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Ausblick

Effektives Potential

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Unter rein energetischen Gesichtspunkten könnten sich Trabanten dem Zentralkörper beliebig nähern oder sich beliebig weit von ihm entfernen.
  • Die Drehbewegung eines Trabanten, genauer die Erhaltung des Drehimpulses des Trabanten, sorgt aber dafür, dass sich der Abstand zwischen Zentralkörper und Trabant nur in gewissen Grenzen bewegen kann.
  • Man kann diese Einschränkung elegant durch das sogenannte effektive Potential ausdrücken.

Warum bleibt ein Trabant auf seiner festen, elliptischen Umlaufbahn und bewegt sich nicht mal näher oder mal weiter vom Zentralkörper entfernt? Aus energetischen Gesichtspunkten wäre dies möglich: die Gesamtenergie\[E_{\rm{ges}} = E_{\rm{kin}} + E_{\rm{pot}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\]könnte sich anders auf kinetische und potenzielle Energie aufteilen, der Trabant könnte sich z.B. bei geringerer potenzieller Energie beliebig nahe zum Zentralkörper hin bewegen (\(r\) wäre dann kleiner) und die geringere potenzielle Energie durch eine größere kinetische Energie und damit eine größere Bahngeschwindigkeit (\(v\) wäre dann größer) ausgleichen.

Dies geschieht jedoch nicht. Trabanten bewegen sich zwar auf den elliptischen Bahnen mal etwas näher, mal etwas weiter vom Zentralkörper entfernt, dies aber nur in ganz bestimmten festen Grenzen. Der Grund hierfür ist die zweidimensionale Drehbewegung der Trabanten um den Zentralkörper, die den Trabanten bestimmte Einschränkungen auferlegt. Bei einer Drehbewegung bleibt nämlich eine weitere physikalische Größe, der sogenannte Drehimpuls erhalten. Den Drehimpuls behandeln wir in einem getrennten Kapitel ausführlicher, die wichtigsten Ergebnisse werden wir im Folgenden nutzen.

In diesem Artikel zeigen wir, wie die Erhaltung des Drehimpulses von Trabanten zu ihren gebundenen Bahnen führt.

Beschreibung von periodischen Bewegungen in einer Ebene durch Polarkoordinaten

Abb. 1 Umrechnung von Kartesischen- in Polarkoordinaten

Periodische Bewegungen, die in einer Ebene stattfinden, beschreibt man am einfachsten durch sogenannte Polarkoordinaten. Dabei wird ein Punkt im Koordinatensystem nicht durch seine kartesischen Koordinaten auf der \(x\)- und der \(y\)-Achse beschrieben, sondern durch den Abstand \(r\) des Punktes zum Koordinatenursprung und der Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen der Verbindungsstrecke Koordinatenursprung-Punkt und der \(x\)-Achse. Den Zusammenhang zwischen den Kartesischen Koordinaten \(x\) und \(y\) und den Polarkoordinaten \(r\) und \(\varphi\) kannnst du Abb. 1 entnehmen. Es ergibt sich\[\begin{array}{*{20}{c}}{x = r \cdot \cos \left( \varphi  \right)}\\{y = r \cdot \sin \left( \varphi  \right)}\end{array}\]Auch die Geschwindigkeitskoordinaten \(v_x = \dot x\) und \(v_y = \dot y\) kann man in Polarkoordinaten umrechnen. Mit Hilfe von Produktregel und Kettenregel ergibt sich\[\begin{array}{*{20}{c}}{\dot x = \dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) - r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \dot \varphi }\\{\dot y = \dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) + r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \dot \varphi }\end{array}\]bzw. mit der bekannten Winkelgeschwindigkeit \({\omega  = \dot \varphi }\)\[\begin{array}{*{20}{c}}{\dot x = \dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) - r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \omega }\\{\dot y = \dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) + r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \omega }\end{array}\]

Beschreibung der Gesamtenergie in Polarkoordinaten

Wir werden nun die Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}}\) eines Trabanten bei seiner Bewegung um den Zentralkörper ebenfalls durch Polarkoordinaten ausdrücken. Folgende Punkte werden wir nutzen:

  • Der Radius \(r\) aus dem Term für die potenzielle Energie ist bereits die Polarkoordinate \(r\).

  • Das Geschwindigkeitsquadrat \({v^2} = v_x^2 + v_y^2\) aus der kinetischen Energie schreibt sich in Polarkoordinaten (Den Beweis findest du in der Fußnote 1 weiter unten)\[{v^2} = {{\dot r}^2} + {r^2} \cdot {\omega ^2} \quad (1)\]

  • Der Drehimpuls \(\vec L\) hat den konstanten Betrag (Den Beweis findest du in der Fußnote 2 weiter unten)\[L = m \cdot {r^2} \cdot \omega \quad (2)\]

Damit ergibt sich\[\begin{array}{*{20}{l}}{{E_{{\rm{ges}}}}}&{ = {E_{{\rm{kin}}}} + {E_{{\rm{pot}}}}}\\{}&{ = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\\{}&{\underbrace  = _{(1)}\frac{1}{2} \cdot m \cdot \left( {{{\dot r}^2} + {r^2} \cdot {{\dot \varphi }^2}} \right) - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\\{}&{ = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\dot r}^2} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {r^2} \cdot {{\dot \varphi }^2} - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\\{}&{ = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\dot r}^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m^2} \cdot {r^4} \cdot {{\dot \varphi }^2}}}{{m \cdot {r^2}}} - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\\{}&{\underbrace  = _{(2)}\underbrace {\frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\dot r}^2}}_{ = :\;{E_{{\rm{kin}}{\rm{,radial}}}}} + \underbrace {\frac{1}{2} \cdot \frac{{{L^2}}}{{m \cdot {r^2}}} - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}_{ = :\;{E_{{\rm{pot}}{\rm{,eff}}}}}}\end{array}\]

  • Der erste Summand\[{E_{{\rm{kin,radial}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\dot r}^2}\]aus dem letzten Term ist nur von der Radialgeschwindigkeit \(\dot r\) abhängig; er beschreibt die kinetische Energie des Trabanten allein in radialer Richtung, d.h. die kinetische Energie, die der Trabant bei der reinen Änderung des Abstandes zum Zentralkörper besitzt.

  • Der zweite Summand\[{E_{{\rm{pot,eff}}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{L^2}}}{{m \cdot {r^2}}} - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\]hingegen ist nur noch vom Radius \(r\) selbst abhängig (Beachte: \(L\) ist konstant!); er beschreibt das sogenannte effektive Potenzial, das der Trabant aufgrund seines Abstandes \(r\) zum Zentralkörper besitzt.

Abb. 2 Effektives Potential \(E_{{\rm{pot,eff}}}\) in Abhängigkeit vom Abstand \(r\)

Die Abhängigkeit des effektiven Potentials \(E_{{\rm{pot,eff}}}\) vom Abstand \(r\) ist in Abb. 2 dargestellt. Der Graph ist dabei außer von der Variablen \(r\) noch von den Parametern \(m\), \(M\) und \(L\) abhängig, die für jeden Trabanten aber konstant sind. Du kannst Folgendes erkennen:

Das effektive Potenzial hat ein Minimum bei einem bestimmten Abstand \(r_0\) des Trabanten zum Zentralkörper. Hat ein Trabant genau die entsprechende Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}}\), so muss er sich auf einer Kreisbahn um den Zentralkörper bewegen und kann seinen Abstand nicht verändern.

Hat der Trabant dagegen mehr Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}}\) (aber \(E_{\rm{ges}}<0\), so kann er sich in verschiedenen Abständen vom Zentralkörper, genauer zwischen zwei Radien \(r_{min}\) und \(r_{max}\) befinden. Die Energie reicht aber nicht aus, um einen geringeren oder einen größeren Abstand vom Zentralkörper zu erreichen. Die Differenz aus der Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}}\) und dem effektiven Potenzial \(E_{{\rm{pot,eff}}}\) ist bei \(r_{min}\) und \(r_{max}\) Null und dazwischen genau die radiale kinetische Energie \({E_{{\rm{kin,radial}}}}\), die der Trabant bei der Abstandsänderung besitzt.

Hat der Trabant noch mehr Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}} \ge 0\), so kann er sich beliebig weit vom Zentralkörper weg bewegen, aber nur einen minimalen Abstand zum Zentralkörper erreichen.

Fußnoten

1 Nachweis von \({v^2} = {{\dot r}^2} + {r^2} \cdot {{\omega }^2}\)

\[\begin{eqnarray}{v^2} &=&{{v_x}^2} + {{v_y}^2}\\ &=&{{\dot x}^2} + {{\dot y}^2}\\ &=& {\left( {\dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) - r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right)^2} + {\left( {\dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) + r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right)^2}\\ &=& {{\dot r}^2} \cdot {\cos ^2}\left( \varphi  \right)\underline { - 2 \cdot \dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \omega }  + {r^2} \cdot {\sin ^2}\left( \varphi  \right) \cdot {{\omega }^2} + {{\dot r}^2} \cdot {\sin ^2}\left( \varphi  \right)\underline { + 2 \cdot \dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \omega }  + {r^2} \cdot {\cos ^2}\left( \varphi  \right) \cdot {{\omega }^2}\\ &=& {{\dot r}^2} \cdot {\cos ^2}\left( \varphi  \right) + {{\dot r}^2} \cdot {\sin ^2}\left( \varphi  \right) + {r^2} \cdot {\sin ^2}\left( \varphi  \right) \cdot {{\omega }^2} + {r^2} \cdot {\cos ^2}\left( \varphi  \right) \cdot {{\omega }^2}\\ &=& {{\dot r}^2} \cdot {\underbrace {\left({{\cos }^2}\left( \varphi  \right) + {{\sin }^2}\left( \varphi  \right)\right)}_{ = \;1}} + {r^2} \cdot {{\omega }^2} \cdot {\underbrace {\left({{\cos }^2}\left( \varphi  \right) + {{\sin }^2}\left( \varphi  \right) \right)}_{ = \;1}}\\ &=& {{\dot r}^2} + {r^2} \cdot {{\omega }^2}\end{eqnarray}\]

1 Nachweis von \(L = m \cdot {r^2} \cdot \omega \)

Abb. 3 Drehimpuls bei einer ebenen Drehbewegung

\[\vec L = \vec r \times \vec p = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\\0\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{m \cdot \dot x}\\{m \cdot \dot y}\\0\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\{x \cdot m \cdot \dot y - y \cdot m \cdot \dot x}\end{array}} \right)\]

\[\begin{eqnarray}L = {L_z} &=& x \cdot m \cdot \dot y - y \cdot m \cdot \dot x\\ &=& m \cdot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \left( {\dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) + r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right) - m \cdot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \left( {\dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) - r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right)\\ &=& m \cdot \left( {\underline {r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right)}  + r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \omega \underline { - r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right)}  + r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right)\\ &=& m \cdot \left( {{r^2} \cdot {{\cos }^2}\left( \varphi  \right) \cdot \omega  + {r^2} \cdot {{\sin }^2}\left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right)\\ &=& m \cdot {r^2} \cdot \omega  \cdot {\underbrace {\left({{\cos }^2}\left( \varphi  \right) + {{\sin }^2}\left( \varphi  \right)\right)}_{ = \;1}} \\ &=& m \cdot {r^2} \cdot \omega \end{eqnarray}\]