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Grundwissen

Energie-Impuls-Beziehung

Aufgaben Aufgaben

a)

Klassischer Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Impuls

Ausgangsbeziehungen:

\[{E_{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\quad (1)\]
\[p = m \cdot v\quad (2)\]
 

Erweiterung der rechten Seite von (1) mit m und Einsetzen von (2) in (1) ergibt:
\[{E_{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\,\,| \cdot \frac{m}{m} \Rightarrow {E_{kin}} = \frac{{{m^2} \cdot {v^2}}}{{2 \cdot m}}\text{ und mit (2) }{E_{kin}} = \frac{{{p^2}}}{{2 \cdot m}}\]

b)

Relativistisch korrekter Zusammenhang zwischen Gesamtenergie, Ruheenergie und Impuls

Ausgangsbeziehungen:

\[E = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2}\quad (3)\]
\[p = \frac{{{m_0} \cdot v}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\quad (4)\]
 

Ziel: Elimination von v in Gleichung (3). Dazu bildet man den Ausdruck p/E:

\[\frac{p}{E} = \frac{v}{{{c^2}}} \Rightarrow v = \frac{{{c^2} \cdot p}}{E}\quad (5)\]

Formt man (3) um, so folgt:
\[E = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2} \Rightarrow E \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  = {m_0} \cdot {c^2}\]
Mit (5) ergibt sich:
\[E \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\frac{{{c^2} \cdot p}}{E}}}{c}} \right)}^2}}  = {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow E \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{c \cdot p}}{E}} \right)}^2}}  = {E_0}\]
Quadrieren der Gleichung ergibt dann:
\[{E^2} - {\left( {c \cdot p} \right)^2} = E_0^2\]

 

Relativistische Energie-Impuls-Beziehung

\[E^2 = E_0^2 + (c\cdot p)^2     \Rightarrow   E = \sqrt{E_0^2 + (c\cdot p)^2}\]

Dabei ist E die Gesamtenergie, E0 die Ruheenergie und p der Impuls.

Erinnerungsstütze kann das Energie-Impuls-Dreieck sein:

Hinweis: Für Teilchen mit Ruhemasse m0 = 0 ergibt die Energie-Impuls-Beziehung: E = p·c