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Grundwissen

Relativistische Energie

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Historisches: In seiner Arbeit aus dem Jahre 1905 stellt EINSTEIN in der Überschrift die Frage: "Ist die Trägheit (Anm.: Masse) eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?" Diese Arbeit können Sie kurz betrachten. Sie behandelt zunächst ein Spezialproblem, nämlich die Emission von Strahlung. Am Ende kommt jedoch EINSTEIN zu der folgenden Verallgemeinerung:

Hinweise

  • Hinter die von EINSTEIN benutzten Größen sind zu Ihrer leichteren Orientierung die heute üblichen Größen rot eingetragen.
  • Erg ist eine ältere, heute kaum noch benutzte Energieeinheit.
  • Die Lichtgeschwindigkeit wurde von EINSTEIN häufig in der Einheit cm/s angegeben.
  • Im unteren Abschnitt äußert sich EINSTEIN schon über ein Experiment mit Radiumsalzen (dies waren die zu seiner Zeit üblichen Stoffe die Strahlung aussandten und Kernreaktionen eingingen), dass zu einer Prüfung der Theorie dienen könnte.
  • In dem kurzen Ausschnitt von EINSTEINs Originalarbeit wird die Tatsache ausgedrückt, welche Sie in der Mittelstufe schon zur Berechnung von Bindungs- und Reaktionsenergien benutzt haben: \(\Delta E = \Delta m \cdot {c^2}\)

Die Überlegungen EINSTEINs führten schließlich dazu, dass er ein Proportionalität zwischen der dynamischen Masse \(m(v)\) und der relativistischen Gesamtenergie \(E\) herleiten konnte. Es gilt:

Relativistische Gesamtenergie

\[E = m(v) \cdot {c^2}\]

Dabei ist E: Relativistische Gesamtenergie eines Körpers, m(v): Dynamische Masse eines Körpers und c: Vakuumlichtgeschwindigkeit

Über diese fundamentale Beziehung sind Masse und Energie miteinander verknüpft, man spricht auch von der Äquivalenz von Masse und Energie. In dem für einen breiten, interessierten Leserkreis geschriebenen Artikel (Link am Ende dieses Artikels) erläutert Einstein, wie durch obige Beziehung die Erhaltungssätze für Masse und Energie zu einem einzigen umfassenden Erhaltungssatz verschmelzen. Eine tragfähige Herleitung dieser berühmten Formel setzt die Integralrechnung voraus, deshalb haben wir an dieser Stelle darauf verzichtet.

Ruheenergie

Nach der obigen Beziehung ist auch einem Körper mit der Geschwindigkeit Null eine Energie zuzuordnen, die man als Ruheenergie E0 bezeichnet:
\[E(v) = m(v) \cdot {c^2} \Rightarrow E(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2}\mathop  \rm{\;\;und\;für\;\;} v=0\;\;\; E(0) = {m_0} \cdot {c^2}\]
\[{E_0} = {m_0} \cdot {c^2}\]

Kinetische Energie

Je schneller ein Körper bewegt wird, desto größer ist seine dynamische Masse und damit seine Gesamtenergie. Die kinetische Energie des Körpers ist die Differenz zwischen dessen Gesamtenergie und Ruheenergie:
\[{E_{kin}} = E(v) - {E_0} \Rightarrow {E_{kin}} = m(v) \cdot {c^2} - {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{kin}} = \left( {m(v) - {m_0}} \right) \cdot {c^2}\]

Vertrauensbildende Maßnahme: Nichtrelativistische Näherung für die kinetische Energie

In der Mathematik kann man bei den Reihenentwicklungen lernen, dass für kleine x (d.h. x << 1) gilt: \(\frac{1}{\sqrt{1 - x}}  \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot x\). Diese Näherung soll nun auf den relativistisch korrekten Ausdruck für die kinetische Energie angewandt werden, wobei x durch den Quotienten aus v und c ersetzt wird.
\[{E_{kin}} = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2} - {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{kin}} \approx {m_0} \cdot {c^2} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} \cdot {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \right) - {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{kin}} \approx \frac{1}{2} \cdot {m_0} \cdot {v^2}\]
Dies bedeutet, dass für \(\frac{v}{c} \ll 1    \Rightarrow   v \ll c \) die Beziehung für die relativistisch korrekt berechnete kinetische Energie in die wohlvertraute Formel für die kinetische Energie in der klassischen Physik übergeht.

Hinweis auf einen häufigen Fehler

Manche Schüler meinen bei der Berechnung der kinetischen Energie der Relativitätstheorie Genüge zu tun, wenn sie in der klassischen Formel \(E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) die Masse durch die dynamische Masse m(v) ersetzen. Wie Sie leicht überprüfen können, kommt man damit nicht auf die obige, korrekte Beziehung für die kinetische Energie.

Aufgabe

Berechne für Elektronen (Ruhemasse m0 = 9,11 ·10-31kg) die Ruheenergie in eV.

Lösung

\[\begin{array}{l}{E_0} = {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_0} = 9,11 \cdot {10^{ - 31}} \cdot {\left( {3,00 \cdot {{10}^8}} \right)^2}J \approx 8,18 \cdot {10^{ - 14}}J\\{E_0} = \frac{{8,18 \cdot {{10}^{ - 14}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}}}eV \approx 5,11 \cdot {10^5}eV = 0,511MeV\end{array}\]
Die Ruheenergie eines Elektrons beträgt ca. 0,511MeV.

Bestimme die kinetische Energie von Elektronen (in eV) für folgende Werte von v/c: 0,300; 0,600; 0,800; 0,900; 0,950; 0,990. Stelle v in Abhängigkeit von der kinetischen Energie in einem Ekin-v-Diagramm dar.

Lösung

Für die kinetische Energie gilt:

kinetische Energie = Gesamtenergie - Ruheenergie

\[{E_{kin}} = E - {E_0} \Rightarrow {E_{kin}} = \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} - {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{kin}} = {m_0} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} - 1} \right)\]

 

v/c 0,300 0,600 0,800 0,900 0,950 0,990
Ekin in eV 2,47·104 1,27·105 3,41·105 6,61·105 1,13·106 3,11·106

Aufgabe

Bestimme rechnerisch die Geschwindigkeit eines Elektrons, das eine Beschleunigungsspannung von 800kV durchlaufen hat.

Lösung

Gesamtenergie = kinetische Energie + Ruheenergie:
\[E = {E_{kin}} + {E_0} \Rightarrow \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} = {E_{kin}} + {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  = \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{{E_{kin}} + {m_0} \cdot {c^2}}}\]
Quadrieren der Gleichung ergibt:
\[1 - {\left( {\frac{v}{c}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{{E_{kin}} + {m_0} \cdot {c^2}}}} \right)^2} \Rightarrow {\left( {\frac{v}{c}} \right)^2} = 1 - {\left( {\frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{{E_{kin}} + {m_0} \cdot {c^2}}}} \right)^2} \Rightarrow \frac{v}{c} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{{E_{kin}} + {m_0} \cdot {c^2}}}} \right)}^2}} \]
Beim Durchlaufen der Spannung von 800kV erreichen die Elektronen die kinetische Energie von \({{\rm{E}}_{{\rm{kin}}}} = e \cdot U \Rightarrow {{\rm{E}}_{{\rm{kin}}}} = 800\, \mathrm{keV}\)
\[\frac{v}{c} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{511\, \mathrm{keV}}}{{800\, \mathrm{keV} + 511\, \mathrm{keV} }}} \right)}^2}}  \Rightarrow \frac{v}{c} = 0,92 \Rightarrow v = 0,92 \cdot c\]