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Grundwissen

Relativistische Energie

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die relativistische Gesamtenergie eines Körpers ist \(E(v)=m_{\rm{rel}}\cdot c^2=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\cdot c^2\)
  • Die Ruhenergie eines Körpers ist \(E_0=m_0\cdot c^2\)
  • Die kinetische Energie ist die Differenz der Gesamtenergie \(E(v)\) und der Ruheenergie \(E_0\), also \(E_{\rm{kin}}=\left( {\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} - {m_0}} \right) \cdot {c^2}\)
Aufgaben Aufgaben

Einstein stellte bereits 1905 die Theorie auf, dass die Masse eines Körpers ein Maß für seinen Energiegehalt ist, sich seine Masse also verändert, wenn sich seine Energie verändert. Prägnant wird dies in der bekannten Gleichung \(E=m\cdot c^2\) zu Ausdruck gebracht. Da die Masse relativistischen Effekten unterliegt, gilt das entsprechend auch für die Gesamtenergie.

Relativistische Gesamtenergie

Für die relativistische Gesamtenergie eines Körpers mit der Geschwindigkeit \(v\) gilt\[E(v)=m_{\rm{rel}}\cdot c^2=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\cdot c^2\]Dabei ist \(E\) die relativistische Gesamtenergie eines Körpers, \(m_{\rm{rel}}\) die von der Geschwindigkeit des Körpers abhängende relativistische Masse, \(m_0\) die Ruhemasse und \(c\) die Vakuumlichtgeschwindigkeit.

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Abb. 1 Relativistische Gesamtenergie eines Körpers der Masse \(m=1\,\rm{kg}\)

Über diese fundamentale Beziehung sind Masse und Energie miteinander verknüpft, man spricht auch von der Äquivalenz von Masse und Energie.

Eine tragfähige Herleitung dieser berühmten Formel setzt die Integralrechnung voraus, deshalb haben wir an dieser Stelle darauf verzichtet. In dem für einen breiten, interessierten Leserkreis geschriebenen Artikel (Link am Ende dieses Artikels) erläutert Einstein, wie durch obige Beziehung die Erhaltungssätze für Masse und Energie zu einem einzigen umfassenden Erhaltungssatz verschmelzen.

Ruheenergie

Aus der Äquivalenz von Masse und Energie folgt, dass auch ein massebehafteter Körper mit der Geschwindigkeit \(v=0\) eine Energie besitzt. Diese Energie bezeichnet man als Ruheenergie \(E_0\) und ergibt sich aus der obigen Beziehung.

Ruheenergie

Nach der obigen Beziehung ist auch einem Körper mit der Geschwindigkeit \(v=0\) eine Energie zuzuordnen, die man als Ruheenergie \(E_0\) bezeichnet:
\[E(v) = m(v) \cdot {c^2} \Rightarrow E(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2}\] Für \(v=0\) ergibt sich so die Ruhenergie \[E(0)={m_0} \cdot {c^2}=E_0\]

Kinetische Energie

Je schneller ein Körper bewegt wird, desto größer wird seine Gesamtenergie. Ursache für die Zunahme seiner Gesamtenergie ist natürlich die Zunahme seiner Geschwindigkeit. Aber wenn ein Körper schneller wird, nimmt auch seine relativistische Masse zu. Dieser  Effekt hat also ebenso Einfluss auf die kinetische Energie des Körpers. Rechnerisch ergibt sich die kinetische Energie aus der Differenz der Gesamtenergie und der Ruheenergie des Körpers.

Kinetische Energie

Die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers der Geschwindigkeit \(v\) ist die Differenz zwischen seiner Gesamtenergie \(E(v)\) und seiner Ruheenergie \(E_0\):\[{E_{\rm{kin}}} = E(v) - {E_0}\Leftrightarrow{E_{\rm{kin}}} = m(v) \cdot {c^2} - {m_0} \cdot {c^2}\] \[{E_{\rm{kin}}}=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\cdot c^2-m_0\cdot c^2\Leftrightarrow {E_{\rm{kin}}} = \left( {\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} - {m_0}} \right) \cdot {c^2}\]

Vertrauensbildende Maßnahme: Nichtrelativistische Näherung für die kinetische Energie

In der Mathematik kann man bei den Reihenentwicklungen lernen, dass für kleine \(x\), das heißt für \(x\ll 1\), gilt: \[\frac{1}{\sqrt{1 - x}}  \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot x\quad(1)\]Diese Näherung soll nun auf den relativistisch korrekten Ausdruck für die kinetische Energie angewandt werden, wobei \(x\) durch den Quotienten aus \(v\) und \(c\) ersetzt wird.
\[{E_{\rm{kin}}} = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2} - {m_0} \cdot {c^2}\]Durch Anwendung der Näherung \((1)\) folgt:\[{E_{\rm{kin}}} \approx {m_0} \cdot {c^2} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} \cdot {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \right) - {m_0} \cdot {c^2}\]Ausmultiplizieren und zusammenfassen führt dann zu\[{E_{\rm{kin}}} \approx \frac{1}{2} \cdot {m_0} \cdot {v^2}\]
Dies bedeutet, dass für \(\frac{v}{c} \ll 1\), also für Fälle in denen \(v \ll c\) ist, die Beziehung für die relativistisch korrekt berechnete kinetische Energie in die wohlvertraute Formel für die kinetische Energie in der klassischen Physik übergeht. Dies wird auch in Abb. 2 deutlich.

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Abb. 2 Kinetische Energie einer Masse von \(m=1\,\rm{kg}\) in relativistischer und klassischer Rechnung

Häufiger Fehler

Man könnte meinen bei der Berechnung der kinetischen Energie der Relativitätstheorie Genüge zu tun, wenn man in der klassischen Formel für die kinetische Energie \(E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) die Masse durch die geschwindigkeitsabhängige relativistische Masse \(m_{\rm{rel}}\) ersetzt. Leider kommt man damit aber nicht auf die obige, korrekte Beziehung für die kinetische Energie.

Aufgabe

Elektronen besitzen eine Ruhemasse von \(m_0=9{,}11\cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\), die Vakuumlichtgeschwindigkeit beträgt \(c=2{,}998\,\rm{\frac{m}{s}}\) und die Elementarladung \(1{,}602\cdot 10^{-19}\,\rm{C}\). Berechne die Ruheenergie von Elektronen in den Einheiten Joule und Megaelektronenvolt.

Lösung

Für die Ruheenergie gilt\[{E_0} = {m_0} \cdot {c^2}\]Einsetzen der bekannten Größen führt zu\[{E_0} = 9{,}11 \cdot {10^{ - 31}} \cdot {\left( {2{,}998 \cdot {{10}^8}} \right)^2}J \approx 8{,}19 \cdot {10^{ - 14}}\,\rm{J}\]Umrechnung in Elektronenvolt\[{E_0} = \frac{{8{,}19 \cdot {{10}^{ - 14}}}}{{1{,}602 \cdot {{10}^{ - 19}}}}\,\rm{eV} \approx 5{,}11 \cdot {10^5}\,\rm{eV} = 511\,\rm{keV}=0{,}511\,\rm{MeV}\]
Die Ruheenergie eines Elektrons beträgt ca. \(0{,}511\,\rm{MeV}\).

Bestimme die kinetische Energie von Elektronen in Elektronenvolt für folgende Werte von \(\frac{v}{c}\): \(0{,}300;\; 0{,}600;\; 0{,}800;\; 0{,}900;\; 0{,}950;\; 0{,}990\) und stelle \(\frac{v}{c}\) in Abhängigkeit von der kinetischen Energie in einem \(E_{\rm{kin}}\text{-}v\)-Diagramm dar.

Lösung

Für die kinetische Energie gilt:

kinetische Energie = Gesamtenergie - Ruheenergie

\[{E_{kin}} = E - {E_0} \Rightarrow {E_{kin}} = \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} - {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{kin}} = {m_0} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} - 1} \right)\]

 

v/c 0,300 0,600 0,800 0,900 0,950 0,990
Ekin in eV 2,47·104 1,27·105 3,41·105 6,61·105 1,13·106 3,11·106