Arbeit, Energie und Leistung

Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung

  • Was ist der Unterschied zwischen Arbeit und Kraft?
  • Woher kommt und wohin geht eigentlich die ganze Energie?
  • Kann man mit einem Fahrrad einen Liter Wasser zum Kochen bringen?

Der Begriff "Energie" oder von ihm abgeleitete Begriffe kommen in unserer Sprache sehr häufig vor und weisen schon auf die große Bedeutung dieses Begriffes hin. Hier nur einige Beispiele:

Heizenergie, Energiekrise, Energiereservoir, kriminelle Energie, Energiesparen, Kernenergie, energiegeladen, Energiequelle, Energieverlust, Energieriegel. . . .

Der griechische Ursprung des Wortes "Energie" ist "energeia" und bedeutet soviel wie "wirkende Kraft" oder "das Treibende". Bei nahezu allen Vorgängen, welche in unserer Umwelt oder in der Technik ablaufen ist Energie im Spiel. In diesem Abschnitt soll es darum gehen, dich mit diesem Begriff vertraut zu machen. Dabei sind wir in einer ähnlichen Lage, als in der 7. Klasse der Kraftbegriff eingeführt wurde: Wir konnten nicht genau sagen, was Kraft ist, aber wir konnten die Wirkungen einer Kraft beschreiben. Der berühmte Nobelpreisträger R. Feynman sagt: "It is important to realize that in physics today, we have no knowledge of what energy is . . . (es ist wichtig zu realisieren, dass wir in der heutigen Physik nicht wissen, was Energie ist . . . . ).

Energie ist notwendig, dass Vorgänge überhaupt ablaufen. Man könnte Energie als "Treibstoff" für den jeden Ablauf bezeichnen, wobei Energie nicht mit dem Benzin im Tank eines Autos verwechselt werden darf. Hier einige Beispiele, was Energie alles bewirken kann:

"Energie bewegt unsere Autos" "Energie brät ein Huhn" "Energie betreibt einen Fernsehapparat" "Energie kühlt unser Gefriergut" Energie hält uns am Leben

Wie die obigen Beispiele zeigen, kann Energie in verschiedenen Formen auftreten. In der folgenden Grafik werden verschiedene Energieformen aufgelistet und jeweils Beispiele angedeutet, wo sie eine Rolle spielen.

Hinweis: Prof. Harald Lesch beschäftigt sich in der Sendereihe alpha-centauri des bayerischen Rundfunks in einem sehr interessanten Video mit der Frage: "Was ist Energie?".

Von welchen Größen hängen die mechanischen Energieformen ab? - Qualitative Betrachtung
 


Von welchen Größen hängt die potentielle Energie ab?

 

Plausible Festlegung:
Je größer die kinetische Energie des auf den Plasteklumpen treffenden Körpers ist, desto stärker wird der Plasteklumpen verformt (größere Eindringtiefe). Da bei dem betrachteten Vorgang zunächst potentielle in kinetische Energie umgewandelt wird, kann man aus einer stärkeren Verformung auch auf eine höhere potentielle Energie schließen.

Versuch 1:
Man lässt einen Körper der Masse m aus der Höhe h auf einen Plasteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2:
Man lässt den gleichen Körper (Masse m) aus der Höhe 2h auf einen Plasteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 3:
Man lässt einen Körper der Masse 2m aus der Höhe h auf einen Plasteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Ergebnis:
Die potentielle Energie (Lageenergie) eines Körpers nimmt mit dessen Höhe über einem Nullniveau und dessen Masse zu.


Von welchen Größen hängt die kinetische Energie ab?

Versuch 1:
Man lässt ein Spielzeugauto der Masse m und der Geschwindigkeit v auf einen Plasteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2:
Man lässt das gleiche Auto (Masse m) mit der Geschwindigkeit 2v auf den Plasteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 3:
Man lässt ein beladenes Spielzeugauto (Masse 2m) mit der Geschwindigkeit v auf den Plasteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Ergebnis:
Die kinetische Energie (Bewegungsenergie) eines Körpers nimmt mit dessen Geschwindigkeit und Masse zu.


Von welchen Größen hängt die Spannenergie ab?

Versuch 1:
Man lässt eine von einer gespannten Feder (Härte D) beschleunigte Kugel auf einen Plasteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2:
Man spannt die gleiche Feder stärker vor und wiederholt Versuch 1.

Versuch 3:
Nun tauscht man die bisherige Feder durch eine härtere Feder aus, spannt diese wie bei Versuch 1 vor und beobachtet die Eindringtiefe der Kugel in den Plasteklumpen.

Ergebnis:
Die Spannenergie (Überbegriff: potentielle Energie) einer Feder ist umso größer, je stärker die Feder zusammengedrückt bzw. gespannt und je größer die Härte D der Feder ist.

Nachdem du durch die Seiten Energiebegriff, Energieerhaltung und Abhängigkeiten eine sogenannte qualitative Vorstellung über die Energie erarbeitet haben solltest, geht es auf den folgenden Seiten um die quantitative Beschreibung der mechanischen Energien. Dabei wirst du sehen, dass sich Energien durch geeignete Formeln berechnen lassen.

Potenzielle Energie

Spannenergie

Kinetische Energie

 

Bei nahezu allen Vorgängen in der Natur und Technik finden Energieumwandlungen statt. Der Erhaltungssatz der Energie sagt uns, dass dabei keine Energie verloren wird.

Allerdings ist es oft so, dass ein Teil der vorhandenen Energie nicht total in die gewünschte Energieform übergeht. Durch Reibung und ähnliche Prozesse kommt es fast immer zur Erwärmung von den beteiligten Objekten. Die dabei auftretende thermische Energie (in der Animation mit \({\Delta {E_i}}\) bezeichnet) steht dann meist nicht mehr für weitere Energieumwandlungen zur Verfügung.

In dem nebenstehenden Beispiel (Heben einer Last mittels eines batteriegespeisten Elektromotors) sind die auftretenden Energieumwandlungen auch schematisch in einem Energieflussdiagramm dargestellt.

Prinzipieller Aufbau eines Energieflussdiagramms:


 

Aufgabe

In dem nebenstehenden Beispiel wird mit Hilfe einer Dampfmaschine ein Generator betrieben. An den Generator ist eine Lampe angeschlossen, die leuchtet. Fülle das Energieflussdiagramm sinnvoll aus.


 

Bei der Bewegung des Skaters in der Halfpipe sieht man, dass zwei mechanische Energieformen abwechselnd ineinander umgewandelt werden:

  • Ganz links besitzt der Skater im Vergleich zu tiefer gelegenen Punkten der Bahn ein Maximum an Lageenergie (potentielle Energie), da er die größte Höhe über dem Nullniveau (h = 0) hat. Da seine Geschwindigkeit Null ist, besitzt er dort keine Bewegungsenergie (kinetische Energie).
  • Auf dem Weg zum tiefsten Punkt der Halfpipe (h = 0) verliert er an Lageenergie, da die Höhe laufend abnimmt und gewinnt an kinetischer Energie (v nimmt zu).
  • Im tiefsten Punkt ist seine Bewegungsenergie maximal, während seine Lageenergie Null ist.
  • Auf dem Weg nach ganz rechts gewinnt der Skater wieder an Lageenergie (h wächst) und verliert an Bewegungsenergie (v sinkt).
  • Ganz rechts besitzt der Skater im Vergleich zu tiefer gelegenen Punkten der Bahn ein Maximum an Lageenergie (potentielle Energie), da er die größte Höhe über dem Nullniveau (h = 0) hat. Weil seine Geschwindigkeit Null ist, hat er dort keine Bewegungsenergie (kinetische Energie).


 

Wenn wir - idealisiert - davon ausgehen können, dass die Reibung durch die Luft und die Reibung in den Rollen vernachlässigbar ist, wird der Skater ohne eigenes Zutun ganz links und ganz rechts stets die gleichen Maximalwert der Höhe und in der Mitte den gleichen Wert der Maximalgeschwindigkeit erreichen. Wir könnten auch sagen, er erreicht links und rechts stets die gleiche Lageenergie (da diese wohl von der Höhe abhängt) und in der Mitte stets die gleiche Bewegungsenergie (da diese wohl von der Geschwindigkeit abhängt). Zwischen diesen ausgezeichneten Punkten besitzt der Skater sowohl Lageenergie als auch Bewegungsenergie.

Bei fehlender Reibung würde sich der Vorgang (Skater fährt in der Halfpipe vom höchsten linken Punkt zum höchsten rechten Punkt) ständig wiederholen. Es liegt also eine gewisse Konstanz in dem Vorgang. Die momentane Höhe und Geschwindigkeit des Skaters ändern sich dagegen ständig. Diejenige Größe die sich bei dem betrachteten Vorgang nicht ändert ist die Gesamtenergie des Skaters, die sich hier aus den beiden Anteilen Lageenergie und Bewegungsenergie zusammensetzt. Diese Tatsache formuliert man im sogenannten Energieerhaltungssatz der Mechanik:

Energieerhaltungssatz der Mechanik (kurz Energiesatz):

In einem reibungsfreien, mechanischen System ist die Gesamtenergie zu jeder Zeit gleich, wenn es von außen nicht beeinflusst wird. Dabei kann die Gesamtenergie auf unterschiedliche mechanische Energieformen verteilt sein. Dieses Prinzip nennt man Energieerhaltung.

Die folgende Animation zeigt wiederum den Skater. Zusätzlich zur obigen Darstellung sind die potentielle und kinetische Energie in einem Balkendiagramm qualitativ dargestellt. Der rechte Balken deutet an, dass die Summe dieser beiden Energieformen eine Konstante ist.


 

Hinweise

  • Das obige Beispiel stellt eine Idealisierung dar. Tatsächlich wird die mechanische Energie durch Reibung mit der Zeit immer weniger. Dafür erwärmen sich die Lager der Rollen, die Bahn usw. Man sagt die mechanische Energie geht mit der Zeit in thermische Energie (Oberbegriff: innere Energie) über.
  • Der Energieerhaltungssatz gilt ganz allgemein, also nicht nur für mechanische Energien. Bis heute ist kein Vorgang in der Natur bekannt bei dem der Energieerhaltungssatz verletzt ist.
  • Der Energiesatz gilt nur dann, wenn keine Beeinflussung des betrachteten Systems von außen passiert. Man sagt auch das System muss abgeschlossen sein. Sie hierzu auch das Thema Energieumwandlung.
  • Beim Energiesatz der Mechanik ist - je nach Problem - auch eine eventuelle Spannenergie zu berücksichtigen. Siehe hierzu die Musteraufgabe zum Trampolinspringer.
Ergänzendes Material zum Thema bei Welt der Physik

Arbeit als Energietransfer

Die Energie in einem abgeschlossenen System bleibt erhalten, wenn dem System von außen keine Energie zugeführt wird bzw. vom System keine Energie nach außen abgegeben wird. Wird dem System jedoch von außen mechanisch Energie zugeführt oder gibt das System mechanisch Energie ab, so wird aus physikalischer Sicht Arbeit verrichtet.
Die Arbeit wird mit dem Formelzeichen \(W\) für das englische "work" bezeichnet.

Aus dieser Festlegung der Arbeit folgt, dass der Betrag der verrichteten Arbeit der Betragsänderung der Energie des Systems entspricht: \(\left| W \right| = \left| {\Delta E} \right|\)

Ein System gibt die Energie \(\Delta E\) mechanisch nach außen ab. Das System verrichtet die Arbeit \(W\). (Fahre mit dem Mauszeiger über die Zeichnung!)

Einem System wird von außen mechanisch Energie zugeführt. Am System wird die Arbeit \(W\) verrichtet. (Fahre mit dem Mauszeiger über die Zeichnung!)

 

Das Vorzeichen der Arbeit

  • Wird am System Arbeit verrichtet, so ist der Wert der Arbeit \(W\) positiv ( \(W>0\) ), da die Energie des Systems zunimmt, also \(\Delta E\) positiv ist.

  • Verrichtet das System Arbeit, so ist \(W < 0\), da die Energie des Systems abnimmt, also \(\Delta E\) negativ ist.

  • Die physikalische Einheit der Arbeit ist gleich der Einheit der Energie, nämlich das Joule: \([W] = 1\rm{J}\).

Mögliche Modellvorstell: Energie und Arbeit werden manchmal mit Begriffen aus dem Bereich der Wirtschaft verglichen. Wird von einem Konto auf ein anderes Konto Geld überwiesen, so entspricht der Änderung des Kontostandes die Energieänderung, dem Überweisungsbetrag entspricht die Arbeit.

Die physikalische Arbeit

Es wird physikalische Arbeit \(W\) verrichtet, wenn eine Kraft \(\vec F\) längs eines Weges \(s\) wirkt. Es gilt
\[W=F_\rm{s}\cdot s\;\rm{mit}\;[W] = 1 Nm = 1 J\]
Dabei ist \(s\) der zurückgelegte Weg und \(F_\rm{s}\) der Betrag der Kraft in Bewegungsrichtung

Hinweise zur Arbeit mit der Formel

  • Wirkt die Kraft \(\vec F\) nicht längs des Weges \(s\), so ist für die Arbeitsberechnung nur die Kraftkomponente \(\vec F_\rm{s}\) in Wegrichtung einzusetzen.

  • Wirkt die Kraft \(\vec F\) senkrecht zur Wegrichtung, so wird keine Arbeit verrichtet und es gilt \(W=0\)

  • Ändert sich der Betrag \(\vec F\) der Kraft längs des Weges \(s\), so ist obige Formel nicht anwendbar.

Verschiedene Typen der Arbeit und ihre Berechnung

Hubarbeit

\[{{W_{{\rm{Hub}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{pot,nach}}}} - {E_{{\rm{pot,vor}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \Delta h}\]Um den Sack in der Animation rechts nach oben zu ziehen, muss du Hubarbeit verrichten. Dazu ziehst du mit der Kraft \({{\vec F_{\rm{a}}}} \) am Seil. Diese Kraft ist die Kraft in Wegrichtung, also \( {{\vec F_{\rm{a}}}} =  {{\vec F_{\rm{s}}}}\).
Nun hebt sich der Sack um die Strecke \({\Delta h}\) während das Seil in deinen Händen die Strecke \({\Delta s}\) zurücklegt. Diese beiden Strecken sind natürlich gleich lang, also gilt \({\Delta h = \Delta s}\).
Da aufgrund der Kontruktion mittels Umlenkrolle der Betrag von \( {{\vec F_{\rm{g}}}} \) gleich dem Betrag von \( {{\vec F_{\rm{s}}}} \) ist, gilt auch

\[{{W_{{\rm{Hub}}}} = {F_{\rm{G}} \cdot \Delta h}={F_{\rm{s}} \cdot \Delta s}}\]

Reibarbeit

\[{{W_{{\rm{Reibung}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{pot,nach}}}} - {E_{{\rm{pot,vor}}}} < 0 \Rightarrow \left| {{W_{{\rm{Reibung}}}}} \right| = {F_{\rm{G}}} \cdot \left| {\Delta h} \right|}\]Fällt ein Fallschirmspringer wie in der Animation rechts mit konstanter Geschwindigkeit, so ist der Betrag der Kraft \( {{\vec F_{\rm{G}}}} \) gleich dem Betrag der Kraft \( {{ \vec F_{\rm{Reibung}}}} \).
Die Kraft \( {{ \vec F_{\rm{Reibung}}}} \) ist die Kraft \( {{ \vec F_{\rm{s}}}} \) in Wegrichtung und der Betrag der Höhe \({\Delta h}\), um die der Fallschirmspringer fällt, ist der zurückgelegte Weg \({\Delta s}\). Somit gilt auch:
\[{\left| {{W_{{\rm{Reibung}}}}} \right| = {F_{{\rm{Reibung}}}} \cdot \left| {\Delta h} \right| ={F_{\rm{s}}} \cdot \Delta s}\]

Beschleunigungsarbeit

\[{{W_{{\rm{Beschl}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{kin,nach}}}} - {E_{{\rm{kin,vor}}}} = \frac{1}{2}m \cdot \left( {v_{{\rm{nach}}}^2 - v_{{\rm{vor}}}^2} \right)}\]In der Animation rechts wird ein Auto mit der Masse \(m\) ausgehend von der Geschwindigkeit \(\vec v_{\rm{vor}}\) konstant beschleunigt, bis es nach der Strecke \(\Delta s\) die Geschwindigkeit \(\vec v_{\rm{nach}} \) erreicht. Bei der Beschleunigung wirkt eine konstante Kraft \(\vec F_{\rm{s}} \) längs der Strecke \(\Delta s\). So kann man für die Beschleunigungsarbeit auch schreiben

\[{{W_{{\rm{Beschleunigung}}}} = {F_{\rm{s}}} \cdot \Delta s}\]

Spannarbeit

\[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{Spann,nach}}}} - {E_{{\rm{Spann,vor}}}} = \frac{1}{2}D \cdot \left( {s_{{\rm{nach}}}^2 - s_{{\rm{vor}}}^2} \right)}\]Wenn wie in der Animation rechts eine Feder aus ihrer Ruhelage (Ruhelänge) heraus gespannt wird, also \({{s_{\rm{vor}}} = 0}\) ist, so gilt
\[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}}\]
Achtung, dabei ist
\[{W_{\rm{Spann}}} \ne {F_{\rm{s}}} \cdot s\]
da sich der Betrag der Kraft \(\vec F\) während des Spannens längs des Weges ändert. Berechnet man die Fläche unter der Weg-Kraft-Kurve (Dreiecksfläche), so ergibt sich
\[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2}{F_{\rm{s}}} \cdot s = \frac{1}{2}(D \cdot s) \cdot s = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}}\]

 
Energien und Arbeiten kommen sowohl in der Mechanik, der Wärmelehre und - wie du später sehen wirst - auch in der Elektrizitätslehre vor. Damit ist verständlich, dass es für Arbeit und Energie mehrere verschiedene Einheiten gibt. Diese Seite soll dir zeigen, welcher Zusammenhang zwischen den verschiedenen Einheiten besteht.
 

Einheiten von Arbeit und Energie

 
mechanische Arbeit:
kinetische Energie
potentielle Energie
Spannenergie
Formel
\( W = F \cdot s \)
\({E_{kin}} = \frac{1}{2}m \cdot {v^2}\)
\( E_\text{pot} = m \cdot g \cdot h \)
\({E_{spann}} = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}\)
Einheit
\[ [W] = 1\, \mathrm{N} \cdot 1\, \mathrm{m} = 1\, \mathrm{J} \]
\[\left[ {{E_{kin}}} \right] = 1\frac{{kg \cdot {m^2}}}{{{s^2}}}\]
\[\left[ {{E_{pot}}} \right] = 1kg \cdot \frac{m}{{{s^2}}} \cdot m = 1\frac{{kg \cdot {m^2}}}{{{s^2}}}\]
\[\left[ {{E_{spann}}} \right] = 1\frac{N}{m} \cdot {m^2} = 1N \cdot m\]

 

Da sämtliche Arbeits- und Energieeinheiten gleichwertig sind, folgt hieraus die erste wichtige Beziehung für die Umwandlung von Arbeits-Energie-Einheiten:

\[1J = 1N \cdot m = 1\frac{{kg \cdot {m^2}}}{{{s^2}}}\]

Weitere Energieeinheiten:

  • Bei der Angabe von Energien - gerade im Bereich der Elektrizität - verwendet man häufig die Einheit 1kWh (Kilowattstunde). Es gilt:
1 kWh = 3,6· 106 J

Wie es zu dieser Umrechnung kommt wird weiter unten gezeigt.

  • Eine inzwischen veraltete Energieeinheit ist die Kilocalorie (1kcal). Im Volksmund spricht man oft nur von "Kalorien". Man verwendet diese Einheit heute immer noch zur Beschreibung des Brennwertes von Nahrungsmitteln. Es gilt:
1 kcal = 4,186· 103 J

Einheiten der Leistung

Formel für die Leistung: \(P = \frac{W}{t}\)
Einheit für die Leistung: \(\left[ P \right] = 1\frac{J}{s}\)

Meist wird in der Literatur als Leistungseinheit das Watt (W) verwendet. Es gilt:

\[1\frac{J}{s} = 1W \Rightarrow 1J = 1Ws\]

Eine veraltete Leistungseinheit ist die Pferdestärke (PS). Sie wird oft noch für die Angabe der Motorleistung eines Autos angegeben. Es gilt:

1 PS = 0,735 kW

Hinweis: Mit der Festlegung des Watt verstehst Du jetzt auch die Umrechnung der Kilowattstunden:

1 kWh = 1· 103 Wh = 1· 103· 3600 Ws = 3,6· 106 J

Ein Sprinter mit der Masse 80 kg läuft die 100m-Strecke mit der Durchschnittsgeschwindigkeit von 36 km/h.

Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit in m/s?

Welche durchschnittliche Leistung (in Watt) erbringt der Läufer bei der Beschleunigung auf die Geschwindigkeit 36 km/h, die er in einer Sekunde nach dem Start erreicht?

Aus welcher Höhe müsste ein Auto mit m = 1,0 t herunterfallen, damit es kurz vor dem Auftreffen am Boden die gleiche kinetische Energie hat, wie wenn es mit 60 km/h auf ebener Straße dahinfahren würde?

Der biologische Wirkungsgrad des Menschen ist ca. 25%, d.h. er kann etwa ein Viertel der durch die Nahrung aufgenommenen Energie in mechanische Energie umsetzen. Ein Radrennfahrer bringt in einem Rennen die Dauerleistung von 400 W auf.

Gib die Leistung des Radfahrers in PS an.

Wie viele Kilokalorien muss er in der Stunde aufnehmen, damit er diese Leistung erbringen kann? Wie viel Schokolade muss er dazu essen, wenn der Brennwert von 100g Schokolade ungefähr 530 kcal ist?

Problem

Eine Kiste soll von der Höhe \(h = 0\) auf die Höhe \(h = {h_1}\) angehoben werden. Wenn die Kiste nicht zu schwer ist, kann man sie direkt anheben. Man muss dazu nur eine nach oben gerichtete Kraft \({\overrightarrow F _a}\), deren Betrag gleich dem Betrag der Gewichtskraft \({\overrightarrow F _G}\) ist, längs der Strecke \(\Delta h = {h_1} - 0\) wirken lassen1.

1 Manche Schüler meinen, zum Heben eines Körpers bräuchte man einen größeren Kraftbetrag als die Gewichtskraft. Hebt man den Körper gleichförmig an (konstante Geschwindigkeit), so muss am Körper nur Kräftegleichgewicht herrschen.


 
Wenn die Kiste sehr schwer ist, kann man die aufzubringende Kraft verringern, indem man einen geeigneten Kraftwandler2 verwendet. Wir wollen dazu etwas näher drei geeignete Kraftwandler betrachten:
  • Schiefe Ebene
  • Flaschenzug
  • Hebel

Bei allen Kraftwandlern wollen wir idealisierend annehmen, dass keine Reibung auftritt.

2 Kraftwandler sind Geräte, die ein oder mehrere Bestimmungsstück(e) einer Kraft ändern. Die Bestimmungsstücke einer Kraft sind: Angriffspunkt, Betrag und Richtung.

Auf dieser Seite sind die Erkenntnisse, die man an den drei Kraftwandlern durch Überlegungen oder durch Versuche gewinnen kann, einfach mitgeteilt.

Hinweis: In den folgenden Animationen sind jeweils nur die Zugkräfte eingetragen.

Schiefe Ebene


 

Flaschenzug


 

Hebel


 

Mit den drei vorgestellten Kraftwandlern wurde das Gleiche erreicht, wie durch direktes Anheben: Der Schwerpunkt eines Körpers der Gewichtskraft \({F _g}\) wurde um die Strecke \(\Delta h\) angehoben. Mit den Kraftwandler konnte man zwar erreichen, dass man eine geringere Kraft \({F _s}\) längs des Weges \(\Delta s\) aufzuwenden hatte, dafür musste diese aber über eine längere Strecke wirken. Dieses Ergebnis kommt in der sogenannten Goldenen Regel der Mechanik zum Ausdruck:

Bei idealen, d.h. reibungsfreien Kraftwandlern gilt:

Das Produkt aus Weg und Kraft (entlang des Weges) ändert sich nicht.

Stets gilt: \({F_g} \cdot \Delta h = {F_s} \cdot \Delta s\)

Theorie

Bei vielen Tätigkeiten kommt es nicht nur darauf an, welchen Betrag an Arbeit man verrichtet, sondern auch darauf, in welcher Zeit diese Arbeit erledigt wird. Denke z.B. nur an einen Hundert-Meter-Lauf.
Mit der Größe "Leistung" erfasst man, in welcher Zeit eine bestimmte Arbeit verrichtet wird und definiert: \[\text{Leistung} = \frac{{\text{verrichtete Arbeit}}}{{\text{dafür benötigte Zeit}}}\]

In der Animation wird im linken und im rechten Teil die gleiche Arbeit verrichtet. Im linken Teil geschieht die Arbeitsverrichtung doppelt so schnell wie im rechten Teil. Also ist die mechanische Leistung links doppelt so groß wie rechts.

 


 

 

In Symbolen schreibt man:

\[P = \frac{{\Delta W}}{{\Delta t}}\]

Der Buchstabe P steht für das englische Wort für Leistung: Power. Für die Einheit der Leistung gilt:

\[\left[ P \right] = 1\frac{\rm{J}}{\rm{s}} = 1\rm{W}\]

Der Buchstabe \(\rm{W}\) steht für Watt. Die Leistungseinheit Watt erinnert an James Watt (1736 - 1819), der mit seinen Ideen der Dampfmaschine zum Durchbruch verholfen hat.

Verrichtet eine konstante Kraft an einem Körper Arbeit und bewegt sich dieser dabei mit konstanter Geschwindigkeit, so gilt auch:

\[P = \frac{{F \cdot s}}{{\Delta t}} \Rightarrow P = F \cdot v\]

Aufgabe 1: Hubleistung

Ein \(50{\rm{kg}}\) schwerer Bub möchte seine Leistungsfähigkeit testen. Dazu rennt er so schnell er kann von Parterre in den \(15{\rm{m}}\) darüber liegenden vierten Stock des Rupprecht-Gymnasiums und stoppt als benötigte Zeit \(25{\rm{s}}\). Berechne die "Hubleistung", die der Bub dabei aufbringt.

Aufgabe 2: Mechanische Leistung

Ein Auto fährt bei einer gesamten Fahrwiderstandskraft von \(1200{\rm{N}}\) eine Geschwindigkeit von \(72\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\). Berechne die mechanische Leistung, die der Motor des Autos aufbringt.

Bei Energiewandlern (z.B. einem Kraftwerk) soll die zugeführte Energie (z.B. chemische Energie der Kohle) in eine gewünschte Energieform (z.B. elektrische Energie) übergeführt werden. Es leuchtet ein, dass der Energiewandler besonders effizient ist, wenn er von der zugeführten Energie ΔEzu möglichst viel in die gewünschte Energieform ΔEnutz umwandelt. Zur Beschreibung der Effizienz des Energiewandlers führt man den Begriff des Wirkungsgrades η ein, er ist der Quotient aus Nutzenergie und zugeführter Energie.

\[\eta = \frac{{\Delta {E_{nutz}}}}{{\Delta {E_{zu}}}}\]

 

Hinweise:

  • Aus dem Energieerhaltungssatz wissen wir, dass der Betrag der Nutzenergie nie größer sein kann als der Betrag der zugeführten Energie. Dies bedeutet, dass der Wirkungsgrad eines Energiewandlers nicht größer als 1 sein kann. Man sagt auch: Der Wirkungsgrad darf nicht größer als 100% sein.
  • Die Erfahrung lehrt uns, dass bei der Umwandlung der zugeführten Energie in die Nutzenergie bei jedem realen Energiewandler Verluste auftreten. Dies bedeutet, dass ΔEnutz < ΔEzu ist und somit der Wirkungsgrad kleiner 1 oder kleiner als 100% ist.
  • Informationen über übliche Beträge von Wirkungsgraden einiger wichtiger Energiewandler bekommst du auf der folgenden Seite.
  • Da für die Energie und die Leistung der Zusammenhang \(\Delta E = P \cdot \Delta t\) gilt, kann man den Wirkungsgrad auch als Verhältnis der entsprechenden Leistungen schreiben:

\[\eta = \frac{{\Delta {E_{nutz}}}}{{\Delta {E_{zu}}}} = \frac{{{P_{nutz}} \cdot \Delta t}}{{{P_{zu}} \cdot \Delta t}} \Rightarrow \eta = \frac{{{P_{nutz}}}}{{{P_{zu}}}}\]

 

Beispiel: Wirkungsgrad eines Kohlekraftwerkes
In üblichen Kohlekraftwerken wird die Kohle verfeuert und damit Wasser verdampft. Der heiße Dampf strömt auf die Schaufelräder von Turbinen, welche einen Generator zur Erzeugung elektrischer Energie antreiben. Nur ca. 40% der ursprünglich vorhandenen chemischen Energie der Kohle wird in elektrische Energie umgesetzt. Mit einem kleineren Teil der restlichen 60% wird die Anlage betrieben (Überwindung von Reibungsverlusten u.ä.). Ein großer Anteil der 60% muss als Abwärme abgeführt werden (Kühlturm, Erwärmung von Kühlwasser). Für den Wirkungsgrad gilt:

\[\eta = \frac{{\Delta {E_{Elektr}}}}{{\Delta {E_{Chemisch}}}}\]

 

Bei manchen kleineren, modernen Kraftwerken, die sich in der Nähe größerer Siedlungen befinden, nutzt man die Abwärme der Kraftwerke zum Heizen in den Siedlungen (Fernwärme). Dadurch kann der Wirkungsgrad des Kraftwerkes deutlich erhöht werden. Die Formel für den Wirkungsgrad ist nun an die neue Situation anzupassen, es gilt:

\[{\eta '_{Kohlekraftw}} = \frac{{\Delta {E_{Elektr}} + \Delta {E_{Innere}}}}{{\Delta {E_{Chemisch}}}}\]

 


Merke:
Für die Berechnung des Wirkungsgrades ist bei der Ermittlung der Nutzenergie ("Energie, die ich haben will") der Aufbau des Energiewandlers zu berücksichtigen.

 

Gesamtwirkungsgrad:
Oft finden in einem Energiewandler mehrere Energieumwandlungen statt. Kennt man den Wirkungsgrad für jede einzelne Energieumwandlung, so lässt sich der Gesamtwirkungsgrad durch eine Produktbildung der Einzelwirkungsgrade berechnen.

Beispiel: Schlagbohrer
Im Elektromotor gehen 30% der zugeführten elektrischen Energie verloren (Wärme- und Reibungsverluste).
Im Getriebe gehen 10% der vom Motor zugeführten mechanischen Energie aufgrund der Reibung verloren. Somit ist der Wirkungsgrad des Elektromotors ηemotor = 70% = 0,70 und der des Getriebes ηgetriebe= 90% = 0,90.

Für den Gesamtwirkungsgrad des Schlagbohrers gilt dann:

\(\begin{array}{l}{\eta _{Bohrer}} = {\eta _{Emotor}} \cdot {\eta _{Getriebe}} \Rightarrow \\{\eta _{Bohrer}} = 0,70 \cdot 0,90 = 0,63 = 63\% \end{array}\)

Dies bedeutet, dass 63 % der zugeführten elektrischen Energie in mechanische Energie umgesetzt werden.


Bild von Fa. Bosch

 

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