das berühmteste. Es handelt sich dabei um ein Gedankenexperiment, das bereits von Einstein (1911) formuliert wurde. Aufgrund der Zeitdilatation, d.h. der Aussage "bewegte Uhren gehen langsamer", wird behauptet: Verbleibt von zwei gleichartigen Uhren eine in einem Inertialsystem in Ruhe, während man die zweite auf eine Reise mitnimmt und an deren Ende schließlich wieder an den Ort der ersten zurückbringt, so wird die zweite Uhr gegenüber der ersten nachgehen. In der Zwillingsversion desselben Gedankenversuchs bedeutet das: Geht einer von zwei Zwillingen auf eine "Raumfahrt", so ist er nach seiner Rückkehr zur Erde jünger als sein zu Hause gebliebener Zwillingsbruder.


Zur Veranschaulichung betrachten wir ein einfaches Zahlenbeispiel, das von Darwin vorgeschlagen wurde:
An einem Neujahrstag verlässt Astronaut Max seinen Zwillingsbruder Sepp in einem Raumschiff, das mit v = 0,80·c fährt. Nach zehn Jahren, gemessen von der Erde aus, kehrt er um und fährt mit gleicher Geschwindigkeit zurück. Dort trifft er nach einer Gesamtreisezeit von zwanzig Jahren (Erdzeit) wieder ein.
Für die Borduhren hat die Hinreise wegen der Zeitdilatation jedoch nur
\[\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  \cdot 10\,\,Jahre = \sqrt {1 - {{\left( {0,80} \right)}^2}}  \cdot 10\,\,Jahre = 6\,\,Jahre\]
gedauert, ebenso wie die Rückreise (Beachten Sie: Der Effekt der Zeitdilatation ist von der Bewegungsrichtung unabhängig; die hergeleiteten Formeln gelten ebenso für negatives v). Max war also insgesamt nur 12 Jahre nach Bordzeit unterwegs. Nach der Rückkehr ist Max um 8 Jahre jünger als Sepp.

Der Zusammenhang zwischen den Zeitmessungen auf der Erde bzw. an Bord wird in einem Zeit-Ort-Diagramm noch deutlicher. Dabei wollen wir zusätzlich annehmen, dass die Brüder einander jeweils zum Neujahrstag (jeder nach seiner Uhr) per Funk Glückwünsche schicken.

Über die Zahl der Signale sind sich die Zwillinge einig:

  • Sepp, der Erdbewohner, sendet neunzehn und Max der Astronaut empfängt neunzehn Signale.
  • Max sendet elf und Sepp empfängt elf Signale.

Beide empfangen die Signale mit der jeweils korrekten Dopplerverschiebung (vgl. Minkowski-Diagramme).

Solange sich die Uhren voneinander fortbewegen, treffen die Signale in Zeitabständen

\[k(v) \cdot 1\,\,Jahr = \sqrt {\frac{{c + v}}{{c - v}}}  \cdot 1\,\,Jahr = \sqrt {\frac{{1,8 \cdot c}}{{0,2 \cdot c}}}  \cdot 1\,\,Jahr = 3\,\,Jahren\]

ein.

Sobald sich die Uhren einander nähern, ist die Empfangsperiode

\[k( - v) \cdot 1\,\,Jahr = \sqrt {\frac{{c - v}}{{c + v}}}  \cdot 1\,\,Jahr = \sqrt {\frac{{0,2 \cdot c}}{{1,8 \cdot c}}}  \cdot 1\,\,Jahr = \frac{1}{3}\,\,Jahr\]

 

Ergänzendes Material zum Thema bei Welt der Physik

Videos

Prof. Lesch (Sendereihe Alpha-Centauri des BR) über "Was ist Zeit?"

zum Video

Prof. Lesch (Sendereihe Alpha-Centauri des BR) über "Gleichzeitigkeit.

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Prof. Lesch (Sendereihe Alpha-Centauri des BR) über die Anwendung der berühmten Formel E = m·c2

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Auf Youtube finden Sie sehr viele Filme zur speziellen Relativitätstheorie von denen wir einige sehr empfehlenswert finden. Unter "Raum - Zeit findet man drei Filme von denen die ersten beiden zur speziellen Relativitätstheorie zu zählen sind.

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Prof. Lesch (Sendereihe Alpha-Centauri des BR) unternimmt eine relativistische Fahrradfahrt.

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Franz Embacher und Andrea Mayer bieten im Physiknet einen sehr schönen Lehrgang zur speziellen Relativitätstheorie mit zahlreichen Animationen.

zum Lehrgang

Prof. Lesch beschäftigt sich in dieser Sendung mit dem Thema: "Kann man mit Lichtgeschwindigkeit reisen?"

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"Was sind Myonen?" Diese Frage klärt Prof. Lesch in diesem Videoclip und geht dabei auf das Phänomen der Zeitdilatation ein.

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"Begriff des Lichtäthers" Diese Frage klärt Prof. Lesch in diesem Videoclip und geht dabei auf das Phänomen der Zeitdilatation ein.

zum Video

Video zur Allgemeinen Relativitätstheorie

Karlheinz Meier von der Universität Heidelberg stellt leicht verständliche Videos zum Physikunterricht zur Verfügung. In anderthalb Minuten wird gut fassbar in das Prinzip einer technischen Erfindung eingeführt oder ein physikalisches Phänomen vorgestellt.

In diesem Video erläutert Karlheinz Meier die Grundprinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie und insbesondere die Ablenkung von Licht durch Massen.

zum Video

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