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Grundwissen

Stabile Kreisbahnen im Gravitationsfeld

Das Wichtigste auf einen Blick

Bewegt sich ein Trabant auf einer stabilen Kreisbahn im Gravitationsfeld eines Zentralkörpers, dann beträgt

  • die potenzielle Energie des Systems Zentralkörper-Trabant \({E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right) =  - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\)
  • die kinetische Energie des Trabanten \({E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot \left| {{E_{{\rm{pot}}}}} \right|\)
  • die Gesamtenergie des Systems Zentralkörper-Trabant \({E_{{\rm{ges}}}} = {\frac{1}{2} \cdot {E_{{\rm{pot}}}}}\)

Potenzielle Energie im Gravitationsfeld

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Abb. 1 Potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot}}}}\) des Systems Zentralkörper-Trabant in Abhängigkeit vom Mittelpunktsabstand \(r\)

Befindet sich ein Trabant der Masse \(m\) im Gravitationsfeld eines Zentralkörpers der Masse \(M\) im Abstand \(r\), so beträgt die potenziellle Energie \({{E_{{\rm{pot}}}}}\) des Systems Zentralkörper-Trabant\[{E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right) =  - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\]Hierbei liegt der Nullpunkt der potenziellen Energie im Unendlichen und der Wert der potenziellen Energie ist stets negativ.

Kinetische Energie für eine stabile Kreisbahn im Gravitationsfeld

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Abb. 2 Kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\), die ein Trabant für eine stabile Kreisbahn um einen Zentralkörper benötigt, in Abhängigkeit vom Bahnradius \(r\)

Wenn der Trabant ruht, wird er direkt durch die Gravitationskraft in Richtung Zentralkörper beschleunigt, bis er dort einschlägt. Damit der Trabant dies nicht tut muss er sich bewegen und damit auch kinetische Energie besitzen.

Damit sich ein Trabant der Masse \(m\) im Gravitationsfeld eines Zentralkörpers der Masse \(M\) stabil im Abstand \(r\) auf einer Kreisbahn bewegen kann, muss die Gravitationskraft \(F_{\rm{G}}\) gleich der notwenigen Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\) wirken. Damit muss gelten\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{ZP}}}} &=& {F_{\rm{G}}}\\\frac{{m \cdot {v^2}}}{r} &=& G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{r^2}}}\;\;\;\left| { \cdot \frac{1}{2}r} \right.\\\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} &=& \frac{1}{2} \cdot G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\end{eqnarray}\]Auf der linken Seite der Gleichung steht der Term für die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\) des Trabanten. Wir erhalten also\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\]

Der Term auf der rechten Seite der Gleichung ist gerade die Hälfte des Betrags der potenziellen Energie \({E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right) =  - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\) des Systems Zentralkörper-Trabant. Damit erhalten wir\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot \left| {{E_{{\rm{pot}}}}} \right|\]Der Wert für die kinetische Energie ist also stets positiv und halb so groß ist wie der Betrag der potenziellen Energie.

Gesamtenergie auf einer stabilen Kreisbahn im Gravitationsfeld

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Abb. 3 Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}}\) des Systems Zentralkörper-Trabant, wenn sich der Trabant auf einer stabilen Kreisbahn um den Zentralkörper befindet, in Abhängigkeit vom Bahnradius \(r\)

Die Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}}\) des Systems Zentralkörper-Trabant, bei dem sich der Trabant auf einer stabilen Kreisbahn um den Zentralkörper bewegt, ist die Summe aus potenzieller Energie \(E_{\rm{pot}}\) und kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\). Wir erhalten\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{ges}}}} &=& {E_{{\rm{kin}}}} + {E_{{\rm{pot}}}}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r} + \left( { - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}} \right)\\ &=&  - \frac{1}{2} \cdot G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\end{eqnarray}\]Der Term auf der rechten Seite der Gleichung ist nun gerade die Hälfte der potenziellen Energie \({E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right) =  - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\) des Systems Zentralkörper-Trabant. Damit erhalten wir\[{E_{{\rm{ges}}}} = \frac{1}{2} \cdot {{E_{{\rm{pot}}}}}\]Der Wert für die Gesamtenergie ist also stets negativ und halb so groß ist wie die potenzielle Energie.

Stabile Kreisbahnen im Gravitationsfeld
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Abb. 4 Potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\), kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) und Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}}\) des Systems Zentralkörper-Trabant, wenn sich der Trabant auf einer stabilen Kreisbahn um den Zentralkörper befindet, in Abhängigkeit vom Bahnradius \(r\)

Bewegt sich ein Trabant der Masse \(m\) auf einer stabilen Kreisbahn mit Bahnradius \(r\) im Gravitationsfeld eines Zentralkörpers der Masse \(M\), dann beträgt

  • die potenzielle Energie des Systems Zentralkörper-Trabant\[{E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right) = - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\]
  • die kinetische Energie des Trabanten\[{E_{{\rm{kin}}}}\left( r \right) = \frac{1}{2} \cdot G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot \left| {{E_{{\rm{pot}}}}} \right|\]
  • die Gesamtenergie des Systems Zentralkörper-Trabant\[{E_{{\rm{ges}}}}\left( r \right) = - \frac{1}{2} \cdot G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;{E_{{\rm{ges}}}} = \frac{1}{2} \cdot {{E_{{\rm{pot}}}}}\]

Wir betrachten als Beispiel einen Satelliten, der auf der Erdoberfläche (Radius \(r_{\rm{E}}\)) ruht (wir vernachlässigen die Erdrotation) und der auf eine stabile Kreisbahn mit Radius \(r_1\) um die Erde gebracht werden soll. Hierzu reicht es nicht, dem System Erde-Satellit nur die Energie \(\Delta E=E_{\rm{pot}}(r_1)-E_{\rm{pot}}(r_{\rm{E}})\) zu geben, damit es die potenzielle Energie \(E_{\rm{pot}}(r_1)\) hat. Dann bewegt sich nämlich der Satellit im Abstand \(r_1\) nicht mehr und fällt wieder zur Erde zurück. Der Satellit benötigt für die Kreisbewegung zusätzlich noch kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}(r_1)\), die ebenfalls vom Radius \(r_1\) abhängt. Die Energie, die das System insgesamt für die stabile Kreisbahn benötigt, berechnet sich korrekt durch \(\Delta E=E_{\rm{ges}}(r_1)-E_{\rm{pot}}(r_{\rm{E}})\).

Möchte man den Satelliten aus der stabilen Bahn mit dem Radius \(r_1\) auf eine stabile Bahn mit dem Radius \(r_2 > r_1\) bringen, so benötigt das System Erde-Satellit die zusätzliche Energie \(\Delta E=E_{\rm{ges}}(r_2)-E_{\rm{ges}}(r_1)\).

Möchte man den Satelliten ins Unendliche (aus dem Anziehungsbereich der Erde) bringen, so muss man dem System Erde-Satellit weitere Energie zuführen. Man bezeichnet den Zustand des Satelliten deshalb als gebundenen Zustand. Ebenso ist die Erde im gebundenen Zustand zum Zentralkörper Sonne, weil dem System Sonne-Erde Energie zugeführt werden müsste, um die Erde aus dem Anziehungsbereich der Sonne zu bringen.