Gravitationsgesetz und -feld

Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld

  • Wo endet eigentlich die Erdanziehungskraft?
  • Was ist die Ursache der Gravitation?
  • Ziehen sich wirklich alle Körper gegenseitig an?

Neben den drei von ihm formulierten Axiomen (Trägheitssatz, Kraftgesetz und Wechselwirkungsgesetz) dürfte das Gravitationsgesetz, welches die Kraftwirkung zwischen zwei Körpern beschreibt, eine der wichtigsten Errungenschaften sein, die wir dem Genie Isaac NEWTON zu verdanken haben. Angeblich soll NEWTON die Idee zum Gravitationsgesetz gekommen sein, als er einen fallenden Apfel beobachtet hat.

Das Graviationsgesetz beschreibt die Kräfte zwischen zwei Körpern 1 und 2 mit den Massen \(m_1\) und \(m_2\), deren Schwerpunkte sich in einem Abstand \(r\) voneinander befinden. Dabei bezeichnen wir die beiden Kräfte mit \({\vec F}_{12}\) (Kraft, die Körper 1 auf Körper 2 ausübt) und \({\vec F}_{21}\) (Kraft, die Körper 2 auf Körper 1 ausübt); die beiden Kräfte sind nach dem 3. NEWTONschen Axiom entgegengesetzt gerichtet und betragsgleich, d.h. \(F = \left| {{{\vec F}_{12}}} \right| = \left| {{{\vec F}_{21}}} \right|\). Die folgende Animation zeigt die prinzipielle Abhängigkeit der beiden Kräfte \({\vec F}_{12}\) und \({\vec F}_{21}\) von den Größen \(m_1\), \(m_2\) und \(r\).

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Man kann erkennen, dass

• bei festem Abstand \(r\) die Gravitationskraft mit der Zunahme der beiden Massen \(m_1\) und \(m_2\) ebenfalls zunimmt

• bei festen Massen \(m_1\) und \(m_2\) die Gravitationskraft mit der Zunahme des Abstandes \(r\) dagegen abnimmt.

Sowohl die - auf den Beobachtungen der Planetenbewegung von Johannes KEPLER beruhenden - Überlegungen von NEWTON, die weiter unten nachvollzogen werden, als auch die experimentellen Ergebnisse von Henry CAVENDISH, Loránt EÖTVÖS (vgl. die entsprechenden Informationen in den Reitern Versuche und Geschichte) führen zu folgendem Ergebnis:

Das Gravitationsgesetz von NEWTON

Zwei beliebige Körper 1 und 2 üben aufgrund ihrer Massen aufeinander anziehende Kräfte \({\vec F}_{12}\) (Kraft, die Körper 1 auf Körper 2 ausübt) und \({\vec F}_{21}\) (Kraft, die Körper 2 auf Körper 1 ausübt) aus; diese Kräfte bezeichnen wir als Gravitationskräfte.

Die Richtung dieser Kräfte verläuft auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte der beiden Körper, die beiden Kräfte sind (wegen des Wechselwirkungsgesetzes) entgegengesetzt gerichtet.

Die beiden Kräfte \({\vec F}_{12}\) und \({\vec F}_{21}\) haben (wegen des Wechselwirkungsgesetzes) den gleichen Betrag \(F\); dieser ist proportional zu den Massen \(m_1\) und \(m_2\) der beiden Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes \(r\) ihrer beiden Schwerpunkte:
\[F = G \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\]
Der Proportionalitätsfaktor \(G\) heißt Gravitationskonstante und hat den Wert \(G = 6,673 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)

Vorbemerkungen

Während KEPLER und seine Vorläufer sich im Wesentlichen damit beschäftigten, wie sich ein Planet bewegt, ist NEWTON aufgrund seiner Axiome als erster in der Lage auch die Frage "warum sich ein Planet gerade so bewegt" anzugehen. NEWTON treibt also nicht nur Kinematik, sondern Dynamik.

Um die Gedankengänge NEWTONs nachvollziehen zu können, geht man in der Schule der Einfachheit halber davon aus, dass sich die Planeten auf Kreisbahnen bewegen. Nach dem KEPLERschen Flächensatz (2. Gesetz von KEPLER) folgt daraus, dass die Planeten eine gleichförmige Kreisbewegung ausführen.

Das Größenverhältnis und die Umlaufdauer in der Animation stimmen nicht mit den realen Zahlen überein.

Bild der Erde von NASA [Public domain], via Wikimedia Commons

Rotation eines Himmelskörpers der Masse \(m\) (z.B. der Mond) um einen Zentralkörper der Masse \(M\) (z.B. die Erde)

NEWTON schreibt im Rückblick auf seine Entdeckung des Gravitationsgesetzes:

"Im selben Jahr (1666) begann ich darüber nachzudenken, ob die Schwerkraft bis zur Umlaufbahn des Mondes reicht. Nachdem ich herausgefunden hatte, wie die Kraft abzuschätzen ist, mit der eine in einer Kugel umlaufende Kugel auf die Kugel der Oberfläche drückt (wir würden sagen: Untersuchung der Kreisbewegung; Zentripetal und Zentrifugalkraft), leitete ich aus Keplers Regel, nach der sich die periodischen Zeiten der Planeten im Verhältnis drei zu zwei zum Abstand vom Mittelpunkt ihrer Umlaufbahn verhalten, ab, dass die Kräfte, die die Planeten in ihren Umlaufbahnen halten, dem Quadrat ihrer Abstände von jenen Zentren, um die sie laufen, reziprok sein müssen."

Wir zeigen hier die entsprechende Rechnung mit den von uns heute verwendeten Größen. Führt der Himmelskörper der Masse \(m\) eine gleichförmige Kreisbewegung im (Mittelpunkts-)Abstand \(r\) um den Zentralkörper der Masse \(M\) mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) bzw. der Umlaufdauer \(T\) aus, so wirkt die Kraft \(F\) zwischen diesen beiden Massen als Zentripetalkraft. Somit ergibt sich mit der bekannten Formel für die Zentripetalkraft
\[F = {F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot r \cdot {\omega ^2} = m \cdot r \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2} = m \cdot r \cdot \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{{T^2}}} \quad(1)\]
die umgeformte Formel des 3. KEPLERschen Gesetzes
\[\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = C \Leftrightarrow {T^2} = C \cdot {r^3} \quad(2)\]
ein, so erhält man
\[F = m \cdot r \cdot \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{C \cdot {r^3}}} = m \cdot \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{C} \cdot \frac{1}{{{r^2}}} \quad({2^*})\]
womit gezeigt ist, dass
\[F \sim m \cdot \frac{1}{{{r^2}}}\]
Für die Zentripetalbeschleunigung ergibt sich direkt
\[{a_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{m} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{C} \cdot \frac{1}{{{r^2}}}(3)\]
oder aus \((1)\)
\[{a_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{{F_{{\rm{ZP}}}}}}{m} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot r}}{{{T^2}}}\quad(4)\]

Größenverhältnisse und Umlaufdauern in der Animation stimmen nicht mit den realen Zahlen überein.

Bild der Erde von NASA [Public domain], via Wikimedia Commons

Drehung eines Apfels und des Mondes um die Erde

NEWTON schreibt weiter:

"Nun verglich ich anhand dessen die Kraft, die erforderlich ist, um den Mond in seiner Umlaufbahn zu halten, mit der Schwerkraft auf der Erdoberfläche und fand eine ziemlich genaue Entsprechung der beiden. All dies geschah in den beiden Pestjahren 1663 und 1666, denn in jenen Tagen stand ich in der Vollkraft meiner Jahre für die Erfindung und beschäftigte mich mehr als irgendwann seither mit Mathematik und Philosophie."

Wir zeigen hier wieder die entsprechende Rechnung mit den von uns heute verwendeten Größen.

Befindet sich ein Apfel an einem festen Ort auf der Erdoberfläche, so dreht er sich aufgrund der Drehung der Erde um die eigene Achse genau wie der Mond um den Erdmittelpunkt, und zwar im Abstand \({r_{\rm{E}}} = 6,37 \cdot {10^6}{\rm{m}}\) und mit der Umlaufzeit \({T_{\rm{E}}} =24\rm{h}\). Gleichzeitig rotiert der Mond im Abstand \(r=60 \cdot r_{\rm{E}}\) (dies weiß man seit der Antike aus astronomischen Berechnungen) mit der Umlaufzeit \({T_{\rm{M}}} = 27,2{\rm{d}}\) um die Erde. Nach Gleichung \((3)\) gilt nun
\[\frac{{{a_{\rm{A}}}}}{{{a_{\rm{M}}}}} = \frac{{\frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{C} \cdot \frac{1}{{{r_{\rm{E}}}^2}}}}{{\frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{C} \cdot \frac{1}{{{{\left( {60 \cdot {r_{\rm{E}}}} \right)}^2}}}}} = {60^2} = 3600 \Leftrightarrow {a_{\rm{A}}} = 3600 \cdot {a_{\rm{M}}}\quad(5)\]
Die Zentripetalbeschleunigung \({{a_{\rm{M}}}}\) des Mondes berechnet man mittels Gleichung \((4)\) durch
\[{a_{\rm{M}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {r_{\rm{M}}}}}{{{T_{\rm{M}}}^2}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot 60 \cdot {r_{\rm{E}}}}}{{{T_{\rm{M}}}^2}}\]
und Einsetzen der bekannten Werte (s.o.) zu
\[{a_{\rm{M}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot 60 \cdot 6,37 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}}}{{{{\left( {2,36 \cdot {{10}^6}{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 2,72 \cdot {10^{ - 3}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Mit Gleichung \((5)\) ergibt sich für die Zentripetalbeschleunigung des auf der Erdoberfläche befindlichen Apfels
\[{a_{\rm{A}}} = 3600 \cdot 2,72 \cdot {10^{ - 3}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Aufgrund der Übereinstimmung der schon bekannten Erdbeschleunigung \(g\) und der über die Kreisbewegung und mit Hilfe des 3. KEPLERschen Gesetzes berechneten Zentripetalbeschleunigung, erkannte NEWTON, dass kein Unterschied zwischen "irdischer Physik" und "Physik am Himmel" - so wie es seit ARISTOTELES gelehrt wurde - besteht.

Ist \({\vec F_{\rm{P}}}\) die Kraft, welche der Planet auf die Sonne ausübt, \({\vec F_{\rm{S}}}\) die Kraft, welche die Sonne auf den Planeten ausübt und \({r_{{\rm{SP}}}}\) die Entfernung der Mittelpunkte von Sonne und Planet, dann gilt nach dem 3. NEWTONschen Axiom ("actio gegengleich reactio")
\[{{\vec F}_{\rm{S}}} =  - {{\vec F}_{\rm{P}}}\]
bzw. für die Beträge
\[{F_{\rm{S}}} = {F_{\rm{P}}}\quad(8)\]
Mit Hilfe von Gleichung \((2^*)\) ergibt sich nun für \({F_{\rm{S}}}\) (unter Beachtung, dass als Zentralkörper die Sonne fungiert und deshalb \(C = {C_{\rm{S}}}\) ist)
\[{F_{\rm{S}}} = \frac{{{m_{\rm{P}}}}}{{{C_{\rm{S}}}}} \cdot \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{r_{{\rm{SP}}}^2}}\quad(9)\]
bzw. für \({F_{\rm{P}}}\) (unter Beachtung, dass als Zentralkörper der Planet fungiert und deshalb \(C = {C_{\rm{P}}}\) ist)
\[{F_{\rm{P}}} = \frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{{C_{\rm{P}}}}} \cdot \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{r_{{\rm{SP}}}^2}}\quad(10)\]
Damit ergibt sich aus \((8)\)
\[{F_{\rm{S}}} = {F_{\rm{P}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_{\rm{P}}}}}{{{C_{\rm{S}}}}} \cdot \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{r_{{\rm{SP}}}^2}} = \frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{{C_{\rm{P}}}}} \cdot \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{r_{{\rm{SP}}}^2}} \Leftrightarrow \frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{{C_{\rm{P}}}}} = \frac{{{m_{\rm{P}}}}}{{{C_{\rm{S}}}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{S}}} \cdot {C_{\rm{S}}} = {m_{\rm{P}}} \cdot {C_{\rm{P}}}\]
Hieraus sieht man, dass das Produkt aus der Konstanten \(C\) (im dritten Gesetz von KEPLER) und der zugehörigen Zentralmasse \(m\) offensichtlich stets konstant ist. Das Produkt \(m \cdot C\) ist für alle Körper gleich und stellt eine universelle Naturkonstante dar.

Erweitert man z.B. in Gleichung \((9)\) den Bruch auf der rechten Seite mit \({{m_{\rm{S}}}}\), so ergibt sich für die Kraft (Index wird jetzt weggelassen)
\[F = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{{m_{\rm{S}}} \cdot {C_{\rm{S}}}}} \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{P}}}}}{{r_{{\rm{SP}}}^2}}\]
Nach dem bisher Gesagten stellt der vordere Bruch eine Konstante dar, die man als die Gravitationskonstante \(G\) bezeichnet. Somit gilt
\[F = G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{P}}}}}{{r_{{\rm{SP}}}^2}}\]
und losgelöst von Sonne und Planet
\[F = G \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{r_{12}^2}}\]
Für die Gravitationskonstante \(G\) gilt
\[G = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{{m_{\rm{S}}} \cdot {C_{\rm{S}}}}} \Rightarrow G = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{1,99 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}} \cdot 2,97 \cdot {{10}^{ - 19}}\frac{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Notiz am Rande: Der Nachweis, dass die Himmelskörper bei diesen Rechnungen wie Massenpunkte behandelt werden dürfen, stammt ebenfalls von NEWTON.

In der Lehre vom Magnetismus haben wir den Raum um einen Magneten als Magnetfeld (Raum in dem magnetische Kraftwirkungen auftreten) bezeichnet. Analog bezeichnet man den Raum um eine schwere Masse (wie z. B. die Erde) in dem Gravitationskräfte auftreten als Gravitationsfeld.

Ähnlich wie beim Magnetfeld veranschaulicht man die Struktur des Feldes durch Feldlinien. Beim Magnetfeld gab die Richtung der Feldlinie die Kraftrichtung auf einen Nordpol an. Im Gravitationsfeld gibt die Feldlinienrichtung die Richtung der Gravitationskraft auf einen Probekörper (Masse \(m\)) im Feld eines anderen Körpers (Masse \(M\)) der für die folgenden Betrachtungen die Erde ist.

Die durch die Erde bewirkte Gravitationskraft zeigt stets zum Erdmittelpunkt. Also ist das Gravitationsfeld der Erde radialsymmetrisch.

Wenn Sie die Maus auf das Bild bewegen, werden ihnen immer kleinere Ausschnitte aus dem Gravitationsfeld in der Nähe der Erdoberfläche dargestellt. In kleinen Raumbereichen kann man das Erdfeld annähernd als homogen annehmen, d.h. die Feldlinien verlaufen parallel und die Gravitationskraft ist in diesem Raumbereich überall gleich groß.

Bei unseren früheren Betrachtungen sind wir stets von einem streng homogenen Gravitationsfeld in der Nähe der Erdoberfläche ausgegangen (vgl. nebenstehendes idealisiertes Bild).

Von dieser Tatsache haben wir bei der Berechnung der Gewichtskraft \({F_G} = m \cdot g\) Gebrauch gemacht, indem wir unabhängig vom Ort stets das gleiche \(g\) (in der Nähe der Erdoberfläche) angenommen haben.

Sie haben ja bereits Erfahrung mit der Arbeitsberechnung im Gravitationsfeld; für die Hubarbeit im homogenen Bereich des Gravitationsfeldes gilt nämlich bekanntlich
\[\Delta {W_{{\rm{Hub}}}} = F \cdot \Delta h = m \cdot g \cdot \Delta h\]
Dieser Berechnung liegt zu Grunde, dass sich der Betrag der Gravitationskraft längs des Weges nicht ändert, was im homogenenn Bereich gegeben ist.

Wie hat man aber vorzugehen, wenn die Ortsveränderung im Gravitationsfeld so groß ist, dass diese vereinfachende Annahme nicht mehr zulässig ist und man vom Gravitationsgesetz
\[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r^2}}}\]
ausgehen muss? Man kommt der Lösung nahe, wenn man sich an die grafische Interpretation der Arbeitsberechnung erinnert: Die Arbeit wird im Arbeitsdiagramm dargestellt als der Flächeninhalt von Flächen unter \(s\)-\(F\)- bzw. \(h\)-\(F\)- bzw. \(r\)-\(F\)-Graphen.

Die Arbeitsberechnung im Gravitationsfeld erfordert die Berechnung des Flächeninhalts unter einem nicht geradlinigen Graphen. Dies leistet i.A. die Integralrechnung, die Sie später in der Mathematik erlernen werden. Bei unserem speziellen Problem, der Berechnung des Flächeninhalts unter dem \(\frac{1}{{{r^2}}}\)-Graphen, kommen wir auch ohne Intergralrechnung aus, wenn wir geschickt vorgehen.

Zunächst nähern wir die Fläche unter dem \(\frac{1}{{{r^2}}}\)-Graphen durch kleine Rechtecke an (die Annäherung wird besonders gut, wenn wir viele schmale Rechtecke verwenden). Für die Höhe dieser Rechtecke wählen wir einen Mittelwert \(\left\langle F \right\rangle \), der zwischen der maximalen Kraft am linken und der minimalen Kraft am rechten Rand des betrachteten Intervalls liegt. Für den Arbeitsbetrag \(\Delta W_1\), der dem ersten (linken) Rechteck zugeordnet ist, gilt
\[\Delta {W_{\rm{1}}} = \left\langle F \right\rangle  \cdot \left( {{r_2} - {r_1}} \right) \quad(1)\]
Eine brauchbare Näherung für \(\left\langle F \right\rangle \) ist das geometrische Mittel aus \(F_1\) und \(F_2\):
\[\begin{eqnarray}\left\langle F \right\rangle  &=& \sqrt {{F_1} \cdot {F_2}} \\ &=& \sqrt {G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r_1}^2}} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r_2}^2}}} \\ &=& G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r_1} \cdot {r_2}}} \quad(2)\end{eqnarray}\]
Setzt man \((2)\) in \((1)\) ein, so erhält man
\[\Delta {W_{\rm{1}}} = G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r_1} \cdot {r_2}}} \cdot \left( {{r_2} - {r_1}} \right) = G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_1} \cdot {r_2}}} - \frac{{{r_1}}}{{{r_1} \cdot {r_2}}}} \right) = G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_1}}} - \frac{1}{{{r_2}}}} \right)\]
Man erhält die gesamte Arbeit \(\Delta {W_{{\rm{ges}}}}\), indem man alle Teilarbeiten aufaddiert:
\[\begin{eqnarray}\Delta {W_{{\rm{ges}}}} &=& \Delta {W_{\rm{1}}} + \Delta {W_{\rm{2}}} + \Delta {W_{\rm{3}}} + ... + \Delta {W_{{\rm{n - 1}}}}\\ &=& G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_1}}} - \frac{1}{{{r_2}}}} \right) + G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{r_3}}}} \right) + G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_3}}} - \frac{1}{{{r_4}}}} \right) + ... + G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{r_n}}}} \right)\\ &=& G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\left( {\frac{1}{{{r_1}}} - \frac{1}{{{r_2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{r_3}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{r_3}}} - \frac{1}{{{r_4}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{r_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{r_n}}}} \right)} \right)\\ &=& G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_1}}}\underbrace { - \frac{1}{{{r_2}}} + \frac{1}{{{r_2}}}}_{ = 0}\underbrace { - \frac{1}{{{r_3}}} + \frac{1}{{{r_3}}}}_{ = 0}\underbrace { - \frac{1}{{{r_4}}} + ... + \frac{1}{{{r_{n - 1}}}}}_{ = 0} - \frac{1}{{{r_n}}}} \right)\\ &=& G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_1}}} - \frac{1}{{{r_n}}}} \right)\\ &=& G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_{\rm{A}}}}} - \frac{1}{{{r_{\rm{E}}}}}} \right)\end{eqnarray}\]

Die Abbildung rechts zeigt nun die Gesamtarbeit \(\Delta {W_{{\rm{ges}}}}\), die man benötigt, um einen Körper von der Erdoberfläche \(r_{\rm{A}}\) bis hin zu einer Entfernung \(r\) vom Erdmittelpunkt zu bewegen. Man sieht an dem Graphen, dass die Arbeit mit wachsendem \(r\) in unmittelbarer Nähe der Erdoberfläche stark zunimmt. Je weiter man sich jedoch von der Erde entfernt, desto geringer ist die Zunahme der Gesamtarbeit für eine bestimmte Strecke. Dies ist auf Grund der \(\frac{1}{{{r^2}}}\)-Abhängigkeit der Gravitationskraft auch zu vermuten.

Potenzielle Energie im Gravitationsfeld

Bringt man einen Körper der Masse \(m\) (z.B. einen Satelliten) im Gravitationsfeld eines Körpers der Masse \(M\) (z.B. der Erde) vom Abstand \(r_{\rm{A}}\) (A: Anfang) zum Abstand \(r_{\rm{E}}\) (E: Ende) (Abstände gemessen vom Erdmittelpunkt), so ist die dabei verrichtete Arbeit
\[\Delta W = G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_{\rm{A}}}}} - \frac{1}{{{r_{\rm{E}}}}}} \right)\]
zu verrichten (die Herleitung dieser Formel erfolgte im Punkt "Arbeit im Gravitationsfeld"). Für die potenzielle Energie im Gravitationsfeld gilt
\[{E_{{\rm{pot}}{\rm{,E}}}} - {E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}} = \Delta W \Leftrightarrow {E_{{\rm{pot}}{\rm{,E}}}} = {E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}} + \Delta W\]
Wie du vielleicht noch aus früheren Kapiteln weißt, ist die Festlegung des Nullpunktes der potenziellen Energie freigestellt.

Wählt man z.B. als Ausgangspunkt der Reise im Gravitationsfeld der Erde einen Punkt der Erdoberfläche, so könnte man diesem Punkt die potenzielle Energie Null zuordnen, d. h. es gilt dann \({E_{{\rm{pot,A}}}} = 0\). Für die potenzielle Energie des beliebig gewählten Endabstandes \({r = {r_{\rm{E}}}}\) ergibt sich dann
\[{E_{{\rm{pot}}}}(r) = G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}} - \frac{1}{r}} \right)\;;\;r \ge {r_{{\rm{Erde}}}}\]
Der Verlauf der potenziellen Energie in Abhängigkeit von \(r\) ist in der nebenstehenden Graphik dargestellt.

Meist wird jedoch als Nullpunkt der potenziellen Energie der unendlich ferne Punkt gewählt, da dann die Formel für die Arbeit \(\Delta W\) besonders einfach wird (\({{r_{\rm{A}}} \to \infty }\) und \({\frac{1}{{{r_{\rm{A}}}}} \to 0}\), \({r = {r_{\rm{E}}}}\))
\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot}}}}(r) &=& G \cdot m \cdot M \cdot \left( {0 - \frac{1}{r}} \right)\;\\&=&- G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r};\;r \ge {r_{{\rm{Erde}}}}\end{eqnarray}\]
Der Verlauf der potenziellen Energie in Abhängigkeit von \(r\) für diese Festsetzung des Nullpunkts der potenziellen Energie ist in der nebenstehenden Graphik dargestellt.

Man sieht, dass bei dieser Nullpunktswahl die potenzielle Energie eines Punktes auf der Erdoberfläche negativ ist.

Man sieht aber auch, dass – unabhängig von der Wahl des Nullpunktes der potenziellen Energie – die Änderung der potenziellen Energie, d.h. die verrichtete Arbeit beim Weg von einem Abstand \(r’\) zu einem Abstand \(r’’\) in beiden Systemen die gleiche ist.

Kinetische Energie

Befindet sich ein Körper der Masse \(m\) (z. B. ein Satellit) auf einer Umlaufbahn um den Zentralkörper der Masse \(M\) (z. B. die Erde), so besitzt der neben der in oben berechneten potenziellen Energie auch noch kinetische Energie (sonst würde z.B. der Satellit sofort auf die Erde stürzen). Für die kinetische Energie gilt
\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\]
Durchläuft der Körper annähernd eine Kreisbahn, so wirkt als Zentripetalkraft die Gravitationskraft, d.h. es gilt
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r}\]
Somit ergibt sich für die kinetische Energie ein stets positiver Ausdruck der dem Betrag nach halb so groß ist, wie die potenzielle Energie.
\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r} = \frac{1}{2} \cdot \left| {{E_{{\rm{pot}}}}} \right|\]

Gesamtenergie im Gravitationsfeld

Die Gesamtenergie ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie:
\[{E_{{\rm{ges}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} + {E_{{\rm{pot}}}} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r} + \left( {-G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}} \right) =-\frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r};\;r \ge {r_{{\rm{Erde}}}}\]
Die Gesamtenergie ist also bei der Wahl des Nullpunktes der potenziellen Energie im Unendlichen stets negativ. Man muss also Energie in das System Erde-Satellit stecken, um den Satelliten ins Unendliche (aus dem Anziehungsbereich der Erde) zu bringen. Wäre dies nicht so, so könnte die Erde keinen Satelliten in einem "gebundenen" Zustand halten (ebenso könnte die Erde in keinem "gebundenen" Zustand beim Zentralkörper Sonne sein).

Die Kreisgeschwindigkeit \(v_1\) (1. Kosmische Geschwindigkeit)

Zeichnung aus dem 3. Buch von NEWTONs Principia. (Die ursprüngliche Ausgabe erschien 1687, die Zeichnung stammt aus einer von A. Motte bearbeiteten Fassung von 1728). Dargestellt ist der Zusammenhang zwischen Wurfbewegung und Satellitenbewegung.

Unsere Erfahrung sagt uns, dass ein geworfener Stein wieder zur Erde fällt. Auch eine abgeschossene Kanonenkugel bleibt nicht oben. Angenommen man könnte einen Stein von einem sehr hohen Berg mit großer Geschwindigkeit waagerecht wegschleudern: Auf welcher Bahnkurve wird sich dieser Stein bewegen? Über diese Frage dachte bereits Isaac NEWTON im 17. Jahrhundert nach, und er kam zu dem Schluss, dass bei einer bestimmten Geschwindigkeit der Stein den Erdboden nicht mehr erreichen, sondern unendlich lang um die Erde herumfallen wird.

Tatsächlich umkreist ein Körper die Erde, wenn er nur mit genügend großer Geschwindigkeit tangential zur Erdoberfläche abgeschossen wird. Die Kreisgeschwindigkeit \(v_1\) oder 1. Kosmische Geschwindigkeit ist diejenige Geschwindigkeit, die ein Körper haben müsste, um auf einer Kreisbahn im Abstand \(r_{\rm{Erde}}\) vom Erdmittelpunkt um die Erde zu kreisen (natürlich ist eine Kreisbewegung direkt an der Erdoberfläche aufgrund der Erhebungen und der Luftreibung real nicht möglich). Das ist die Geschwindigkeit, bei der ein waagerecht weggeworfener Stein gerade nicht mehr auf die Erde fallen würde. Um diese Bedingung zu erfüllen, muss als Zentripetalkraft genau die Gravitationskraft auf der Erdoberfläche wirken, d.h.
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow \frac{{m \cdot {v_1}^2}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}} = G \cdot \frac{{m \cdot M_{{\rm{Erde}}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \Rightarrow {v_1} = \sqrt {G \cdot \frac{M_{{\rm{Erde}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}}} \]

Aufgabe: 1. Kosmische Geschwindigkeit

a)

Berechne die 1. Kosmische Geschwindigkeit für die Erde in \(\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\) und \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).

b)

Berechne die Kreisgeschwindigkeit für einen Satelliten, der sich auf einer Kreisbahn in \(400\rm{km}\) Höhe über der Erdoberfläche befindet, in \(\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\) und \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).

Die Fluchtgeschwindigkeit \(v_2\) (2. Kosmische Geschwindigkeit)

Wird ein Körper mit einer Geschwindigkeit abgeschossen, die größer ist als die 1. kosmische Geschwindigkeit, so entfernt er sich von der Erde. Hierbei wird ein Teil seiner kinetischen Energie in potentielle umgewandelt. Der Satellit beschreibt eine Ellipsenbahn. Sie berührt jedoch im Abschusspunkt die Erde. Deswegen würde auch dieser Satellit abstürzen, da er nach einer Umrundung der Erde wieder in die Atmosphäre eintaucht und so der Luftreibung ausgesetzt ist. Um dies zu vermeiden muss die Bahn nach dem Abschuss korrigiert werden. Steigert man die Abschussgeschwindigkeit des Satelliten immer weiter, so erreicht er schließlich eine Geschwindigkeit, bei der er sich von der Erde entfernt und nie mehr zu ihr zurückkehrt. Damit ein Körper aus dem Anziehungsbereich der Erde gebracht werden kann, muss man ihm beim Start mindestens soviel kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}}\) mitgeben, dass diese die Differenz zwischen Endenergie und Anfangsenergie übersteigt. Im Grenzfall gilt dann
\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}} = {E_E} - {E_A} = 0 - \left( { - G \cdot m \cdot M_{{\rm{Erde}}} \cdot \frac{1}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}}} \right)\]
Einsetzen der entsprechenden Terme liefert dann
\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_2}^2 = G \cdot m \cdot M_{{\rm{Erde}}} \cdot \frac{1}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}} \Rightarrow {v_2} = \sqrt {2 \cdot G \cdot \frac{M_{{\rm{Erde}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}}}  = \sqrt 2  \cdot {v_1}\]

Aufgabe: 2. Kosmische Geschwindigkeit

a)

Berechne die 2. Kosmische Geschwindigkeit für die Erde in \(\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\) und \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).

b)

Berechne die Fluchtgeschwindigkeit für einen Satelliten, der sich auf einer Kreisbahn in \(400\rm{km}\) Höhe über der Erdoberfläche befindet, in \(\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\) und \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).

Hinweis: Je nach Größe der Gesamtenergie \({E_{{\rm{ges}}}}\) eines Körpers, der sich im Gravitationsfeld eines Zentralkörpers befindet ergeben sich unterschiedliche Bahnen, die in der Mathematik als Kegelschnitte bezeichnet werden:

  \[{E_{{\rm{ges}}}} < 0\] Ellipsen- oder Kreisbahn mit Zentralkörper in einem Brennpunkt
  \[{E_{{\rm{ges}}}} = 0\] Parabelbahn
  \[{E_{{\rm{ges}}}} > 0\] Hyperbelbahn

Für viele Rechnungen benötigen Sie astronomische Daten unseres Sonnensystems, das inzwischen schon sehr gut erforscht ist. Beachten Sie bei den Rechenaufgaben die folgenden Punkte:

Achten Sie bei der Aufgabenstellung sehr genau darauf, von welchen Daten Sie ausgehen dürfen.

Vermeiden Sie Einheitenfehler, indem Sie konsequent im Meter-Kilogramm-Sekunden-System (MKS-System) arbeiten. D.h. zum Beispiel, dass Längenangaben in \(\rm{km}\) sofort in \(\rm{m}\) umgewandelt werden, ebenso schreibt man die Umlaufdauern in Sekunden an. Dies ist zwar nicht immer der schnellste Weg, jedoch vermeidet man dadurch dumme Fehler.

Erde

Masse: \({m_{\rm{E}}} = 5,977 \cdot {10^{24}}{\rm{kg}}\)

Mittlerer Radius: \({R_{\rm{E}}} = 6368{\rm{km}} = 6,368 \cdot 10^6{\rm{m}}\)

Mittlerer Bahnradius um die Sonne: \({r_{\rm{E}}} = 1,496 \cdot {10^8}{\rm{km}} = 1,496 \cdot {10^{11}}{\rm{m}}\)

Umlaufzeit um die Sonne: \({T_{\rm{E}}} = 365,25{\rm{d}}\)

Neigung der Erdachse gegenüber der Bahnebene: \(66,5^\circ \)

Sonne

Masse: \({m_{\rm{S}}} = 1,98 \cdot {10^{30}}{\rm{kg}}\)

Mittlerer Radius: \({R_{\rm{S}}} = 9,96 \cdot 10^5{\rm{km}}= 9,96 \cdot 10^8{\rm{m}}\)

Fallbeschleunigung auf der Oberfläche: \({g_{\rm{S}}} = 275\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)

Solarkonstante (Strahlungsleistung) auf der Erde: \(S = 1,367\frac{{{\rm{kW}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\)

Mond

Masse: \({m_{\rm{M}}} = 7,349 \cdot {10^{22}}{\rm{kg}}\) (\(0,0123 \cdot {m_{\rm{E}}}\))

Mittlerer Radius: \({R_{\rm{M}}} = 1738{\rm{km}} = 1,738 \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^6}{\rm{m}}\) (\(0,273 \cdot {R_{\rm{E}}}\))

Mittlerer Bahnradius um die Erde: \({r_{\rm{M}}} = 384400{\rm{km}} = 3,844 \cdot {10^8}{\rm{m}}\) (\(60,3 \cdot {R_{\rm{E}}}\))

Umlaufzeit um die Erde: \({T_{\rm{M}}} = 27,1{\rm{d}}\)

Fallbeschleunigung auf der Oberfläche: \({g_{\rm{M}}} = 1,63\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)

Unser Sonnensystem besitzt 8 Planeten (und viele kleinere Planetoiden; Pluto ist seit einigen Jahren kein Planet mehr, wir führen ihn dennoch häufig noch mit auf), die um die Sonne kreisen, sowie eine große Anzahl von Monden, die um diese Planeten und Planetoiden kreisen. Jeder dieser Himmelskörper weist an seiner Oberfläche einen bestimmte Fallbeschleunigung \(g\) auf. Die Oberfläche der Planeten ist nicht immer fest. Bei gasförmigen Planeten nimmt man die äußere Gasschicht als Oberfläche an. Zur Merkregel für die Planeten verwendet man gern den Satz:

Mein Vater erklärt mir jeden Sonntag unseren Nachthimmel

oder etwas poetischer

Mächtig verliebt entzückt mich jeden Sonntag unser Nachthimmel (Dirk Hoppe)

Wir unterscheiden dabei die inneren und die äußeren Planeten.

    Bahnradius
(relativ zu \({r_{\rm{E}}}\))
Umlaufzeit Masse
(relativ zu \({m_{\rm{E}}}\))
Radius
(relativ zu \({R_{\rm{E}}}\))
Fallbeschleunigung
an der Oberfläche
Sonne

- - \(334000\) \(109\) \({g_{\rm{S}}} = 275\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)
Merkur

\(0,387\) \(0,241\rm{a}\) \(0,055\) \(0,383\) \({g_{\rm{Me}}} = 3,70\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)
Venus

\(0,723\) \(0,615\rm{a}\) \(0,815\) \(0,950\) \({g_{\rm{V}}} = 8,87\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)
Erde

\(1,00\) \(1,00\rm{a}\) \(1,00\) \(1,00\) \({g_{\rm{E}}} = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)
Mars

\(1,52\) \(1,88\rm{a}\) \(0,107\) \(0,533\) \({g_{\rm{Ma}}} = 3,73\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)
Jupiter

\(5,20\) \(11,86\rm{a}\) \(318\) \(11,2\) \({g_{\rm{J}}} =24,9\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)
Saturn

\(9,54\) \(29,5\rm{a}\) \(95,2\) \(9,41\) \({g_{\rm{Sa}}} = 11,1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)
Uranus

\(19,2\) \(84,0\rm{a}\) \(14,6\) \(4,1\) \({g_{\rm{U}}} = 9,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)
Neptun

\(30,1\) \(164,8\rm{a}\) \(17,2\) \(3,8\) \({g_{\rm{N}}} = 11,4\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)
Pluto

\(39,8\) \(247,7\rm{a}\) \(0,003\) \(0,18\) \({g_{\rm{P}}} = 0,6\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)

Abbildungen auf dieser Seite

Erde: von NASA/Apollo 17 crew; taken by either Harrison Schmitt or Ron Evans [Public domain], via Wikimedia Commons
Sonne: von NASA/SDO (AIA) [Public domain], via Wikimedia Commons
Mond: von Gregory H. Revera (Eigenes Werk) [CC-BY-SA-3.0 oder GFDL], via Wikimedia Commons
Merkur: von Mariner 10, Astrogeology Team, U.S. Geological Survey (http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap011124.html) [Public domain], via Wikimedia Commons
Venus: von NASA (http://photojournal.jpl.nasa.gov/catalog/PIA00104) [Public domain], via Wikimedia Commons
Mars: von NASA / USGS (see PIA04304 catalog page) [Public domain], via Wikimedia Commons
Jupiter: von NASA/JPL/USGS [Public domain], via Wikimedia Commons
Saturn: von Voyager 2 [Public domain], via Wikimedia Commons
Uranus: von NASA/JPL/Voyager mission [Public domain], via Wikimedia Commons
Neptun: von NASA/JPL (http://photojournal.jpl.nasa.gov/catalog/PIA00046) [Public domain], via Wikimedia Commons
Pluto: von C m handler (Eigenes Werk) [CC-BY-SA-3.0 oder GFDL], via Wikimedia Commons

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