Gravitationsgesetz und -feld

Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld

  • Wo endet eigentlich die Erdanziehungskraft?
  • Was ist die Ursache der Gravitation?
  • Ziehen sich wirklich alle Körper gegenseitig an?

Ortsabhängigkeit der Erdbeschleunigung

Fasst man die Erde als ideale homogene Kugel mit dem Radius rE = 6368 km und der Masse  mE = 5,977·1024 kg auf, so kann man die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche schnell durch den folgenden Ansatz berechnen:

Man denkt sich einen Körper der Masse m auf der Erdoberfläche, dessen Gewichtskraft in der Form FG = m·g geschrieben werden kann. Dann gilt:
\[m \cdot g = G \cdot \frac{{m \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{r_{\rm{E}}}^2}} \Leftrightarrow g = G \cdot \frac{{{m_{\rm{E}}}}}{{{r_{\rm{E}}}^2}} \Rightarrow g = 6,673 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{5,977 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{{{\left( {6368 \cdot {{10}^3}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 9,85\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Mit zunehmendem Abstand von der Erdoberfläche nimmt g mit 1/r2 ab. Um sich dies klar zu machen ersetze man obigen Formeln rE durch r.

In einer Entfernung von 2·re vom Erdmittelpunkt ist dann die Erdbeschleunigung nur noch 9,8/4 m/s2 = 2,5 m/s2.

Geht man von der Erdoberfläche in Richtung Erdmittelpunkt, so nimmt g linear mit r ab. In einer Entfernung von 0,5·re vom Erdmittelpunkt ist dann die Erdbeschleunigung nur noch 9,8/2 m/s2 = 4,9 m/s2.

Beachten Sie hierzu die Musteraufgabe zur Fallbeschleunigung auf der Erde.

Tatsächlich kann man jedoch nicht davon ausgehen, dass die Erde eine ideale Kugel mit gleichmäßiger Massenverteilung ist. Schon aufgrund der Rotation der Erde um eine Achse, die durch den Nord- und Südpol geht, würde sich die Erde - die ja kein starrer Körper sondern in ihrem Inneren nahezu flüssig ist - zu einem Ellipsoid abplatten.

Genauere Untersuchungen haben jedoch ergeben, dass die Erde auch von der Ellipsoid-Gestalt abweicht und eine ziemlich unregelmäßige Form besitzt, die man als Geoid bezeichnet. Manche Wissenschaftler sprechen respektlos davon, dass die Erde die Form einer Kartoffel hätte.

Die Abstände von Punkten der Erdoberfläche vom Erdmittelpunkt differieren beim Geoid nicht unwesentlich, so dass schon wegen dieser Tatsache zu erwarten ist, dass die Fallbeschleunigungen auf der Geoidoberfläche verschieden ausfallen. Darüber hinaus ist die Erdkugel kein homogener Körper. Es gibt Land- und Wasserflächen, Gebirge und Lagerstätten von Erzen usw., so dass die Massenverteilung recht inhomogen ist, was wiederum eine örtlich unterschiedliche Fallbeschleunigung auf der Oberfläche bedingt.

das Grace-Duo (NASA)

Zur präzisen Ausmessung der örtlichen Fallbeschleunigungen schoss man 2002 zwei gleichartige Grace-Satelliten auf eine Erdumlaufbahn. Der Abstand der beiden Satelliten betrug ca. 220 km. Die Messung des Erdschwerefeldes erreicht man, indem die Satelliten ständig ihre eigene Position mit Hilfe eines GPS-Systems sowie zweier Sternensensoren mit hoher Genauigkeit ermitteln und darüber hinaus ihren gegenseitigen Abstand mit Hilfe von Mikrowellen bis auf Bruchteile eines Millimeters genau bestimmen. Durchfliegt z.B. der erste Satellit eine Zone erhöhter Anziehung, so wird er geringfügig stärker beschleunigt und damit erhöht sich der Abstand zum nachfolgenden Satelliten.

Fazit: Die lokalen Unterschiede in der Fallbeschleunigung bewirken eine Störung der Satellitenbahnen.

Die Auswertung der gewonnen Daten sehen Sie in der nebenstehenden Abbildung. Sie zeigt die Abweichung der örtlichen Fallbeschleunigung von einem Standardwert. Dabei wird diese Abweichung in Milligal (1 mgal = 10-5 m/s2) angegeben.

Man bekommt einen Eindruck von der Präzision der Messungen, wenn man sich die folgenden Angaben für die Fallbeschleunigungen am Äquator und am Pol vergegenwärtigt:

gPol = 983221 mgal;    gÄqu = 978049 mgal;

Durch die lokalen Abweichungen der Fallbeschleunigungen kann man u. U. Vorhersagen auf Öl- oder Erzvorkommen machen.

Aus den gewonnen Werten für die lokalen Fallbeschleunigungen kann man auf die Höhen-Abweichung des Geoids vom idealen Ellipsoid schließen. Die folgenden Bilder und Animationen, welche vom Geoforschungszentrum Potsdam (GFP) stammen, geben ihnen einen Eindruck von der Unregelmäßigkeit der Erdoberfläche.

Die zwei Ansichten der Erdkugel zeigen deutlich die Abweichung von der idealen Ellipsoidgestalt. Die Erde macht den Eindruck einer Kartoffel.

Die Farbgebung der Oberfläche zeigt die jeweilige Abweichung der Oberflächenhöhe von der des Ellipsoids in Metern.

Gebiete mit roter Farbe liegen über, Gebiete mit grüner bis blauer Farbe unter der Ellipsoidoberfläche.

Unter der Adresse http://www-app2.gfz-potsdam.de/sec13/animated-potato-d-cms.html können Sie sich auch eine animierte Darstellung des Höhenprofils der Erde betrachten (Klick z.B. auf "Nordansicht").

Gezeiten

Die ausführliche Seite zu den Gezeiten findest du unter Astronomie - Planetensystem - Ausblicke - Gezeitenkräfte

Gravitationskonstante

Warum ist die Kenntnis der Gravitationskonstanten G so wichtig? Ein Beispiel für erwünschte Messgenauigkeit
Wenn wir G aus Labormessungen kennen, können wir die Masse der Erde aus der Distanz des Mondes und der Länge eines Monats bestimmen oder indem wir die Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche messen. Genauso können wir dann die Masse der Sonne bestimmen, wenn wir zusätzlich die große Halbachse der Erdbahn und die Dauer eines Jahres kennen.

1798 wurde die Gravitationskonstante erstmals von Cavendish mit nebenstehender Anordnung gemessen, die bereits John Michell (1724 -1793) vorschlug.
In der Schulphysik wird immer noch eine Anordnung verwendet, die diesem Apparat sehr ähnlich ist.

Von allen Naturkonstanten ist "Groß G" diejenige, die mit der geringsten Genauigkeit gemessen wurde. Die erstmalige Messung von G durch Cavendish wurde im November 1998 in London in einer "Zweihundertjahrfeier" zum Anlass genommen, die genauesten Messungen von G zu vergleichen. 12 Forschergruppen von laufenden G-Bestimmungs-Versuchen mit sehr unterschiedlichen Apparaturen waren vertreten, deren neuesten Messergebnisse in der Tabelle zusammengefasst sind . Die Genauigkeit der Messungen, die nach internationalen Standards durchgeführt wird ist jeweils in ppm (points per million) angegeben. 1 ppm = 1 Millionstel = 0,0001% .

Labor G · 1011 (ppm)
New Zealand MSL 6.6742(6) 90
Zürich 6.6749(14) 210
Wuppertal 6.6735(9)(13) 240
JILA 6.6873(94) 1400
BIPM 6.683(11) 1650
Karagioz (Russia) 6.6729(5) 75
Luther/Towler 1982 6.6726(5) 64
PTB 1995 6.71540(56) 83

Die Tabelle zeigt, dass \(G\) von den einzelnen Instituten mit Genauigkeiten von \(0,001\%\) gemessen wurde, die Ergebnisse aber voneinander um bis zu \(0,5\%\) abweichen. Insbesondere die Messung der Physikalisch technischen Bundesanstalt aus Braunschweig nimmt eine Außenseiterrolle ein.
Quelle: Riley Newman, University of California

Diese Diskrepanz löste eine Serie neuer Messungen aus, von denen die unten aufgeführte, die bisher größte Genauigkeit brachte.

Steve Merkowitzz (l) und Jens Gundlach (r) mit dem an der Universität von Washington entwickelten Cavendish Apparat (Foto: Mary Levin, University of Washington).

Die Gruppe der Universität von Washington hat die Unsicherheit von \(G\) um den Faktor \(10\) gesenkt. Nach ihrer Messung ist \(G = 6,67390 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) mit einer Unsicherheit von \(0,0014\%\).
Dieses neue Maß von G kombiniert mit Messungen, die mit dem Lageos Satellit gemacht wurden (Dessen Bahn durch Laser Messung mit einer Genauigkeit von einem Millimeter bestimmt werden kann), ergibt die genaueste Bestimmung der Erdmasse von
\({m_{{\rm{Erde}}}} = 5,97223\left( { \pm 0,00008} \right) \cdot {10^{24}}{\rm{kg}}\).


Auch für die Masse der Sonne ergibt sich daraus der neueste Wert:
\({m_{{\rm{Sonne}}}} = 1,98843\left( { \pm 0,00003} \right) \cdot {10^{30}}{\rm{kg}}\).

Quelle: american institut of physics

Satellitenbahnen

Auch für künstliche Erdsatelliten gilt das 1. KEPLERsche Gesetz; sie bewegen sich auf Ellipsenbahnen um die Erde. Die Erde steht in einem Brennpunkt dieser Ellipsen. In der folgenden Abbildung ist für verschiedene Bahnpositionen die Gravitationskraft eingezeichnet (rote Pfeile!). Wegen der unterschiedlichen Entfernungen zur Erde ist ihr Betrag verschieden groß.

Fertige eine Skizze der oben dargestellten Bahn an. Zeichne in den Punkten A bis F die Tangenten an die Bahnkurve. Zerlege die Gravitationskraft an den verschiedenen Stellen in die beiden Komponenten parallel und senkrecht zur Tangente.

Erläutere, welche der beiden Kraftkomponenten den Betrag und welche die Richtung der Satellitengeschwindigkeit ändert. Erläutere weiter, auf welcher Strecke der Satellit schneller, auf welcher er langsamer wird.

Begründe, warum eine kleine Kraft im erdfernsten Punkt genau die gleiche Bahnkrümmung bewirkt wie eine viel größere im erdnächsten Punkt.

Die potentielle Energie eines Satelliten der Masse \(m\), der sich im Abstand \(r\) vom Erdmittelpunkt befindet, beträgt
\[{E_{{\rm{pot}}}}(r) =-G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\]
Dabei steht \(M\) für die Masse der Erde. Anmerkung: Die Physiker haben vereinbart das Nullniveau der potentiellen Energie so zu legen, dass nur negative Werte auftreten. Damit wird zum Ausdruck gebracht, dass ein Körper im Gravitationsfeld nicht frei ist. Ein Körper, der unendlich weit von der Erde entfernt ist , der also durch keine Gravitationskraft mehr an die Erde gebunden ist, wird als frei bezeichnet und hat die potentielle Energie null. Damit folgt für die Gesamtenergie des Satelliten
\[{E_{{\rm{ges}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} + {E_{{\rm{pot}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\]

Zunächst soll nun ein Satellit auf einer Kreisbahn betrachtet werden.

Die Gravitationskraft liefert die für die Kreisbahn erforderliche Zentripetalkraft. Leite aus diesem Kraftansatz eine Formel für die Satellitengeschwindigkeit \(v\) in Abhängigkeit von \(r\) her.

Berechne die kinetische Energie des Satelliten. Leite hierzu eine Formel in Abhängigkeit von \(r\) her und vergleiche das Ergebnis mit der potentiellen Energie.

Berechne die Gesamtenergie des Satelliten. Leite hierzu eine Formel in Abhängigkeit von \(r\) her und vergleiche das Ergebnis wieder mit der potentiellen Energie.

Aus diesen Energiegleichungen liest man ab: Soll der Satellit auf eine höhere Bahn gehoben werden, muss ihm Energie zugeführt werden, z.B. durch Zünden einer Rakete. Dadurch erfährt der Satellit den erforderlichen Geschwindigkeitsschub. Auf einer höheren Bahn ist dann zwar seine kinetische Energie geringer als vorher (auf höheren Bahnen ist die Geschwindigkeit kleiner!), dafür erhöht sich aber die potentielle Energie.

Nun soll ein Satellit auf der Ellipsenbahn betrachtet werden. Die Bezeichnungen bei der Geometrie der Ellipse sind üblicherweise \(a\): große Halbachse, \(b\): kleine Halbachse und \(e\): lineare Exzentrizität.

Auf der Ellipsenbahn schwankt der Radius \(r\) (Entfernung: Erdmittelpunkt - Satellit) zwischen den Werten \(a + e\) (im erdfernsten Punkt) und \(a - e\) (im erdnächsten Punkt). Entsprechend ändert sich die kinetische und die potentielle Energie des Satelliten für die im letzten Abschnitt die Formeln
\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r}\]
und
\[{E_{{\rm{pot}}}} =-G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r}\]
hergeleitet wurde. Über die gesamte Bahn gemittelt ist der Radius \(r\) gleich der großen Halbachse \(a\). Damit ergibt sich für die Gesamtenergie des Satelliten auf der Ellipsenbahn
\[{E_{{\rm{ges}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} + {E_{{\rm{pot}}}} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{a} - G \cdot \frac{{m \cdot M}}{a} =-\frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{a}\]

Im Abstand \(r\) vom Erdmittelpunkt befindet sich ein Satellit auf einer Ellipsenbahn um die Erde mit der großen Halbachse \(a\). Berechne die Geschwindigkeit des Satelliten in dieser Position.

 

Numerische Behandlung von Satellitenbahnen

Zur Berechnung von Satellitenbahnen legen wir ein \(x\)-\(y\)-Koordinatensystem zugrunde, in dessen Ursprung sich das Zentralgestirn (in unserem Fall die Erde) befindet. Die Gravitationskraft wird nun in eine \(x\)- und eine \(y\)-Komponente zerlegt (siehe Abbildung). Mit diesen Kraftkomponenten werden die Bewegungen in \(x\)- bzw. \(y\)-Richtung unabhängig voneinander untersucht. Die Bahnkurve erhält man durch Zusammenführung der Ergebnisse in einem \(x\)-\(y\)-Diagramm.

Nach dem Strahlensatz mit S als Zentrum und dem Satz des PYTHAGORAS gilt
\[\frac{{{F_x}}}{x} =  - \frac{F}{r}\;{\rm{und}}\;\frac{{{F_y}}}{y} =  - \frac{F}{r}\;{\rm{mit}}\;r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \]
Mit dem Gravitationsgesetz und dem 2. NEWTONschen Gesetz folgt für die \(x\)- bzw. \(y\)-Komponente der Beschleunigung
\[\left. \begin{array}{l}{F_x} =  - \frac{F}{r} \cdot x\\{F_y} =  - \frac{F}{r} \cdot y\\F = G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r^2}}}\end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{{F_x} =  - G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r^3}}} \cdot x \Rightarrow {a_x} = \frac{{{F_x}}}{m} =  - G \cdot \frac{M}{{{r^3}}} \cdot x}\\{{F_y} =  - G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r^3}}} \cdot y \Rightarrow {a_y} = \frac{{{F_y}}}{m} =  - G \cdot \frac{M}{{{r^3}}} \cdot y}\end{array}\]

Bei der iterativen Berechnung der Satellitenbahnen soll das Halbschrittverfahren angewandt werden. Eine allgemeine Erläuterung dieses Verfahrens findet man im Beitrag "Kleine Schritte" des Kapitels "Lineare Bewegung". Mit den Vorüberlegungen von oben ergibt sich nun folgende Iterationsvorschrift:
\[(1)\quad {a_x}(t) =  - G \cdot \frac{M}{{{r^3}}} \cdot x(t)\;;\;{a_y}(t) =  - G \cdot \frac{M}{{{r^3}}} \cdot y(t)\;{\rm{mit}}\;r = \sqrt {x{{(t)}^2} + y{{(t)}^2}} \]
\[(2)\quad {v_x}(t + \frac{{\Delta t}}{2}) = {v_x}(t - \frac{{\Delta t}}{2}) + {a_x}(t) \cdot \Delta t\;;\;{v_y}(t + \frac{{\Delta t}}{2}) = {v_y}(t - \frac{{\Delta t}}{2}) + {a_y}(t) \cdot \Delta t\]
\[(3)\quad x(t + \Delta t) = x(t) + {v_x}(t + \frac{{\Delta t}}{2}) \cdot \Delta t\;;\;y(t + \Delta t) = y(t) + {v_y}(t + \frac{{\Delta t}}{2}) \cdot \Delta t\]
Für die Startwerte setzen wir zunächst einmal \(x(0) = 7500({\rm{km}})\), \(y(0) = 0({\rm{km}})\), \({v_x}(0) = 0(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}})\), \({v_y}(0) = 9(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}})\) und \(\Delta t = 60(\rm{s})\). Beim 1. Schritt des Verfahrens weicht die Iterationsvorschrift für die Geschwindigkeit von der allgemeinen Iterationsvorschrift \((2)\) ab:
\[(2^*)\quad {v_x}(\frac{{\Delta t}}{2}) = {v_x}(0) + {a_x}(t) \cdot \frac{{\Delta t}}{2}\;;\;{v_y}(\frac{{\Delta t}}{2}) = {v_y}(0) + {a_y}(t) \cdot \frac{{\Delta t}}{2}\]

Tiefergehende Erläuterungen für das Iterationsverfahren finden Sie in der anhängenden Animation. Klicken Sie dazu die einzelnen Schritte von 1 bis 10 durch, indem Sie auf die entsprechenden Zahlen gehen.

Diese Iteration soll nun in eine Tabellenkalkulation z.B. EXCEL oder Calc übertragen werden:

1. Schritt: Gib Deinem EXCEL-Blatt einen Titel (z.B. mit Hilfe eines Textfeldes).

2. Schritt: Weise den Startwerten beschriftete Eingabezellen zu und benenne diese Zellen in geeigneter Weise um, z.B.

Startwert G.M x(0) y(0) vx0 vy0 \(\Delta t\)
Name der Zelle c x0 y0 vx0 vy0 dt

Der erste Abschnitt des EXCEL-Blattes könnte dann so aussehen:

3. Schritt: Erstelle die Iterationstabelle nach folgendem Muster:

  A B C D E F G H
1                
...                
16 t x(t) y(t) r(t) ax(t) ay(t) vx(t+dt/2) vy(t+dt/2)
17 0 =x0 =y0 =WURZEL((POTENZ(C17;2)+POTENZ(D17;2))) =-c*C17/
POTENZ(E17;3)
=-c*D17/
POTENZ(E17;3)
=vx0+(dt/2)*F17 =vy0+(dt/2)*G17
18 =B17+dt =C17+dt*H17 =D17+dt*I17 =WURZEL((POTENZ(C18;2)+POTENZ(D18;2))) =-c*C18/
POTENZ(E18;3)
=-c*D18/
POTENZ(E18;3)
=H17+dt*F18 =I17+dt*G18
19 =B18+dt =C18+dt*H18 =D18+dt*I18 =WURZEL((POTENZ(C19;2)+POTENZ(D19;2))) =-c*C19/
POTENZ(E19;3)
=-c*D19/
POTENZ(E19;3)
=H18+dt*F19 =I18+dt*G19
20 =B19+dt =C19+dt*H19 =D19+dt*I19 =WURZEL((POTENZ(C20;2)+POTENZ(D20;2))) =-c*C20/
POTENZ(E20;3)
=-c*D20/
POTENZ(E20;3)
=H19+dt*F20 =I19+dt*G20

zum Tabellenblatt

Voreinstellungen: Für alle nachfolgenden Untersuchungen sind die Werte für \(G \cdot M = {\rm{3}}{\rm{,99}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{5}}}\frac{{{\rm{k}}{{\rm{m}}^3}}}{{{{\rm{s}}^2}}}\) und \(R = {\rm{6}}{\rm{,368}} \cdot {10^3}{\rm{km}}\) fest.

Geben Sie folgende Startwerte ein:

x(0) in km y(0) in km vx(0) in km/s vy(0) in km/s Δt in s
7500 0 0 9 60

Hinweis: Die Punkte in der Grafik geben die Position des Satelliten im zeitlichen Abstand von 10·Δt an (Grund: In der Tabelle wurden jeweils 9 Zeilen ausgeblendet).

  1. Wie groß ist die Umlaufdauer des Satelliten?

  2. Warum haben die Punkte unterschiedliche Abstände? Was kann man daraus ablesen?

  3. Bestimme aus der Grafik näherungsweise die Geschwindigkeit im erdfernsten Punkt und vergleiche diese mit der Geschwindigkeit im erdnächsten Punkt.

  4. Bestimme die große Halbachse der Ellipsenbahn.

  5. Überprüfe das 3. Keplersche Gesetz. Wähle hierzu den Erdmond als Vergleichskörper. (Die Bahn des Erdmondes hat eine große Halbachse von ca. 3,82.105km; seine Umlaufzeit beträgt 27,3 Tage.)

  1. Der Startort befinde sich nun unmittelbar über der Erdoberfläche, die Geschwindigkeit sei tangential zur Erdoberfläche orientiert. Wählen Sie also z.B. für die Startwerte:

    x(0) in km y(0) in km vx(0) in km/s vy(0) in km/s Δt in s
    6375 0 0   15

    Der Betrag der Startgeschwindigkeit ist also vy(0). Variieren Sie diesen Wert solange bis der Satellit gerade nach eine Kreisbahn um die Erde beschreibt und bestätigen Sie damit die Richtigkeit des Werts für die 1. kosmische Geschwindigkeit.

  2. Der Satellit befinde sich nun 3632 km über der Erdoberfläche. Berechnen Sie die Geschwindigkeit, die erforderlich ist, dass er die Erde auf einer Kreisbahn umrundet. Überprüfen Sie diese Ergebnis mit der EXCEL-Anwendung. Wählen Sie z.B. folgende Startwerte:

    x(0) in km y(0) in km vx(0) in km/s vy(0) in km/s Δt in s
    10000 0 0   30

    Variieren Sie vy(0) so lange, bis sich eine Kreisbahn ergibt, und vergleichen Sie die Geschwindigkeit mir dem Ergebnis von Teilaufgabe a).

Transferbahnen von Satelliten

Falls Sie die Musteraufgabe "Wettersatellit" noch nicht gelöst haben, sollten Sie dies vor der Weiterarbeit an dieser Seite tun. Die wesentlichen Ergebnisse dieser Aufgabe sind:
Damit ein Satellit auf einer geostationären Kreisbahn läuft, muss er in einer Höhe von ca. \(36000\rm{km}\) (ganz genau \(35787\rm{km}\)) über der Erdoberfläche sein. Seine Umlaufgeschwindigkeit beträgt dabei \({{v_{{\rm{Geo}}}} = 3067\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\).

Aus hier nicht erläuterten energetischen Gründen ist es ungünstig, den Satelliten vom Start weg direkt auf eine geostationäre Bahn (GSO = Geostationärer Orbit) zu bringen. Man wählt einen Zwischenschritt und bringt den Satelliten auf eine sogenannte Transferbahn (Geotransfer Orbit: GTO), die stark elliptisch ist. Aus dieser Bahn wird er dann später auf die geostationäre Bahn beschleunigt.

a)

 

Start in Kourou (franz. Guyana)

b)

Transferbahn (Inklination \(10,5^\circ \));
Erdnächster Punkt (Perigäum): \(200\rm{km}\)
Erdfernster Punkt (Apogäum): \(36000\rm{km}\)
(Griechisch Geo: Erde; Peri: In der Nähe; Apo: In der Ferne)

c) Zünden des Apogäumtriebwerkes
d) Geostationäre Umlaufbahn: \({{h_{{\rm{Geo}}}} = 36000{\rm{km}}}\); Inklination \(0^\circ \)
Energetische Überlegungen
Hinweis: Diese Aufgabe können Sie nur lösen, wenn Sie die Seite über das Gravitationsfeld durchgearbeitet haben.

a)

Berechnen Sie die Gesamtenergie eines Satelliten der Masse \(5,0\rm{t}\), der von einer Ariane-5-Rakete in eine Höhe von \(200\rm{km}\) über der Erdoberfläche gebracht wurde (Perigäum = erdnächster Bahnpunkt) und dort die Geschwindigkeit \({10250\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) besitzt.

b)

Welche Geschwindigkeit \({v_{{\rm{Apo}}}}\) besitzt dieser Satellit im Apogäum (= erdfernster Bahnpunkt in der Höhe \(36000\rm{km}\) über der Erdoberfläche ), wenn auf dem Weg vom erdnächsten zum erdfernsten Punkt keine Triebwerke eingeschaltet waren?

Bestimmungsstücke der Transferbahn

a)

Bestimmen Sie die große Halbachse der elliptischen Transferbahn.

b)

Welche Umlaufdauer hätte der Satellit auf dieser Transferbahn?

Wie lange braucht er vom Perigäum bis zum Apogäum?

Nach dem Erreichen des Apogäums werden beim Satelliten die sogenannten Apogäumsmotoren gezündet, um den Satelliten so zu beschleunigen, dass er die für die geostationäre Bahn notwendige Geschwindigkeit \({{v_{{\rm{Geo}}}} = 3067\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) erreicht.

Apogäumsbeschleunigung

Welche mittlere Schubkraft müssen die Apogäumsmotoren entwickeln, wenn sie insgesamt 30 Minuten in Betrieb sind? Die Massenabnahme des Satelliten auf Grund des Treibstoffausstoßes ist zu vernachlässigen.

Einsatzmöglichkeiten geostationärer Satelliten

Für welche Einsatzmöglichkeiten sind geostationären Satelliten besonders geeignet? Informieren Sie sich in geeigneter Literatur oder im Internet.

Satellitenstartplatz

Wie in der Musteraufgabe zu den Wettersatelliten bereits erklärt wurde, muss der Mittelpunkt einer Satellitenbahn (Kreis oder Ellipse) stets mit dem Erdmittelpunkt zusammenfallen.

Zwischen den Extremen der Äquatorbahn (Inklinationswinkel ϑ = 0°) und der Polarbahn (Inklinationswinkel ϑ = 90°) sind vielfältige Bahnlagen denkbar (vgl. Abbildung).

Bei geostationären Satelliten ist es wichtig, dass der Inklinationswinkel 0° beträgt, die Bahn also genau über dem Äquator verläuft. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich der Satellit von der Erde aus abwechselnd nach Norden oder Süden bewegen. Die auf den Satelliten ausgerichteten Antennen auf der Erde müssten ständig nachgeführt werden.

Es kann gezeigt werden, dass der kleinstmögliche Inklinationswinkel beim Raketenstart gleich dem Breitengrad des Startortes ist. In der Tabelle sind die Breitengrade der bekanntesten Abschussbasen dargestellt:

Startort
Breitengrad
Baikonur
48°
Cap Canaveral
28,8°
Kourou
5,2°

Um einen geostationären Orbit (GSO) zur erreichen, sind also bei einem Ariane-Start von Kourou aus am wenigsten energieaufwändige Flugmanöver notwendig. Der Abschuss in der Nähe des Äquators hat auch noch den Vorteil (wenn die Rakete in Ost-Richtung abgeschossen wird), dass die relativ hohe Rotationsgeschwindigkeit der Erde und die daraus sich ergebende kinetische Energie ausgenutzt wird ("Mitnahmeeffekt").

Aufgabe: Mitnahmeeffekt

Berechne die Bahngeschwindigkeiten der Erdoberfläche auf Grund der Erddrehung in München (geographische Breite 48°) und einem Ort am Äquator.

Schwerelosigkeit

Im Folgenden werden drei Fälle bzw. Bedingungen betrachtet, unter denen sich ein Mensch schwerelos fühlt.

1. Fall: (leicht verständlich, jedoch nicht realisierbar)

Der Mensch befindet sich fern von allen Himmelskörpern, so dass die Wirkung jeglicher Gravitationsfelder vernachlässigt werden kann. Diesen Zustand hat noch kein Mensch erreicht, die Gravitationskraft von Himmelskörpern nimmt mit \(\frac{1}{{{r^2}}}\) ab, wird also nie ganz Null.

2. Fall: (verständlich, annähernd realisierbar)

Zwischen zwei Himmelskörpern (z. B. Erde und Mond) gibt es einen Punkt, wo sich die Anziehungskraft von Erde und Mond gerade aufheben. In diesem Punkt wäre ein Mensch schwerelos, wenn man die Anziehungskräfte der Sonne und anderer Himmelskörper vernachlässigen könnte.

Aufgabe

Berechne, wie weit der oben beschriebene Punkt vom Erdmittelpunkt entfernt ist.
Besorge dir die notwendigen Daten aus der Formelsammlung oder dem Internet.

Lösung

Die benötigten Daten sind \({m_{\rm{E}}} = 5,98 \cdot {10^{24}}{\rm{kg}}\), \({m_{\rm{M}}} = 7,36 \cdot {10^{22}}{\rm{kg}}\) und \({r_{{\rm{EM}}}} = 60 \cdot {r_E}\). Weiter gilt \({r_{{\rm{MK}}}} = {r_{{\rm{EM}}}} - {r_{{\rm{EK}}}}\).

Nun gilt
\[{F_{{\rm{G}}{\rm{,EK}}}} = {F_{{\rm{M}}{\rm{,EK}}}} \Leftrightarrow G \cdot \frac{{{m_{\rm{K}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{r_{{\rm{EK}}}}^2}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{K}}} \cdot {m_{\rm{M}}}}}{{{r_{{\rm{MK}}}}^2}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{K}}} \cdot {m_{\rm{M}}}}}{{{{\left( {{r_{{\rm{EM}}}} - {r_{{\rm{EK}}}}} \right)}^2}}}\]
Umformen dieser Gleichung führt auf
\[\frac{{{r_{{\rm{EK}}}}^2}}{{{{\left( {{r_{{\rm{EM}}}} - {r_{{\rm{EK}}}}} \right)}^2}}} = \frac{{{m_{\rm{E}}}}}{{{m_{\rm{M}}}}} \Rightarrow \frac{{{r_{{\rm{EK}}}}}}{{{r_{{\rm{EM}}}} - {r_{{\rm{EK}}}}}} = \sqrt {\frac{{{m_{\rm{E}}}}}{{{m_{\rm{M}}}}}}  \Leftrightarrow {r_{{\rm{EK}}}} \cdot \left( {1 + \sqrt {\frac{{{m_{\rm{E}}}}}{{{m_{\rm{M}}}}}} } \right) = {r_{{\rm{EM}}}} \cdot \sqrt {\frac{{{m_{\rm{E}}}}}{{{m_{\rm{M}}}}}}  \Leftrightarrow {r_{{\rm{EK}}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{{m_{\rm{E}}}}}{{{m_{\rm{M}}}}}} }}{{1 + \sqrt {\frac{{{m_{\rm{E}}}}}{{{m_{\rm{M}}}}}} }} \cdot {r_{{\rm{EM}}}}\]
Einsetzen der obigen Daten liefert
\[{r_{{\rm{EK}}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{5,98 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{7,36 \cdot {{10}^{22}}{\rm{kg}}}}} }}{{1 + \sqrt {\frac{{5,98 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{7,36 \cdot {{10}^{22}}{\rm{kg}}}}} }} \cdot 60 \cdot {r_{\rm{E}}} = 54 \cdot {r_{\rm{E}}}\]

3. Fall: (nicht so leicht verständlich, aber realisierbar)

Sicher hast du schon Aufnahmen von Astronauten aus der internationalen Raumstation ISS gesehen, die sich schwerelos durch die Kabine bewegen:

Schwerelose Astronauten in der ISS

Dabei befindet sich die Station nur \(400\rm{km}\) über der Erdoberfläche. Die Gravitationskraft in dieser Entfernung ist auf keinen Fall vernachlässigbar.

Aufgabe

Berechne, wie viel Prozent die Gravitationskraft eines Astronauten auf der ISS von dessen Gewichtskraft auf der Erdoberfläche beträgt.

Lösung

\[p\%  = \frac{{{F_{{\rm{G}}{\rm{,ISS}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} = \frac{{G \cdot \frac{{{m_{\rm{A}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{{\left( {{r_{\rm{E}}} + h} \right)}^2}}}}}{{G \cdot \frac{{{m_{\rm{A}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{r_{\rm{E}}}^2}}}} = \frac{{{r_{\rm{E}}}^2}}{{{{\left( {{r_{\rm{E}}} + h} \right)}^2}}} \Rightarrow p\%  = \frac{{{{\left( {6368{\rm{km}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {6368{\rm{km}} + 400{\rm{km}}} \right)}^2}}} = 0,88 = 88\% \]

Einbezug dynamischer Effekte

Zum Verständnis dieses Typs von Schwerelosigkeit muss man offensichtlich dynamische Aspekte der Bewegung mit betrachten.

Schon mit dem Sprung vom Sprungbrett im Schwimmbad kann man Schwerelosigkeit erreichen (Schwerelosigkeit des kleinen Mannes, bei Vernachlässigung der Luftreibung). Würde der Springer auf einer Personenwaage stehen und mit ihr Abspringen, so würde die Waage während des freien Falls nichts anzeigen – der Springer ist schwerelos. Er braucht seine Gravitationskraft ganz dazu, um sich mit g (Erdbeschleunigung) zu beschleunigen, er "beschwert" die Waage nicht mehr.

Nun ist es völlig unerheblich, ob der Mensch einen freien Fall, einen horizontalen Wurf oder gar einen schiefen Wurf ausführt, wenn Reibungsfreiheit herrscht, fühlt sich der Mensch bei allen diesen Bewegungen schwerelos. Denken Sie sich eine Kabine um den Menschen, sie würde die gleiche Fall- oder Wurfbewegung ausführen. Der Mensch würde in dieser Kabine schweben, er fühlt sich schwerelos – selbst beim ansteigenden Ast der Parabel beim schiefen Wurf.

Schwerlos im freien Fall

Auch auf der nahezu kreisförmigen Umlaufbahn der ISS tritt eine solche Fallbeschleunigung auf. Man kann sagen, die ISS fällt mit hoher Geschwindigkeit immer wieder um die Erde herum - die Astronauten fühlen sich schwerelos. Allerdings treten in der Praxis stets Störbeschleunigungen auf, die von den Umgebungsbedingungen, der Raumstation oder der Besatzung verursacht werden. Es herrscht deshalb noch geringe Schwerkraft, genannt Mikrogravitation. Auch auf den Kepler-Ellipsen, welche die Satelliten beim Umkreisen der Erde durchlaufen, findet eine solche Fallbewegung statt,

Der Zustand der Schwerelosigkeit ist für eine Vielzahl von Experimenten sehr wünschenswert. Allerdings kosten Experimente in einer Raumstation sehr viel Geld. Man nutzt daher Falltürme und Parabelflüge, um den Zustand der Schwerelosigkeit wenigstens für kurze Zeit in Erdnähe zu realisieren.

Fallturm und Parabelflug

Der Fallturm von Bremen

Fallturm Bremen

Um kurzzeitig Schwerelosigkeit zu erreichen baute man in Bremen einen \(144\rm{m}\) hohen Fallturm (http://www.zarm.uni-bremen.de/). Er enthält eine \(110\rm{m}\) lange Fallröhre mit einem Durchmesser von \(3,5\rm{m}\), die innerhalb von ca. \(1,5\rm{h}\) auf einen Druck von \({10^{ - 5}}{\rm{bar}}\) evakuiert werden kann. Damit ist es möglich, bis zu dreimal am Tag für einige Sekunden in freiem Fall den Zustand der Schwerelosigkeit herzustellen. Die mit hoher Geschwindigkeit unten ankommende Fallkapsel muss aufgefangen und sanft abgebremst werden. Dafür gibt es in der Abbremskammer einen raffiniert konstruierten Auffangbehälter aus Stahlblech - \(8\rm{m}\) hoch und \(3,5\rm{m}\) im Durchmesser. Um die Wucht, die aufgefangen werden muss, nachvollziehen zu können, stelle man sich vor, man müsse ein ca. \(500\rm{kg}\) schweres und \(167\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) schnelles Auto innerhalb von acht Metern zum Stillstand bringen. Diese Mischung aus starkem und zugleich sanften Abbremsen wird erreicht durch eine Füllung des Abbremsbehälters mit Styroporgranulat. Der Abbremsvorgang geschieht so kontrolliert, dass man unbesorgt ein im Betrieb befindliches, handelsübliches Notebook "mitfliegen" lassen kann.

Um die Zeitspanne der Schwerelosigkeit zu verdoppeln, arbeitet man an diesem Fallturm daran, die Nutzlast zunächst von unten nach oben zu katapultieren und dann den freien Fall wie bisher anzuschließen.

Ein eindrucksvolles Video zum Fallexperiment mit Feder und Kugel im Vakuum des größten Fallturms der Welt ist hier zu finden.

Aufgabe

Berechne die Falldauer und die Geschwindigkeit (in \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\)) am Ende der Fallstrecke.

Lösung

\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot h}}{g}}  \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 110{\rm{m}}}}{{9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  = 4,7{\rm{s}}\]
\[v = g \cdot t \Rightarrow v = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 4,7{\rm{s}} = 46,1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 166\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

Parabelflüge

Diagramm Parabelflug

Von einem normalen, horizontalen Flug in ca. 5000m Höhe steigt die Maschine für etwa 20s unter einem Winkel von 50o an (entry pull up). Dann wird, in einer Höhe von ca. 6300m, der Antriebsschub der Motoren stark reduziert und das Flugzeug geht in den freien parabolischen Fall über. Damit erzielt man in den nächsten 20s bis 25s stark reduzierte Schwerkraft. Nach diesen 25s erreicht die Beschleunigung des Flugzeuges für 20s einen Wert von 1,5g bis 1,8g ( exit pull up); hierbei "taucht" die Maschine wiederum unter einem 50o Winkel ab, um in den Horizontalflug zurückzukehren. Parabelflug-Passagiere und Parabelflugzeug befinden sich somit während der Phase mit reduzierter Schwerkraft (µg-Phase) im freien Fall. Durch das speziell Flugmanöver wird eigentlich nichts anderes erreicht, als dass das Flugzeug exakt neben den Passagieren herfällt. Ein Parabelflug ermöglicht eine einzigartige Chance für kurze Zeitintervalle Schwerelosigkeit zu erleben. Um eine Umgebung zu schaffen, in der Mikrogravitation vorherrscht muss ein Flugzeug eine Bahn durchfliegen, wie sie in der Abbildung aufgezeichnet ist.

Wozu braucht man Parabelflüge?

Unter anderem nutzt man Parabelflüge, um Astronauten auf ihre späteren Arbeitsplatzbedingungen (Schwerelosigkeit) vorzubereiten; meist jedoch werden wissenschaftliche Versuche und Tests durchgeführt, die so ausgelegt sind, dass die beim Parabelflug erreichten Gravitationswerte den Experimentanforderungen genügen. Jedoch konnte man spätestens bei der Verfilmung der Apollo 13 Geschichte feststellen, dass es auch noch ganz andere Nutzergruppen gibt. Reisebüros bieten inzwischen schon Parabelflüge mit russischen Maschinen an.

Der A300 Zero-G kann wohl als das zur Zeit größte Parabelflugzeug der Welt angesehen werden. Er besitzt für die Experimente eine Fläche von zirka (5,00 × 20,00)m2 und die Deckenhöhe beträgt an ihrer höchsten Stelle \(2,30\rm{m}\).

Ein Video zum Parbelflug vom DLR findest du hier, ein Video von Spiegel TV auf YouTube hier.

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