Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Zweite kosmische Geschwindigkeit

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Als zweite kosmische Geschwindigkeit \(v_2\) bezeichnet man diejenige Geschwindigkeit, mit der ein Körper vertikal von der Erdoberfläche abgeschossen werden müsste, um antriebslos das Gravitationsfeld der Erde zu verlassen. Die Eigenrotation der Erde und mögliche Swing-By-Manöver am Mond oder anderen Planeten sollen dabei nicht berücksichtigt werden.

Das Verlassen des Gravitationsfeldes der Erde allein durch diese Anfangsgeschwindigkeit ist allerdings praktisch wegen des hohen Luftwiderstands an der Erdoberfläche nicht möglich.

Berechne mithilfe eines geeigneten Energieansatzes den Betrag der zweiten kosmischen Geschwindigkeit.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
Abb. 1 Skizze zur Lösung

Die Aufgabenstellung kann auch so formuliert werden: Ein  Körper, der auf der Erdoberfläche ruht (er besitzt dort die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right)\)) soll mit der zweiten kosmischen Geschwindigkeit \(v_2\) so viel kinetische Energie \(E_{\rm{kin,2}}\) erhalten, dass er in unendlichen Abstand von der Erde gelangt und dort ruht (er besitzt dann dort die Gesamtenergie \(0\)).

Bezeichnen wir mit \(m\) die Masse des Körpers, mit \(M_{\rm{E}}= 5{,}972 \cdot 10^{24}\,\rm{kg}\) die Masse der Erde und mit \(r_{\rm{E}}=6371\,\rm{km}\) den Erdradius, so ergibt sich nach dem Energieerhaltungssatz\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right) + {E_{{\rm{kin,2}}}} &=& 0\\ - G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 &=& 0\\\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 &=& G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\v_2^2 &=& 2 \cdot G \cdot \frac{M_{\rm{E}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\{v_2} &=& \sqrt {2 \cdot G \cdot \frac{M_{\rm{E}}}{{{r_{\rm{E}}}}}} \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_2 = \sqrt {2 \cdot 6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{{5{,}972 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}}{{6371 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}}}}  = 1{,}119 \cdot 10^4\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}=11{,}19\,\frac{{\rm{km}}}{{\rm{s}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld