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Grundwissen

Gravitationskraft

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Gravitationskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) zwischen zwei punktförmigen Massen \(m_1\) und \(m_2\) liegt auf der Vebindungslinie der beiden Massen. Der Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft ist proportional zu den Massen \(m_1\) sowie \(m_2\) und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands \(r\) der Massen. Er berechnet sich durch \(F_{\rm{G}} = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{{{r^2}}}\) mit der Gravitationskonstante \(G = 6{,}674 \cdot {10^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^2}}}\).
  • Die Gravitationskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) auf eine punktförmige Masse \(m\) an der Erdoberfläche ist senkrecht zur Erdoberfläche gerichtet. Der Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft ist proportional zur Masse \(m\). Er berechnet sich durch \(F_{\rm{G}}=m \cdot g\). In der Praxis benutzen wir in Deutschland den Wert \(g = 9{,}81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\).

Gravitationskraft zwischen zwei punktförmigen Massen

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Abb. 1 Gravitationskraft zwischen zwei Punktmassen

In Abb. 1 ist die Gravitationskraft zwischen zwei Punktmassen dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift die kleiner dargestellte Masse und lasse dir für verschiedene Raumpunkte die Kraftvektoren anzeigen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Die Kraftvektoren liegen auf der Verbindungslinie der beiden Massen.

  • Die Kraftvektoren sind zueinander hin gerichtet.

  • Je kleiner der Abstand der Massen ist, desto länger werden die Kraftvektoren. Hierdurch wird verdeutlicht: Je kleiner der Abstand der Massen ist, desto größer ist die Gravitationskraft zwischen den Massen.

Gravitationskraft zwischen zwei Punktmassen
Abb. 2 Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft zwischen zwei Punktmassen in Abhängigkeit vom Abstand \(r\)

Für zwei Punktmassen \(m_1\) und \(m_2\) im Abstand \(r\) gilt:

  • Die Gravitationskräfte \(\vec F_{\rm{G,1\to2}}\) und \(\vec F_{\rm{G,2\to1}}\) zwischen den beiden Massen liegt auf deren Verbindungslinie.

  • Die Kräfte sind immer zueinander hin gerichtet.

  • Der Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft zwischen den Massen ist proportional zu den Massen \(m_1\) und \(m_2\) und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands \(r\) der Massen. Er berechnet sich durch\[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{{r^2}}}\;\;{\rm{mit}}\;\;G = 6{,}674 \cdot {10^{ - 11}}\,\frac{{{\rm{N}}\,{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{kg}}^2}\]Die Konstante \(G\) heißt Gravitationskonstante.

Gravitationskraft auf eine Punktmasse an der Erdoberfläche

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Abb. 3 Gravitationskraft zwischen der Erdoberfläche und einer Punktmasse

In Abb. 2 ist die Gravitationskraft auf eine Punktmasse an der Erdoberfläche dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift die Masse und lasse dir für verschiedene Raumpunkte den Kraftvektor für die Kraft auf die Masse anzeigen. Den Kraftvektor für die Kraft auf die Erde musst du dir im Erdmittelpunkt vorstellen. Er ist hier nicht dargestellt, aber zum Mittelpunkt der Punktmasse gerichtet und genau so lang wie der gezeigte Kraftvektor.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Der Kraftvektor ist immer von der Punktmasse senkrecht zur Erdoberfläche hin gerichtet.
  • Der Kraftvektor hat immer die gleiche Länge. Hierdurch wird verdeutlicht: Die Gravitationskraft auf die Masse an der Erdoberfläche ist (nahezu) konstant.
Gravitationskraft auf eine Punktmasse an der Erdoberfläche

Für eine Punktmasse \(m\) in der Nähe der Erdoberfläche gilt:

Die Gravitationskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) auf die Masse ist senkrecht zur Erdoberfläche gerichtet.

Der Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft auf die Masse ist konstant und kann berechnet werden durch\[F_{\rm{G}} = m \cdot g\]Für den Wert der Konstante \(g\) nehmen wir in Deutschland \(g=9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\).

Näheres zum Wert der Konstante \(g\) findest du im Artikel "Gravitationsfeldstärke und Ortsfaktor". Den Link dazu findest du am Ende dieses Artikels.

Gravitationskraft zwischen einer Punktmasse und einer homogenen Kugel

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Abb. 4 Gravitationskraft zwischen einer Punktmasse und einer homogenen Kugel

In Abb. 3 ist die Gravitationskraft zwischen einer Punktmasse und einer homogenen Kugel dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift die Punktmasse und lasse dir für verschiedene Raumpunkte die Kraftvektoren anzeigen. Du kannst die Punktmasse auch in das Innere der Kugel bewegen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Die Kraftvektoren sind jeweils vom Mittelpunkt der einen Masse zum Mittelpunkt der anderen Masse hin gerichtet.
  • Befindet sich die Punktmasse außerhalb der Kugel, so gilt:

    Je kleiner der Abstand der Mittelpunkte ist, desto länger werden die Kraftvektoren. Hierdurch wird verdeutlicht: Je kleiner der Abstand der Mittelpunkte ist, desto größer ist die Gravitationskraft zwischen der Punktmasse und der Kugel außerhalb der Kugel.

    Dies kennst du bereits aus dem Verhalten zweier Punktladungen.

  • Befindet sich die Punktmasse innerhalb der Kugel, so gilt:

    Je kleiner der Abstand der Mittelpunkte ist, desto kürzer werden die Kraftvektoren. Hierdurch wird verdeutlicht: Je kleiner der Abstand der Mittelpunkte ist, desto kleiner ist die Gravitationskraft zwischen der Punktmasse und der Kugel innerhalb der Kugel.

Gravitationskraft zwischen einer Punktmasse und einer homogenen Kugel
Abb. 5 Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft zwischen einer Punktmasse und einer homogenen Kugel mit Radius \(R\) in Abhängigkeit vom Abstand \(r\)

Für eine Punktmassen \(m\) und eine homogene Kugel mit der Masse \(M\) und dem Radius \(R\) gilt:

Befindet sich die Punktmasse außerhalb der homogenen Kugel, so ist die Gravitationskraft zwischen der Punktmasse und der Kugel gleich der Gravitationskraft zwischen zwei Punktmassen:\[{\rm{Für}}\;\;r > R:\;\;{F_{\rm{G}}}(r) = G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r^2}}}\;\;{\rm{mit}}\;\;G = 6{,}674 \cdot {10^{ - 11}}\,\rm{\frac{{N\,{m^2}}}{{{kg^2}}}}\]

Befindet sich die Punktmasse innerhalb der homogenen Kugel, so ist der Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft proportional zu den Massen \(m\) und \(M\) und proportional zum Abstand \(r\) der beiden Mittelpunkte:\[{\rm{Für}}\;\;r \le R:\;\;{F_{\rm{G}}}(r) = G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{R^3}}} \cdot r\;\;{\rm{mit}}\;\;G = 6{,}674 \cdot {10^{ - 11}}\, \rm{\frac{{N\,{m^2}}}{{{kg^2}}}}\]