Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld

Kosmische Geschwindigkeiten

  • Wo endet eigentlich die Erdanziehungskraft?
  • Was ist die Ursache der Gravitation?
  • Ziehen sich wirklich alle Körper gegenseitig an?

Kosmische Geschwindigkeiten

Die Kreisgeschwindigkeit \(v_1\) (1. Kosmische Geschwindigkeit)

Zeichnung aus dem 3. Buch von NEWTONs Principia. (Die ursprüngliche Ausgabe erschien 1687, die Zeichnung stammt aus einer von A. Motte bearbeiteten Fassung von 1728). Dargestellt ist der Zusammenhang zwischen Wurfbewegung und Satellitenbewegung.

Unsere Erfahrung sagt uns, dass ein geworfener Stein wieder zur Erde fällt. Auch eine abgeschossene Kanonenkugel bleibt nicht oben. Angenommen man könnte einen Stein von einem sehr hohen Berg mit großer Geschwindigkeit waagerecht wegschleudern: Auf welcher Bahnkurve wird sich dieser Stein bewegen? Über diese Frage dachte bereits Isaac NEWTON im 17. Jahrhundert nach, und er kam zu dem Schluss, dass bei einer bestimmten Geschwindigkeit der Stein den Erdboden nicht mehr erreichen, sondern unendlich lang um die Erde herumfallen wird.

Tatsächlich umkreist ein Körper die Erde, wenn er nur mit genügend großer Geschwindigkeit tangential zur Erdoberfläche abgeschossen wird. Die Kreisgeschwindigkeit \(v_1\) oder 1. Kosmische Geschwindigkeit ist diejenige Geschwindigkeit, die ein Körper haben müsste, um auf einer Kreisbahn im Abstand \(r_{\rm{Erde}}\) vom Erdmittelpunkt um die Erde zu kreisen (natürlich ist eine Kreisbewegung direkt an der Erdoberfläche aufgrund der Erhebungen und der Luftreibung real nicht möglich). Das ist die Geschwindigkeit, bei der ein waagerecht weggeworfener Stein gerade nicht mehr auf die Erde fallen würde. Um diese Bedingung zu erfüllen, muss als Zentripetalkraft genau die Gravitationskraft auf der Erdoberfläche wirken, d.h.
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow \frac{{m \cdot {v_1}^2}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}} = G \cdot \frac{{m \cdot M_{{\rm{Erde}}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \Rightarrow {v_1} = \sqrt {G \cdot \frac{M_{{\rm{Erde}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}}} \]

Verständnisaufgabe

Berechne die 1. Kosmische Geschwindigkeit für die Erde in in \(\rm{\frac{m}{s}}\) und \(\rm{\frac{km}{h}}\).

Lösung

\[{v_1} = \sqrt {G \cdot \frac{{{M_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}}}\Rightarrow {v_1} = \sqrt {6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{{5,98 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{6,37 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}}}}= 7,91 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 2,84 \cdot {10^4}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

Berechne die Kreisgeschwindigkeit für einen Satelliten, der sich auf einer Kreisbahn in \(400\,\rm{km}\) Höhe über der Erdoberfläche befindet, in \(\rm{\frac{m}{s}}\) und \(\rm{\frac{km}{h}}\).

Lösung

\[{v_1} = \sqrt {G \cdot \frac{{{M_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}} + h}}}\Rightarrow {v_1} = \sqrt {6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{{5,98 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{\left( {6,37 \cdot {{10}^6}{\rm{m}} + 0,40 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}} \right)}}}= 7,66 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 2{,}76 \cdot {10^4}\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

Die Fluchtgeschwindigkeit \(v_2\) (2. Kosmische Geschwindigkeit)

Wird ein Körper mit einer Geschwindigkeit abgeschossen, die größer ist als die 1. kosmische Geschwindigkeit, so entfernt er sich von der Erde. Hierbei wird ein Teil seiner kinetischen Energie in potentielle umgewandelt. Der Satellit beschreibt eine Ellipsenbahn. Sie berührt jedoch im Abschusspunkt die Erde. Deswegen würde auch dieser Satellit abstürzen, da er nach einer Umrundung der Erde wieder in die Atmosphäre eintaucht und so der Luftreibung ausgesetzt ist. Um dies zu vermeiden muss die Bahn nach dem Abschuss korrigiert werden. Steigert man die Abschussgeschwindigkeit des Satelliten immer weiter, so erreicht er schließlich eine Geschwindigkeit, bei der er sich von der Erde entfernt und nie mehr zu ihr zurückkehrt. Damit ein Körper aus dem Anziehungsbereich der Erde gebracht werden kann, muss man ihm beim Start mindestens soviel kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}}\) mitgeben, dass diese die Differenz zwischen Endenergie und Anfangsenergie übersteigt. Im Grenzfall gilt dann
\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}} = {E_E} - {E_A} = 0 - \left( { - G \cdot m \cdot M_{{\rm{Erde}}} \cdot \frac{1}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}}} \right)\]
Einsetzen der entsprechenden Terme liefert dann
\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_2}^2 = G \cdot m \cdot M_{{\rm{Erde}}} \cdot \frac{1}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}} \Rightarrow {v_2} = \sqrt {2 \cdot G \cdot \frac{M_{{\rm{Erde}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}}}  = \sqrt 2  \cdot {v_1}\]

Verständnisaufgabe

Berechne die 2. Kosmische Geschwindigkeit für die Erde in in \(\rm{\frac{m}{s}}\) und \(\rm{\frac{km}{h}}\).

Lösung

\[{v_2} = \sqrt 2 \cdot {v_1} \Rightarrow {v_2} = \sqrt 2 \cdot 7,91 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 1,12 \cdot {10^4}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 4,03 \cdot {10^4}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

Berechne die Fluchtgeschwindigkeit für einen Satelliten, der sich auf einer Kreisbahn in \(400\rm{km}\) Höhe über der Erdoberfläche befindet, in \(\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\) und \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).

Lösung

\[{v_2} = \sqrt 2 \cdot {v_1} \Rightarrow {v_2} = \sqrt 2 \cdot 7,66 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 1,08 \cdot {10^4}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 3,90 \cdot {10^4}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

Gesamtenergie und Bahnen

Je nach Größe der Gesamtenergie \({E_{{\rm{ges}}}}\) eines Körpers, der sich im Gravitationsfeld eines Zentralkörpers befindet ergeben sich unterschiedliche Bahnen, die in der Mathematik als Kegelschnitte bezeichnet werden:

\({E_{{\rm{ges}}}} < 0\): Ellipsen- oder Kreisbahn mit Zentralkörper in einem Brennpunkt

\({E_{{\rm{ges}}}} = 0\): Parabelbahn

\({E_{{\rm{ges}}}} > 0\): Hyperbelbahn

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