Falls Sie die Musteraufgabe "Wettersatellit" noch nicht gelöst haben, sollten Sie dies vor der Weiterarbeit an dieser Seite tun. Die wesentlichen Ergebnisse dieser Aufgabe sind:
Damit ein Satellit auf einer geostationären Kreisbahn läuft, muss er in einer Höhe von ca. \(36000\rm{km}\) (ganz genau \(35787\rm{km}\)) über der Erdoberfläche sein. Seine Umlaufgeschwindigkeit beträgt dabei \({{v_{{\rm{Geo}}}} = 3067\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\).
Aus hier nicht erläuterten energetischen Gründen ist es ungünstig, den Satelliten vom Start weg direkt auf eine geostationäre Bahn (GSO = Geostationärer Orbit) zu bringen. Man wählt einen Zwischenschritt und bringt den Satelliten auf eine sogenannte Transferbahn (Geotransfer Orbit: GTO), die stark elliptisch ist. Aus dieser Bahn wird er dann später auf die geostationäre Bahn beschleunigt.
a)
Start in Kourou (franz. Guyana)
b)
Transferbahn (Inklination \(10,5^\circ \));
Erdnächster Punkt (Perigäum): \(200\rm{km}\)
Erdfernster Punkt (Apogäum): \(36000\rm{km}\)
(Griechisch Geo: Erde; Peri: In der Nähe; Apo: In der Ferne)
Hinweis: Diese Aufgabe können Sie nur lösen, wenn Sie die Seite über das Gravitationsfeld durchgearbeitet haben.
a)
Berechnen Sie die Gesamtenergie eines Satelliten der Masse \(5,0\rm{t}\), der von einer Ariane-5-Rakete in eine Höhe von \(200\rm{km}\) über der Erdoberfläche gebracht wurde (Perigäum = erdnächster Bahnpunkt) und dort die Geschwindigkeit \({10250\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) besitzt.
Berechnung der Gesamtenergie (vgl. auch Seite über das Gravitationsfeld):
\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,Per}}}} = - G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{r_{\rm{E}}} + {h_{{\rm{Per}}}}}} + \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{S}}} \cdot {v_{{\rm{Per}}}}^2\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,Per}}}} = - 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{5,0 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}} \cdot 5,98 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{6,368 \cdot {{10}^6}{\rm{m}} + 0,200 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}}} + \frac{1}{2} \cdot 5,0 \cdot {10^3}{\rm{kg}} \cdot {\left( {10250\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = - 4,00 \cdot {10^{10}}{\rm{J}}\]
b)
Welche Geschwindigkeit \({v_{{\rm{Apo}}}}\) besitzt dieser Satellit im Apogäum (= erdfernster Bahnpunkt in der Höhe \(36000\rm{km}\) über der Erdoberfläche ), wenn auf dem Weg vom erdnächsten zum erdfernsten Punkt keine Triebwerke eingeschaltet waren?
Die Gesamtenergie im Apogäum ist gleich der Gesamtenergie im Perigäum. Hieraus lässt sich die Geschwindigkeit im Apogäum berechnen:
\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,Apo}}}} = - G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{r_{\rm{E}}} + {h_{{\rm{Apo}}}}}} + \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{S}}} \cdot {v_{{\rm{Apo}}}}^2 \Rightarrow {v_{{\rm{Apo}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot \left( {{E_{{\rm{ges}}{\rm{,Apo}}}} + G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{r_{\rm{E}}} + {h_{{\rm{Apo}}}}}}} \right)}}{{{m_{\rm{S}}}}}} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{v_{{\rm{Apo}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot \left( { - 4,00 \cdot {{10}^{10}}{\rm{J}} + 6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{5,0 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}} \cdot 5,98 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{6,368 \cdot {{10}^6}{\rm{m}} + 36,000 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}}}} \right)}}{{5,0 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}}}}} = 1680\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Bestimmungsstücke der Transferbahn
a)
Bestimmen Sie die große Halbachse der elliptischen Transferbahn.
Welche Umlaufdauer hätte der Satellit auf dieser Transferbahn?
Wie lange braucht er vom Perigäum bis zum Apogäum?
Das 3. Keplersche Gesetz besagt
\[\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = {C_{\rm{E}}} \Rightarrow T = \sqrt[3]{{{C_{\rm{E}}} \cdot {a^3}}}\quad(1)\]
Berechnung der Konstanten:
\[{C_{\rm{E}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{G \cdot {m_{\rm{E}}}}} \Rightarrow {C_{\rm{E}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 5,98 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}} = 9,90 \cdot {10^{ - 14}}\frac{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]
Daraus ergibt sich mit \((1)\) für die Umlaufdauer \(T\)
\[T = \sqrt[3]{{9,90 \cdot {{10}^{ - 14}}\frac{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot {{\left( {24468 \cdot {{10}^3}{\rm{m}}} \right)}^3}}} = 3,81 \cdot {10^4}{\rm{s}} = 10,6{\rm{h}}\]
Der Satellit benötigt also \(5,3\rm{h}\), um vom Perigäum zum Apogäum zu gelangen.
Nach dem Erreichen des Apogäums werden beim Satelliten die sogenannten Apogäumsmotoren gezündet, um den Satelliten so zu beschleunigen, dass er die für die geostationäre Bahn notwendige Geschwindigkeit \({{v_{{\rm{Geo}}}} = 3067\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) erreicht.
Apogäumsbeschleunigung
Welche mittlere Schubkraft müssen die Apogäumsmotoren entwickeln, wenn sie insgesamt 30 Minuten in Betrieb sind? Die Massenabnahme des Satelliten auf Grund des Treibstoffausstoßes ist zu vernachlässigen.
Für die mittlere Beschleunigung gilt
\[\bar a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{{v_{{\rm{Geo}}}} - {v_{{\rm{Apo}}}}}}{{\Delta t}} \Rightarrow \bar a = \frac{{3067\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 1680\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1800{\rm{s}}}} = 0,77\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
und damit für den Betrag der mittleren Schubkraft
\[\bar F = m \cdot \bar a \Rightarrow \bar F = 5,0 \cdot {10^3}{\rm{kg}} \cdot 0,77\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 390{\rm{N}}\
Einsatzmöglichkeiten geostationärer Satelliten
Für welche Einsatzmöglichkeiten sind geostationären Satelliten besonders geeignet? Informieren Sie sich in geeigneter Literatur oder im Internet.
Geostationäre Satelliten werden z. B. eingesetzt als:
Moderner Wettersatellit