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Aufgabe

Hochenergetische Teilchen (Abitur BY 1994 LK A2-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Am europäischen Speicherring LEP (in der Nähe von Genf) werden Elektronen und Positronen auf sehr hohe Energien beschleunigt.

a)Positronen entstehen z. B. beim β+-Zerfall des Natrium-Isotops \({}^{22}{\rm{Na}}\).

Stelle für diesen Vorgang die vollständige Zerfallsgleichung auf.

Die Elektronen und die Positronen werden durch magnetische Führungsfelder auf einer nahezu kreisförmigen Bahn gehalten, die sie entgegengesetzt durchlaufen. Die Teilchen erreichen einen maximalen Impuls von \(3,2 \cdot {10^{ - 17}}{\rm{Ns}}\).

b)Im Bereich der Führungsfelder beträgt der Bahnradius \(1{,}5\,\rm{km}\).

Berechne, wie groß der Betrag der Flussdichte \(B\) dieser Felder zu wählen ist, um die Teilchen auf ihrer Bahn zu halten.

c)Berechne relativistisch die Masse der Teilchen und geben Sie diese als Vielfaches der Ruhemasse an.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die Zerfallsgleichung lautet\[{}_{11}^{22}{\rm{Na}} \to {}_{10}^{22}{\rm{Na + }}{}_1^0{{\rm{e}}^ + } + {\nu _{\rm{e}}}\]

b)Die LORENTZ-Kraft wirkt hier als Zentripetalkraft; damit erhält man\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow q \cdot v \cdot B = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} \Leftrightarrow q \cdot B = \frac{{m \cdot v}}{r} = \frac{p}{r} \Leftrightarrow B = \frac{p}{{r \cdot q}} \Rightarrow B = \frac{{3,2 \cdot {{10}^{ - 17}}{\rm{Ns}}}}{{1,5 \cdot {{10}^3}{\rm{m}} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 0{,}13\,{\rm{T}}\]

c)Aus der relativistischen Energie-Impulsbeziehung \( E^2 - p^2 \cdot c^2 = E_0^2 \) ergibt sich\[\begin{eqnarray}{\left( {m \cdot {c^2}} \right)^2} &=& {\left( {{m_0} \cdot {c^2}} \right)^2} + {p^2} \cdot {c^2}\;|:{c^4}\\{m^2} &=& m_0^2 + \frac{{{p^2}}}{{{c^2}}}\\m &=& \sqrt {m_0^2 + \frac{{{p^2}}}{{{c^2}}}} = \sqrt {m_0^2 + {{\left( {\frac{p}{c}} \right)}^2}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{m = \sqrt {{{\left( {9{,}1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3{,}2 \cdot {{10}^{ - 17}}{\rm{Ns}}}}{{3{,}0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}} \right)}^2}} = 1{,}1 \cdot {{10}^{ - 25}}\,{\rm{kg}} = 1{,}5 \cdot {{10}^5} \cdot {m_0}}\]