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Aufgabe

Beschleunigte Elektronen (Abitur BY 1978 LK A6-2)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Elektronen werden in ein begrenztes homogenes elektrisches Feld parallel zur Feldrichtung mit der Anfangsgeschwindigkeit v1 = 3,0·106 m/s eingeschossen und erreichen nach einer gewissen Flugstrecke die Geschwindigkeit v2 = 1,5·108 m/s.

a)Welche Potentialdifferenz haben die Elektronen durchlaufen?

b)Welche Beschleunigung erfahren die Elektronen beim Erreichen der Geschwindigkeit v2, wenn die Feldstärke E = 1,0· 105 V/m beträgt? Beachten Sie, dass \(F = \frac{d}{{dt}}\left( {{m_{rel}} \cdot v} \right)\) gilt.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Kinetische Energie = Gesamtenergie - Ruheenergie\[ \begin{array}{} e \cdot U = m_0 \cdot c^2 \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{v_2}{c} \right)^2 }} - \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \left( \frac{v_1}{c} \right)^2 }} \right) \quad \Rightarrow \quad U = \frac{m_0 \cdot c^2}{e} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{v_2}{c} \right)^2 }} - \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \left( \frac{v_1}{c} \right)^2 }} \right) \\ \\U = \frac{0,511 \mathrm{MeV}}{e} \cdot \left( \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \left( 0,50 \right)^2 }} - \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \left( 0,01 \right)^2 }} \right) = 0,511 \mathrm{MV} \cdot 0,155 = 79 \mathrm{kV} \end{array} \]

b)Anwendung der Produkt-Regel für das Differenzieren und Benutzung von \( \frac{d}{d t} = \frac{d}{d v} \cdot \frac{d v}{d t} \) ergibt\[ \begin{array}{} e \cdot E = a \cdot m_0 \cdot \left( - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left( 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right) \cdot \left( - \frac{2 \cdot v}{c^2} \right) \cdot v + \frac{ \left( 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 \right) }{ \left( 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 \right)^{\frac{3}{2}} } \\ \\e \cdot E = a \cdot m_0 \cdot \left( \frac{ \frac{v^2}{c^2} }{\left( 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right) \quad \Rightarrow \quad e \cdot E = a \cdot m_0 \cdot \left( \frac{1}{\left( 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right) \\ \\a = \frac{e \cdot E}{m_0} \cdot \left( 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 \right)^{\frac{3}{2}} \quad \Rightarrow \quad a = 1,76 \cdot 10^{11} \cdot 1,0 \cdot 10^5 \cdot \left( 1 - \left( 0,5 \right)^2 \right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{\frac{A \cdot s \cdot V}{kg \cdot m}} = 1,14 \cdot 10^{16} \mathrm{\frac{m}{s^2}} \end{array} \]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie