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Grundwissen

Potenzielle Energie im Gravitationsfeld

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Potenzielle Energie im Gravitationsfeld

Abb. 1 Potenzielle Energie im Gravitationsfeld mit \(E_{\rm{pot}}(r_{\rm{Erde}})=0\)

Bringt man einen Körper der Masse \(m\) (z.B. einen Satelliten) im Gravitationsfeld eines Körpers der Masse \(M\) (z.B. der Erde) vom Abstand \(r_{1}\) zum Abstand \(r_{\rm{2}}\) (Abstände gemessen vom Erdmittelpunkt), so ist die dabei verrichtete Arbeit\[W = G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_{\rm{1}}}}} - \frac{1}{{{r_{\rm{2}}}}}} \right)\]zu verrichten (die Herleitung dieser Formel erfolgte im Punkt "Arbeit im Gravitationsfeld"). Für die potenzielle Energie im Gravitationsfeld gilt\[W={E_{{\rm{pot,2}}}} - {E_{{\rm{pot,1}}}} \Leftrightarrow {E_{{\rm{pot,2}}}} = {E_{{\rm{pot,1}}}} + W\]Wie du vielleicht noch aus früheren Kapiteln weißt, ist die Festlegung des Nullpunktes der potenziellen Energie freigestellt.

Wählt man z.B. als Ausgangspunkt der Reise im Gravitationsfeld der Erde einen Punkt der Erdoberfläche, so könnte man diesem Punkt die potenzielle Energie Null zuordnen, d. h. es gilt dann \({E_{{\rm{pot,Erde}}}} = 0\). Für die potenzielle Energie des beliebig gewählten Endabstandes \({r = {r_{\rm{2}}}}\) ergibt sich dann\[{E_{{\rm{pot}}}}(r) = G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}} - \frac{1}{r}} \right)\;;\;r \ge {r_{{\rm{Erde}}}}\]Der Verlauf der potenziellen Energie in Abhängigkeit von \(r\) ist in der nebenstehenden Graphik dargestellt.

Abb. 2 Potenzielle Energie im Gravitationsfeld mit \(E_{\rm{pot}}(\infty)=0\)

Meist wird jedoch als Nullpunkt der potenziellen Energie der unendlich ferne Punkt gewählt, da dann die Formel für die Arbeit \(W\) besonders einfach wird (\({{r_{\rm{A}}} \to \infty }\) und \({\frac{1}{{{r_{\rm{A}}}}} \to 0}\), \({r = {r_{\rm{E}}}}\))\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot}}}}(r) &=& G \cdot m \cdot M \cdot \left( {0 - \frac{1}{r}} \right)\;\\&=&- G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r};\;r \ge {r_{{\rm{Erde}}}}\end{eqnarray}\]Der Verlauf der potenziellen Energie in Abhängigkeit von \(r\) für diese Festsetzung des Nullpunkts der potenziellen Energie ist in der nebenstehenden Graphik dargestellt.

Man sieht, dass bei dieser Nullpunktswahl die potenzielle Energie eines Punktes auf der Erdoberfläche negativ ist.

Man sieht aber auch, dass – unabhängig von der Wahl des Nullpunktes der potenziellen Energie – die Änderung der potenziellen Energie, d.h. die verrichtete Arbeit beim Weg von einem Abstand \(r_1\) zu einem Abstand \(r_2\) in beiden Systemen die gleiche ist.