Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
\[ E_{kin} = m \cdot c^2 - m_0 \cdot c^2 \, ; \quad m \cdot c^2 = 2 \cdot m_0 \cdot c^2 \, ; \quad \text{ also } m = 2 \cdot m_0 \]Berechnung von \(v\):\[ \frac{m_0 \cdot c^2}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 }} = 2 \cdot m_0 \cdot c^2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}} \qquad \text{(1)} \]
Energiesatz:\[ 2 \cdot m_0 \cdot c^2 + m_0 \cdot c^2 = M \cdot c^2 \quad \Rightarrow \quad M = 3 \cdot m_0 \qquad \text{(2)} \]Dabei ist \(M\) die Masse des zusammengesetzten Teilchen\[ M = \frac{M_0}{\sqrt{1 - \left( \frac{u}{c} \right)^2}} \qquad \text{(3)} \]
Impulssatz:\[ \begin{array}{} m \cdot v = M \cdot u \quad \text{mit (2):} \quad 2 \cdot m_0 \cdot v = 3 \cdot m_0 \cdot u \quad \Rightarrow \quad u = \frac{2}{3} \cdot v \\ \\\text{mit (1):} \quad u = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot c = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot c \qquad \text{(4)} \end{array} \]Setzt man (2) in (3) ein, so folgt\[ M_0 = 3 \cdot m_0 \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{u}{c} \right)^2} \]Mit (4) folgt dann\[ M_0 = 3 \cdot m_0 \cdot \sqrt{ 1 - \frac{1}{3}} \quad \Rightarrow \quad M_0 = \sqrt{6} \cdot m_0 \]
