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Grundwissen

Gravitationsfeld

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Im Raum um eine Masse herrscht ein Gravitationsfeld. Dieses Gravitationsfeld übertragt die Kraftwirkung dieser Masse auf andere Massen.
  • Als Gravitationsfeldstärke definieren wir den Quotienten aus der Gravitationskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\) auf einen Probekörper und der Masse \(m\) des Probekörpers: \(\vec g = \frac{{{{\vec F}_{\rm{G}}}}}{m}\).
  • Der Betrag \(g\) der Gravitationsfeldstärke im Raum um eine punktförmige Masse ist proportional zu deren Masse \(M\) und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands \(r\) zur Masse \(M\) (radiales Gravitationsfeld): \(g = G \cdot \frac{M}{{{r^2}}}\) mit der Gravitationskonstante \(G = 6{,}673 \cdot {10^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^2}}}\).
  • Der Betrag \(g\) der Gravitationsfeldstärke an der Erdoberfläche ist konstant (homogenes Gravitationsfeld) mit dem Wert \(g = 9{,}81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\).
Aufgaben Aufgaben

In der Lehre vom Magnetismus haben wir das, was im Raum um einen Magneten herrscht, als Magnetfeld (Raum in dem magnetische Kraftwirkungen auftreten) bezeichnet. Analog bezeichnen wir das, was im Raum um eine Masse, in dem Gravitationskräfte auftreten, herrscht als Gravitationsfeld.

Gravitationsfeld und Gravitationsfeldstärke

Eine Masse \(M\) verändert bei ihrer Anwesenheit den Zustand des Raumes. Der Raum erhält die physikalische Eigenschaft, Gravitationskraft zwischen dieser und anderen Massen übertragen zu können. Wir sagen: Im Raum um eine Masse herrscht ein Gravitationsfeld.

Das Gravitationsfeld ist allein durch die Anwesenheit der Masse \(M\)  vorhanden, unabhängig davon, ob durch eine andere Masse \(m\) (Probemasse) die Kraftwirkung nachgewiesen wird. Auch die Stärke des Gravitationsfeldes wird allein durch die Masse \(M\) festgelegt, auch wenn sie erst durch die Kraftwirkung auf eine andere Masse \(m\) (Probemasse) gemessen werden kann.

Um die Stärke des Gravitationsfeldes, die sogenannte Gravitationsfeldstärke \(\vec g\),  unabhänig von der Masse \(m\) des Probekörpers zu erhalten definieren wir die Gravitationsfeldstärke als den Quotienten aus der Gravitationskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\) auf den Probekörper und der Masse \(m\) des Probekörpers:\[\vec g = \frac{{{{\vec F}_{\rm{G}}}}}{m}\]bzw. betraglich\[g = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{m}\]Für die Einheit \(\left[ g \right]\) der Gravitationsfeldstärke gilt\[\left[ g \right] = \frac{{\left[ {{F_{\rm{G}}}} \right]}}{{\left[ m \right]}} = \frac{{1\,{\rm{N}}}}{{1\,{\rm{kg}}}}\]

Gravitationsfeld einer punktförmigen Masse

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Abb. 1 Darstellung des Gravitationsfeldes einer punktförmigen Masse durch Feldstärkevektoren

In Abb. 1 ist das Gravitationsfeld einer punktförmigen Masse durch Feldstärkevektoren dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift in den Raum um die Masse und lasse dir für verschiedene Raumpunkte den Feldstärkevektor anzeigen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Alle Feldstärkevektoren sind zum Mittelpunkt der Masse hin gerichtet.
  • Je näher die Raumpunkte an der Masse liegen, desto länger werden die Feldstärkevektoren. Hierdurch wird verdeutlicht, dass die Gravitationsfeldstärke in der Nähe der Masse größer ist als in der Entfernung.

 

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Abb. 2 Darstellung des Gravitationsfeldes einer punktförmigen Masse durch Feldlinien

Ähnlich wie beim Magnetfeld veranschaulicht man Gravitationsfelder durch Feldlinien.

In Abb. 2 ist das Gravitationsfeld einer punktförmigen Masse durch Feldlinien dargestellt.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Alle Feldlinien verlaufen zum Mittelpunkt der Masse.
  • Je näher die Feldlinien an der Masse liegen, desto enger liegen die Feldlinien aneinander. Hierdurch wird verdeutlicht, dass die Gravitationsfeldstärke in der Nähe der Masse größer ist als in der Entfernung.
Gravitationsfeld einer Punktmasse (radialsymmetrisches Gravitationsfeld)

Für den Raum um eine Punktmasse \(M\) gilt:

Die Gravitationsfeldstärke \(\vec g\) ist an jedem Ort auf die Masse hin gerichtet.

Der Betrag \(g\) der Gravitationsfeldstärke ist proportional zur Masse \(M\) und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands \(r\) zur Masse \(M\):\[g = G \cdot \frac{M}{{{r^2}}}\]Der Proportionalitätsfaktor \(G\) heißt Gravitationskonstante und hat den Wert \(G = 6{,}673 \cdot {10^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^2}}}\).

Der obige Zusammenhang ergibt sich aus der Definition \(g = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{m}\) der Gravitationsfeldstärke und dem Gravitationsgesetz von NEWTON \(F_{\rm{G}} = G \cdot \frac{{M \cdot m}}{r^2}\):\[g = \frac{{G \cdot \frac{{M \cdot m}}{{{r^2}}}}}{m} = G \cdot \frac{M}{{{r^2}}}\]

Abb. 3 Stärker werdende Homogenität des Gravitationsfeldes bei der Annäherung an die Erdoberfläche

Die durch die Erde bewirkte Gravitationskraft zeigt stets zum Erdmittelpunkt. Also ist das Gravitationsfeld der Erde radialsymmetrisch.

In der Animation in Abb. 3 werden immer kleinere Ausschnitte aus dem Gravitationsfeld in der Nähe der Erdoberfläche dargestellt. In kleinen Raumbereichen kann man das Erdfeld annähernd als homogen annehmen, d.h. die Feldlinien verlaufen parallel und die Gravitationskraft ist in diesem Raumbereich überall gleich groß.

Bei unseren früheren Betrachtungen sind wir stets von einem streng homogenen Gravitationsfeld in der Nähe der Erdoberfläche ausgegangen, wie du es im letzten Bild der Animation erkennen kannst. Von dieser Tatsache haben wir bei der Berechnung der Gewichtskraft \({F_{\rm{G}}} = m \cdot g\) Gebrauch gemacht, indem wir unabhängig vom Ort stets das gleiche \(g\) (in der Nähe der Erdoberfläche) angenommen haben.

Gravitationsfeld an der Erdoberfläche

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Abb. 4 Darstellung des Gravitationsfeldes an der Erdoberfläche durch Feldstärkevektoren.

In Abb. 4 ist das Gravitationsfeld an der Erdoberfläche durch Feldstärkevektoren dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift in den Raum um die Masse und lasse dir für verschiedene Raumpunkte den Feldstärkevektor anzeigen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Alle Feldstärkevektoren sind senkrecht zur Erdoberfläche gerichtet.
  • Alle Feldstärkevektoren sind gleich lang. Hierdurch wird verdeutlicht, dass die Gravitationsfeldstärke an der Erdoberfläche (nahezu) konstant ist.
gravitationsfeld_an_der_erdoberflaeche.svg
Abb. 5 Darstellung des Gravitationsfeldes an der Erdoberfläche durch Feldlinien

In Abb. 5 ist das Gravitationsfeld an der Erdoberfläche durch Feldlinien dargestellt.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Alle Feldlinien verlaufen senkrecht zur Erdoberfläche.
  • Die Feldlinien verlaufen in gleichem Abstand zueinander. Hierdurch wird verdeutlicht, dass die Gravitationsfeldstärke an der Erdoberfläche (nahezu) konstant ist.
Gravitationsfeld an der Erdoberfläche (homogenes Gravitationsfeld)

Für Punkte in der Nähe der Erdoberfläche gilt:

Die Gravitationsfeldstärke \(\vec g\) ist senkrecht zur Erdoberfläche gerichtet.

Der Betrag \(g\) der Gravitationsfeldstärke ist konstant und hat (in Deutschland) den Wert\[g = 9{,}81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\]Dieser Wert berechnet sich als Spezialfall der Gravitationsfeldstärke einer punktförmigen Masse mit \(M = {m_{{\rm{Erde}}}} = 5{,}9723 \cdot {10^{24}}\,{\rm{kg}}\) und \(r = {r_{{\rm{Erde;Deutschland}}}} = 6373 \cdot {10^3}\,{\rm{m}}\):\[g = G \cdot \frac{M}{{{r^2}}} \Rightarrow g = 6{,}673 \cdot {10^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{{5{,}9723 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}}{{{{\left( {6373 \cdot {{10}^3}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Hinweis für Experten

Der Betrag \(g\) der Gravitationsfeldstärke ist nicht exakt gleich dem Ortsfaktor \(g_{\rm{Ort}}\). Der Ortsfaktor \(g_{\rm{Ort}}\) wird nämlich noch durch die Kreisbewegung um die Erdachse des Ortes, an dem der Ortsfaktor gemessen wird, beeinflusst. Um eine Abschätzung dieses Einflusses zu bekommen berechnen wir für einen Ort am Äquator (dort hat die Kreisbewegung ihren größten Radius) den Betrag der Zentrifugalbeschleunigung. Aus\[{a_{{\rm{ZF}}}} = {\omega ^2} \cdot r = {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2} \cdot r = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{{T^2}}} \cdot r\]ergibt sich mit \(r=r_{\rm{E}} = 6{,}371 \cdot {10^6}\,{\rm{m}}\) und \(T=T_{\rm{E}} =24\,\rm{h}=24 \cdot 3600\,\rm{s}=86400\,\rm{s}\)\[{a_{{\rm{ZF}}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{{{\left( {86400\,{\rm{s}}} \right)}^2}}} \cdot 6{,}371 \cdot {10^6}\,{\rm{m}} = 0{,}03339\,\frac{\rm{m}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]Da der Radius der Kreisbahn in unseren Breiten noch kleiner als am Äquator ist und damit auch die Zentrifugalbeschleunigung, können wir diesen Einfluss getrost vernachlässigen.

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