Mit dem nebenstehenden Aufbau führte William BERTOZZI im Jahr 1962 Experimente mit hochenergetischen Elektronen durch. Zunächst ruhende Elektronen durchlaufen in einem Beschleuniger B die Spannung \(U_{\rm{B}}\), passieren anschließend mit konstanter Geschwindigkeit \(v\) eine Elektrode E und treffen auf eine Aluminiumscheibe S. Die Flugzeit \(\Delta t\) zwischen E und S \(( |\overline{ES}| = 8,4\rm{m})\) lässt sich mithilfe eines Oszilloskops bestimmen. Es ergeben sich folgende Messwerte:
\(U_{\rm{B}}\;{\rm{in}}\;{\rm{MV}}\)
\(0,10\)
\(0,30\)
\(0,60\)
\(1,00\)
\(\Delta t\;{\rm{in}}\;{\rm{ns}}\)
\(51\)
\(36\)
\(32\)
\(30\)
a)Berechne mit der jeweils angegebenen Flugzeit \(\Delta t\) die Elektronengeschwindigkeiten. (3 BE)
b)Bei der Durchführung des Experiments ist auf eine symmetrische Verkabelung des Oszilloskops zu achten.
Begründe, dass ansonsten die berechneten Geschwindigkeiten deutlich von den tatsächlichen abweichen können. (4 BE)
c)Fertige ein \(U_{\rm{B}}\)-\(v^2\)-Diagramm an (Skalierung \(1\mathrm{cm} \buildrel \wedge \over = 100\mathrm{kV}\) bzw. \(1\mathrm{cm} \buildrel \wedge \over = 1 \cdot 10^{16} \mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\) ).
Trage die Messpunkte in das Diagramm ein.
Skizziere die zwischen \(0\rm{MV}\) und \(1,5\rm{MV}\) zu erwartende Kurve.
Beschreibe und begründe detailliert den Kurvenverlauf für sehr hohe und sehr niedrige Beschleunigungsspannungen \(U_{\rm{B}}\). (9 BE)
d)Beschreibe qualitativ, ob und ggf. wie sich während des Durchlaufens einer sehr großen Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) in einem homogenen elektrischen Längsfeld die beschleunigende Kraft auf das Elektron und dessen Beschleunigung ändern. (5 BE)
e)Begründe, dass bei sehr großen Beschleunigungsspannungen UB die am Ende erreichte relativistische Masse m eines Elektrons annähernd direkt proportional zu \(U_{\rm{B}}\) ist. (5 BE)
f)Beim Auftreffen der Elektronen auf die Aluminiumscheibe wird Röntgenstrahlung emittiert.
Berechne, welche Mindestwellenlänge diese Strahlung bei \(U_{\rm{B}}=1,5\rm{MV}\) besitzt .
Untersuche, ob in dieser Strahlung auch die \(\rm{K}_\alpha\)-Linie von Aluminium auftritt. (7 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Für \(\Delta t = 51{\rm{ns}}\) erhält man z.B.\[v = \frac{{|\overline {{\rm{ES}}} |}}{{\Delta t}} \Rightarrow v = \frac{{8,4{\rm{m}}}}{{51 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{s}}}} = 1,6 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Insgesamt erhält man
\(U_{\rm{B}}\;{\rm{in}}\;{\rm{MV}}\)
\(0,10\)
\(0,30\)
\(0,60\)
\(1,00\)
\(\Delta t\;{\rm{in}}\;{\rm{ns}}\)
\(51\)
\(36\)
\(32\)
\(30\)
\(v\;{\rm{in}}\;{10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)
\(1,6\)
\(2,3\)
\(2,6\)
\(2,8\)
b)Die gemessene Flugdauer weicht von der tatsächlichen um die Differenz der Signallaufzeiten in den Kabeln ab. Eine deutliche Abweichung kann sich bei unterschiedlich langen Kabeln ergeben, wenn die Flugdauer und die Signallaufzeiten die gleiche Größenordnung besitzen.
Für sehr hohe Beschleunigungsspannungen nähert sich \(v^2\) asymptotisch dem Wert \(c^2 = 9,0 \cdot 10^{16} \rm{\frac{m^2}{s^2}}\).
Für kleine Beschleunigungsspannungen \({{U_{\rm{B}}}}\) gilt\[ \frac{1}{2} \cdot m_0 \cdot v^2 = e \cdot U_{\rm{B}} \Leftrightarrow v^2 = \frac{2 \cdot e}{m_0} \cdot {\rm{B}} \Rightarrow v^2 \sim U_{\rm{B}} \]In diesem Bereich ist \(v^2\) näherungsweise direkt proportional zu \({{U_{\rm{B}}}}\), der Graph ist durch eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(\frac{2 \cdot e}{m_0}\) anzunähern.
d)Die beschleunigende Kraft \(F_{\rm{el}} = E \cdot e\) ist im homogenen elektrischen Feld konstant.
Die Beschleunigung ist anfangs - solange die Massenzunahme vernachlässigbar ist - konstant. Bei höheren Geschwindigkeiten ist die Massenzunahme deutlich, die Beschleunigung wird daher (bei konstanter Kraft) geringer.
e)Für die Gesamtenergie des Elektrons gilt\[ E = E_0 + E_{\rm{kin}} \Rightarrow m \cdot c^2 = m_0 \cdot c^2 + e \cdot U_{\rm{B}} \]Für \( m \gg m_0\) gilt dann näherungsweise\[ m \cdot c^2 \approx e \cdot U_{\rm{B}} \Rightarrow m \approx \frac{e}{c^2} \cdot U_{\rm{B}} \Rightarrow m \sim U_{\rm{B}} \]
f)Die kleinste Wellenlänge der RÖNTGEN-Strahlung ist erreicht, wenn die kinetische Energie eines Elektrons total in ein RÖNTGEN-Photon umgewandelt wird. In diesem Fall gilt\[{{E_{{\rm{kin,el}}}} = {E_{{\rm{Ph,max}}}} \Leftrightarrow e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{{\rm{min}}}}}} \Leftrightarrow {\lambda _{{\rm{min}}}} = \frac{{h \cdot c}}{{e \cdot {U_{\rm{B}}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{\lambda _{{\rm{min}}}} = \frac{{4,14 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{eV}} \cdot {\rm{s}} \cdot 3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,5 \cdot {{10}^6}{\rm{eV}}}} = 8,3 \cdot {{10}^{ - 13}}{\rm{m}}}\]Bestimmung der Wellenlänge der \({{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}\)-Linie mit dem Gesetz von MOSELEY: Aus\[{\frac{1}{{{\lambda _{{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}}}} = \frac{3}{4} \cdot R \cdot {{(Z - 1)}^2} \Leftrightarrow {\lambda _{{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}} = \frac{4}{{3 \cdot R \cdot {{(Z - 1)}^2}}}}\]erhält man mit \({{Z_{{\rm{Al}}}} = 13}\)\[{{\lambda _{{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}} = \frac{4}{{3 \cdot 1,097 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot {{(13 - 1)}^2}}} = 8,4 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}\] Da \( \lambda_{\rm{K_{\alpha}}} > \lambda_{\rm{min}} \) ist, tritt die \({{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}\)-Linie in der emittierten Strahlung auf.
