Gravitationsgesetz und -feld

Schießt man einen Körper von der Erdoberfläche (er besitzt dort die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right)\)) mit der ersten kosmischen Geschwindigkeit ab (er besitzt dann zusätzlich kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\)), so kommt er in der gesuchten Höhe \(h\) zur Ruhe (er besitzt dort die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot}}}}\left( r_{\rm{E}}+h \right)\)) und besitzt keine kinetische Energie mehr. Nach dem Energieerhaltungssatz gilt dann\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{kin}}}} + {E_{{\rm{pot}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right) &=& {E_{{\rm{pot}}}}\left( {{r_{\rm{E}}} + h} \right)\\\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 - G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r_{\rm{E}}}}} &=&  - G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r_{\rm{E}}} + h}}\\\frac{1}{2} \cdot v_1^2 - G \cdot \frac{M}{{{r_{\rm{E}}}}} &=&  - G \cdot \frac{M}{{{r_{\rm{E}}} + h}}\end{eqnarray}\]Nun gilt für die erste kosmische Geschwindigkeit bekanntlich \({v_1} = \sqrt {G \cdot \frac{M}{{{r_{\rm{E}}}}}} \). Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}\frac{1}{2} \cdot {\sqrt {G \cdot \frac{M}{{{r_{\rm{E}}}}}} ^2} - G \cdot \frac{M}{{{r_{\rm{E}}}}} &=&  - G \cdot \frac{M}{{{r_{\rm{E}}} + h}}\\\frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{M}{{{r_{\rm{E}}}}} - G \cdot \frac{M}{{{r_{\rm{E}}}}} &=&  - G \cdot \frac{M}{{{r_{\rm{E}}} + h}}\\ - \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{M}{{{r_{\rm{E}}}}} &=&  - G \cdot \frac{M}{{{r_{\rm{E}}} + h}}\\\frac{1}{{2 \cdot {r_{\rm{E}}}}} &=& \frac{1}{{{r_{\rm{E}}} + h}}\\2 \cdot {r_{\rm{E}}} &=& {r_{\rm{E}}} + h\\{r_{\rm{E}}} &=& h\end{eqnarray}\]Der Körper kommt also genau auf die Höhe des Erdradius.